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14.3.20
El problema del domingo (1)
Dados n puntos en el plano ¿es siempre posible trazar n rectas que sean paralelas y equidistantes entre sí tales que cada punto pertenezca exactamente a una de esas rectas? ("Equidistantes" significa aquí que la distancia entre dos rectas consecutivas es la misma.)
9.2.11
Diálogo (2º parte)
(Viene del diálogo anterior.)F: ¿Y dónde queda entonces su analogía con la cuadratura del círculo?
G: Cuando planteé en esta entrada la analogía entre el movimiento del alfil y la cuadratura del círculo, imaginaba un único alfil en un tablero de ajedrez, sin otras piezas presentes. Bajo ésas condiciones, si el alfil es movido según las reglas del ajedrez, nunca podrá pasar de una casilla blanca a una negra.
F: ¿Y eso demuestra que la cuadratura del círculo es imposible?
G: No, definitivamente no lo demuestra. Es sólo una imagen que sirve para ejemplificar la idea de imposibilidad absoluta en Matemática. Es tan imposible lograr la cuadratura del círculo como lo es lograr que el alfil pase de una casilla blanca a una negra (bajo las condiciones que antes describí).
F: Pero sí es posible lograr que el alfil pase de una casilla blanca a una negra en una partida de verdad. ¿No invalida esto su analogía?
G: Al contrario. La cuadratura del círculo pide, dado un círculo, construir un cuadrado que tenga exactamente la misma área, usando solamente una regla no graduada y un compás. Bajo esas condiciones la construcción es absolutamente imposible. Pero sí es posible hacer la construcción si admitimos otros recursos; de la misma forma que el alfil sí puede cambiar de color si agregamos otras complejidades a la situación.
F: ¿Cómo?
G: Por ejemplo, dado el círculo, coloque un hilo alrededor de su borde de modo que ambos, borde e hilo, coincidan perfectamente. Estire luego el hilo de modo que quede como un segmento. Trace el segmento determinado por el hilo. Si el diámetro del círculo mide uno, el segmento medirá pi y a partir de él es muy fácil trazar el cuadrado pedido.
F: Entonces ¿es posible o es imposible lograr la cuadratura del círculo?
G: Es imposible si nos limitamos a usar los recursos que exige el problema clásico (regla no graduada y compás). Pero es posible si admitimos el uso de otros elementos. Por eso, sus extraños ejemplos de partidas en las que el alfil cambia de color, lejos de refutar la analogía, la hacen más completa.
F: Pero usted dice que la analogía no demuestra que la cuadratura es imposible.
G: No, claro que no. La demostración se basa en tres hechos:
1. Partiendo de un segmento unidad sólo se pueden construir (usando regla no graduada y compás) segmentos cuya longitud sea un número algebraico. [No se pueden obtener todos los números algebraicos, pero eso no es importante ahora.]
2. La cuadratura de círculo es posible si y sólo si se puede construir un segmento de longitud pi.
3. Pi no es algebraico.
La combinación de los tres hechos da como resultado ineludible... bueno, lo que ya sabemos: la cuadratura del círculo es imposible.
F: ¿Las demostraciones de esos tres hechos son fáciles de entender?
G: La demostración del hecho (1) no es difícil, sólo requiere saber un poco de geometría elemental. la demostración del hecho (2) es un poco más difícil. La del hecho (3) es bastante más complicada.
F: ¿Y si hubiera un error en la demostración del hecho (3)? (Digo ésa porque es la más difícil.)
G: La demostración ha sido revisada, una y otra vez, por generaciones de matemáticos quienes han ratificado unánimemente su validez.
F: ¿Y si, a pesar de todo, hubiera un error? ¿Un error que se le hubiera pasado por alto a todos los miles de matemáticos que revisaron la demostración?
G: ¿Usted estuvo alguna vez en París?
F: Dígamelo usted, ya que fue usted quien me creó.
G: Bueno. Usted nunca estuvo en París, como yo tampoco.
F: Ya veo, va a preguntarme cómo sé que la Torre Eiffel realmente existe.
G: Exacto. ¿Cómo lo sabe? ¿Cómo sabe que no hay una conspiración universal para hacernos creer (a quienes nunca estuvimos en París) que existe algo llamado "Torre Eiffel"? ¿Cómo sabe si en realidad en ese lugar de París no hay nada? ¿Cómo sabe si lo que sucede es que cada supuesto visitante de la torre es reclutado para formar parte de esa conspiración y propagar la mentira? ¿Cómo sabe si todas las supuestas fotos de la torre son trucadas? Etcétera, etcétera...
