¿Raíz cúbica? (conclusión)

(Viene de 1, 2, 3, 4.)

Sea f(x) una función definida en algún subconjunto de los números reales (cuyas imágenes son también números reales). Si a es un número real que está en el dominio de f(x) y a = b entonces b también está en el dominio de f(x) y además f(a) = f(b).

La afirmación anterior es virtualmente un axioma de uso universal en la Matemática. Empleo aquí la palabra "universal" en el sentido de que el axioma es implícitamente aplicado casi todo el tiempo en todas las ramas de la Matemática. Por citar solamente un ejemplo entre miles, cuando al resolver una ecuación decimos que 2x = 3 implica que x = $\frac{3}{2}$ estamos haciendo uso de ese axioma. En ese caso $f(x) = \frac{1}{2}x$, $a = 2x$, $b = 3$. [El axioma también vale aunque los conjuntos numéricos involucrados sean otros, diferentes de los reales. Hablé específicamente de los números reales para destacar el hecho de que el tema de esta entrada no involucra a los complejos.]

Consideremos ahora las siguientes afirmaciones, en las que $f(x) = (-1)^x$. Nótese que la función f(x) está definida, al menos, en el conjunto de los números enteros. La pregunta aquí es si ese dominio puede extenderse de manera consistente a al menos algunos números racionales no enteros.

Afirmación 1: $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$.

(Pregunta: ¿$\frac{1}{3}$ y $\frac{2}{6}$ son "iguales" o "equivalentes"? Respuesta: Son equivalentes porque son iguales. Es decir, se llaman fracciones equivalentes a aquellas que representan el mismo número real. $\frac{1}{3}$ y $\frac{2}{6}$ son solamente dos formas de escribir el número real que también puede ser representado como $\frac{3}{9}$ o como 0,333...)

Afirmación 2: Supongamos que $\frac{1}{3}$ está en el dominio de f(x).

Conclusión 3: De las afirmaciones 1 y 2, y del axioma enunciado más arriba, se deduce que $\frac{2}{6}$ está en el dominio de f(x) y que $f(\frac{1}{3}) = f(\frac{2}{6})$.

Conclusión 4: De 3 se deduciría que -1 = 1, ya que $f(\frac{1}{3})$ se define como -1 y $f(\frac{2}{6})$ se define como 1. (Véase aquí la deducción completa y véase aquí por qué no es válido hablar de un "doble signo" para la raíz sexta.)

La conclusión 4 es una contradicción. En consecuencia, una de las premisas que nos llevó a ella debe ser falsa. La única falsedad posible aparece en la afirmación 2. Por lo tanto es absurdo suponer que $\frac{1}{3}$ está en el dominio de f(x)...

...es decir que $(-1)^{\frac{1}{3}}$ no existe
(ni tampoco, por supuesto, $(-1)^{\frac{2}{6}}$ o $(-1)^{0,333\dots }.)

Podríamos preguntar ¿acaso $(-1)^{\frac{1}{3}}$ no es la raíz cúbica de -1? (De ahí el título "¿Raíz cúbica?" que llevaban estas entradas). La respuesta es que no, no lo es. La igualdad $x^{\frac{1}{3}}$ = "raíz cúbica de x" solamente vale si x es mayor que 0. La igualdad es falsa si x es negativo, porque en ese caso $x^{\frac{1}{3}}$, simplemente, no existe. (Aunque sí podemos admitir la existencia de la raíz cúbica de -1 como notación especial.)