F: No puedo saberlo con certeza.
G: Exacto. En realidad ni siquiera podría saberlo aunque estuviera de pie frente a la torre misma, porque sus sentidos podrían estar siendo engañados. Pero la suposición infinitamente más razonable es que la Torre Eiffel sí existe y que todas las fotografías que la muestran (bueno, digamos que casi todas) representan un objeto real.
F: Supongo que tiene razón.
G: De la misma manera, exactamente de la misma manera, la suposición infinitamente más razonable es que realmente la cuadratura del círculo es imposible, porque generaciones de matemáticos así lo han comprobado. Lo más razonable, lo único razonable, es abandonar todo intento de resolver el problema (usando los método clásicos).
F: Entonces ¿por qué hay gente que lo sigue intentado?
G: No tengo idea.
F: ¿Me permite una última pregunta?
G: Por supuesto.
F: Siguiendo sus palabras...¿De la misma manera, de exactamente la misma manera, la suposición más razonable para mí es aceptar que estoy conversando con usted?
G: Sí, claro.
F: Y sin embargo, yo no existo. Como dije antes, usted me creó. ¿Dónde nos deja eso?
G: Yo le preguntaría qué clase de afirmación es "yo no existo". ¿Quién es el "yo" que afirma que no existe?
¿Fin?
17.1.11
Un diálogo
Fabián: Hola.
G.P.: Hola.
Fabián: ¿Puedo hacerle una pregunta?
G.P.: Sip.
Fabián: En esta entrada de su blog usted hace una comparación entre el problema de la cuadratura del círculo y el ajedrez.
G.P.: Sip.
Fabián: Usted dice en esa entrada que resolver el problema de la cuadratura del círculo es tan imposible como lograr que un alfil pase de una casilla negra a una blanca sin violar las reglas del ajedrez. ¿Entendí bien?
G.P.: Ajá...
Fabián: Sin embargo sí es posible, sin violar las reglas del ajedrez, que un alfil pase de una casilla negra a una blanca (o al revés).
G.P.: Eso es imposible.
Fabián: No, no lo es.
G.P.: Sí, sí lo es. Enunciémoslo así: En el transcurso de una partida de ajedrez en la que se respeten las reglas del juego un alfil que inicialmente estaba en una casilla negra nunca pasará a una casilla blanca, o viceversa. Inclusive puedo demostrárselo matemáticamente, por inducción en la cantidad de movimientos del alfil.
Fabián: Todo muy bonito, pero imaginemos una partida en la que a las blancas le han capturado el alfil que inicialmente estaba en la casilla c1 (casilla negra), pero no le han capturado el otro alfil. Imaginemos también que, más delante en el mismo juego, el blanco corona un peón en una casilla blanca y que pide un alfil. Obviamente el rival le dará la misma pieza que antes le había capturado, así que el alfil, la misma pieza, que inicialmente estaba en c1 (casilla negra) pasa ahora a estar en una casilla blanca sin que las reglas del ajedrez se hayan violado.
G.P.: Pero no es el mismo alfil...
Fabián: ¿Cómo que no es el mismo? Claro que sí lo es, es el mismo objeto, la misma pieza que ha pasado desde c2 hasta una casilla blanca, en el transcurso de la misma partida y sin violentar las reglas de juego. Claro, pudo sufrir algún desgaste por el roce con las manos, perder algunas moléculas, pero si ése no es el mismo alfil, ninguna pieza es igual a sí misma.
G.P.: Okey. No me refería a eso. Admito que se trata de la misma pieza, del mismo objeto, pero...
Fabián: ¿Pero?
G.P.: (Piensa un rato.) De acuerdo. Digámoslo así: En el transcurso de una partida de ajedrez en la que se respeten las reglas del juego, y en la que ninguno de los dos jugadores corone un alfil (es decir, pida un alfil al coronar un peón), en esa partida, digo, un alfil que inicialmente estaba en una casilla negra nunca pasará a una casilla blanca, o viceversa.
Fabián: Sí, pero...
G.P.: ¿Pero?
Fabián: Muchas veces, en un match entre dos jugadores profesionales, una partida se suspende y se continúa más adelante, por ejemplo al día siguiente.
G.P.: ¿Hum?
Fabián: La posición se desarma y el juez el match la rearma al día siguiente, o cuando sea la reanudación, usando las mismas piezas.
G.P.: Ya veo a dónde quiere llegar, pero...
Fabián: Pero nada. Es posible que al rearmar la posición el alfil que estaba en una casilla negra sea colocado en una casilla blanca y/o viceversa.
G.P.: Pero no es la misma partida...
Fabián: Sí que lo es.
G.P.: (Piensa otra vez.) En el transcurso de una partida de ajedrez, cuyo desarrollo no es suspendido para ser continuado en un momento posterior, en la que se respeten las reglas del juego, y en la que ninguno de los dos jugadores corone un alfil (es decir, pida un alfil al coronar un peón), en esa partida, digo, un alfil que inicialmente estaba en una casilla negra nunca pasará a una casilla blanca, o viceversa. ¿Está de acuerdo ahora?
Fabián: Hummm.
G.P.: ¿?
Fabián: Supongo que se refiere a las reglas actuales del ajedrez, porque quizás en el siglo XXII se agregue un movimiento especial, digamos un "alfil al paso" que permita...
G.P.: ¡Okey! En el transcurso de una partida de ajedrez, cuyo desarrollo no es suspendido para ser continuado en un momento posterior, en la que se respeten las reglas actuales del juego, y en la que ninguno de los dos jugadores corone un alfil (es decir, pida un alfil al coronar un peón), en esa partida, digo, un alfil que inicialmente estaba en una casilla negra nunca pasará a una casilla blanca, o viceversa. ¿Y ahora?
Fabián: Imagino dos amigos (no profesionales) que juegan para divertirse. En un momento dado uno de ellos le pide al otro si le permite intercambiar los alfiles (pasar el alfil que en está en la casilla A a la casilla B, y viceversa). No como una jugada, claro, sino como un mero reacomodamiento de piezas. Si sólo lo hace una vez, y su intención no es distraer al rival, el adversario podría aceptar y en ese caso el alfil en casilla blanca habrá pasado a...
G.P.: ¿Y por qué querría hacer eso?
Fabián: No sé, podría ser un capricho...
G.P.: ¿Permiten eso las reglas?
Fabián: "Nadie será obligado a lo que la ley no mande, ni privado de lo que ella no prohíba." La reglas, al menos las reglas que usan los amigos para jugar entre sí, no prohíben ese intercambio de piezas (si el rival está de acuerdo). Y si la reglas no prohíben, entonces lo permiten.
G.P.: Me parece que está exagerando.
Fabián: Las reglas lo permiten...
G.P.: Yo no lo permitiría.
Fabián: Recuérdeme no jugar al ajedrez contra usted...
G.P.: (Piensa un poco más.) En el transcurso de una partida de ajedrez, cuyo desarrollo no es suspendido para ser continuado en un momento posterior, en la que se respeten las reglas actuales del juego, en la que ninguno de los dos jugadores corone un alfil (es decir, pida un alfil al coronar un peón) y en la que ninguno de los dos jugadores pide permiso para reacomodar las piezas, en esa partida, digo, un alfil que inicialmente estaba en una casilla negra nunca pasará a una casilla blanca, o viceversa. ¿Y ahora?
Fabián: ¿Y si las reacomoda sin permiso?
G.P.: Estaría violando la reglas; aunque más no sea las reglas no escritas de la cortesía.
Fabián: Okey.
G.P.: ¿Está conforme?
Fabián: Por ahora sí, pero...
G.P.: ¿Pero...?
Fabián: ¿Cómo queda entonces su analogía con la cuadratura del círculo?
Continuará...
29.12.09
La cuadratura del círculo y el ajedrez
En el ajedrez el alfil mueve en diagonal y por lo tanto (como es bien sabido por todos los ajedrecistas) nunca cambia de de color de casilla. Es decir, si un alfil está en una casilla blanca y es movido respetando las reglas del juego, no importa cuántos movimientos se hagan, la pieza terminará en una casilla blanca.
Si yo dijera que encontré una secuencia de movimientos, todos legales, sin trampas, gracias a los cuales un alfil que comienza una partida en una casilla blanca, la termina en una casilla negra, es seguro que estaría equivocado. No haría falta revisar la supuesta secuencia de movimientos para verificar que hay un error, la existencia de ese error puede asegurarse con toda certeza simplemente porque es imposible que un alfil pase de una casilla blanca a una negra (respetando las reglas, sin hacer trampas).
Una situación similar ocurre en el caso de la cuadratura del círculo. Veamos por qué.
El problema de la cuadratura del círculo pide, dado un círculo, construir con regla no graduada y compás un cuadrado que tenga la misma área que el círculo dado. [Para los matemáticos de la Antigua Grecia esto equivalía a calcular el área del círculo, de allí la importancia que para ellos tenía el problema.]
Para estar seguros de que hemos comprendido correctamente la situación, profundicemos en el significado de los términos usados en el planteo del problema. Para comenzar, precisemos un poco más el planteo en sí: Dado un segmento R (pensado como el radio de un círculo) se pide obtener, usando solamente regla no graduada y compás, un segmento L, de modo tal que el cuadrado de lado L tenga la misma área que el círculo de radio R. [Un simple cálculo nos muestra que L debe medir raíz cuadrada de pi veces la longitud de R.]
Precisemos, como decía ante, el significado de los términos:
¿Qué significa "obtener un segmento usando solamente regla no graduada y compás"?
Obtener un segmento es determinar la posición de sus extremos (para luego trazar, con la regla, el segmento en sí).
¿Cómo se determina la posición de un punto?
Inicialmente, los únicos puntos cuya posición está determinada son los dos extremos del segmento inicial. Hay dos operaciones permitidas:
1. Si se ha determinado la posición de dos puntos, se puede trazar el segmento que los une, o se puede prolongar ese segmento (o un segmento ya trazado previamente) una distancia indeterminada (no se puede trazar un segmento de una longitud específica, esto es lo que significa que la regla sea "no graduada").
2. Si se ha determinado la posición de dos puntos, se puede trazar la circunferencia que tiene a uno de esos puntos como centro y que pasa por el otro punto. [El compás griego no era rígido (como sí lo es el compás que usan hoy en día los escolares de todo el mundo). Después de trazar un círculo el compás griego colapsaba y se perdía así la información de la apertura usada. Una instrucción como "manteniendo la misma apertura del compás, trace un arco con otro centro" no era, en principio, realizable. Sin embargo, la Proposición 2 de los Elementos demuestra que el compás colapsable permite hacer las misma construcciones que el compás rígido.]
Las operaciones 1 y 2 son las dos únicas permitidas [La posibilidad de realizarlas está garantizada por los postulados 1, 2 y 3 de los Elementos]. Un punto del plano queda determinado cuando se lo obtiene como la intersección de dos circunferencias, de dos segmentos o de una circunferencia y un segmento, trazados todos ellos según se indican las operaciones 1 y 2.
De este modo el problema queda definido con toda excatitud: Dados dos puntos (extremos del segmento R), aplicando una cantidad finita de veces las operaciones 1 y 2, hay que obtener dos puntos cuya distancia sea igual a raíz cuadrada de pi veces la distancia de los puntos iniciales (o sea, raíz cuadrada de pi veces la longitud de R).
Imaginemos que ubicamos los dos puntos iniciales en un sistema de coordenadas cartesianas. Podemos suponer que las coordenadas son elegidas de tal modo que los puntos iniciales son el (0,0) y el (1,0). El problema consiste en obtener dos puntos cuya distancia sea igual a la raíz cuadrada de pi.
Así planteado, el problema es idéntico en su estructura lógica a la cuestión del movimiento del alfil. Digamos que inicialmente el alfil está en una esquina del trablero (en una casilla blanca) y que "obtenemos" una casilla cuando el alfil, haciendo movimientos legales, termina su recorrido en ella.
¿Qué casillas podemos obtener? Respuesta: solamente podemos obtener casillas blancas. ¿Podemos obtener una casilla negra? Respuesta: No. ¿Y si alguien nos muestra una secuencia de movimientos que termina en una casilla negra? Respuesta: En esa secuencia hay un error, o una trampa. ¿Puede el afil obtener dos casillas que tengan en común un lado? Respuesta: No.
Todas las respuestas del párrafo anterior son claras, concretas y nadie dudaría de su veracidad. Como dije antes, en el problema de la cuadratura del círculo se da una situación similar a la del alfil. Sólo que ahora el tablero es el plano cartesiano y cada punto es una casilla. En lugar de una esquina del tablero tenemos dos puntos iniciales -el (0,0) y el (1,0)-, y los movimientos legales están dados por las operaciones 1 y 2 descriptas más arriba. La pregunta: ¿Es posible que las operaciones legales nos permitan caer en dos casillas (léase obtener dos puntos) cuya distancia sea la raíz cuadrada de pi?
¿Qué puntos nos permiten obtener las operaciones 1 y 2? Para responder la pregunta necesitamos una definición. Se dice que un número es algebraico si es raíz de un polinomio (no nulo) con coeficientes enteros. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 es un número algebraico, ya que es raíz del polinomio x^2 - 2. Los números que no son algebraicos se llaman trascendentes.
Se puede demostrar que si partimos de los puntos (1,0) y (0,0) y aplicamos una cantidad finita de veces las operaciones 1 y 2 siempre obtendremos puntos cuyas coordenadas son ambas números algebraicos. [En realidad, no se pueden obtener todos los núemros algebraicos, solamente los algebraicos de cierto tipo, pero esta distinción no es importante a los efectos de la cuadratura del círculo.]
No se pueden obtener puntos que tengan alguna coordenada trascendente, de la misma forma que no se puede lograr que el alfil pase de una casilla blanca a una negra.
La demostración de que sólo se pueden obtener números algebraicos excede las intenciones de esta entrada. Pero sí se puede dar una idea general. Si traducimos algebraicamente las operaciones 1 y 2, veremos que las coordenadas de los puntos que se pueden obtener surgen de la resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales (esto se debe a que las circunferencias se describen mediante expresiones polinómicas de grado 2 en dos variables y las rectas se describen mediante expresiones lineales). Las coordenadas de los puntos obtenibles son, entonces, soluciones de ecuaciones polinómicas y, por lo tanto, números algebraicos. [Los coeficientes de esas ecuaciones serán siempre números algebraicos y lo mismo sus soluciones.]
Puede probarse, finalmente, que la distancia entre dos puntos con coordenadas algebraicas es también un número algebraico. En resumen: las operaciones 1 y 2 solamente permiten obtener segmentos de longitud algebraica (de la misma forma que el alfil sólo permite obtener casillas del mismo color que la inicial). Así como el alfil no permite obtener dos casillas vecinas por un lado, de la misma forma (y esencialmente por el mismo motivo) las operaciones 1 y 2 no permiten opbtener un segmento con una longitud trascendente -partiendo de los puntos (0,0) y (1,0)-.
Ahora bien, como es bien sabido, en 1882 Ferdinand Lindemann demostró que pi es trascendente. De esto se deduce fácilmente que la raíz cuadrada de pi también es trascendente. Por lo tanto es imposible obtener un segmento de longitud raíz cuadrada de pi y el problema de la cuadradtura del círculo es irresoluble. Tan irresoluble, insisto en decir, como el problema que nos pide llevar un alfil de una casilla blanca a una negra (siguiendo las reglas del ajedrez).
Sin embargo hay quienes insisten en decir que han logrado cuadrar el círculo. Siempre me he preguntado el proqué de esta insistencia. ¿Es por simple ignorancia? ¿Es una idea de omnipotencia ("nada es imposible para mí")? ¿Es por desconocimiento del significado de la palabra "imposible" (que a veces en el habla cotidiana es usada como sinónimo de "muy difícil")? No lo sé, pero los cuadradores del círculo siguen apareciendo, pese a que todos sus intentos están condenados de antemano al fracaso. Probablemente esos cuadradores no intentarían llevar un alfil de una casilla blanca a una negra, pero sí intentarán la tarea igualmente imposible de construir (siguiendo las reglas del problema) un segmento de longitud raíz cuadrada de pi.
El ejemplo más reciente (hasta donde conozco) puede encontarse este blog (cuya credibilidad queda ahora en entredicho). Es interesante analizar la presentación de la entrada:
Se denomina cuadratura del círculo al problema matemático, irresoluble de geometría, consistente en hallar —con sólo regla y compás— un cuadrado que posea un área que sea igual a la de un círculo dado.
La resolución de este problema trató de abordarse repetidas veces, sin éxito, desde la antigüedad clásica hasta el siglo XIX. Hablando en sentido figurado, se dice de algo que es la “cuadratura del círculo” cuando representa un problema muy difícil o imposible de resolver.
Un Joven dominicano estudiante de la universidad autonoma de santo domingo (UASD), ha resuelto dicho problema matemático, su nombre es Casimiro Tamara Pérez, estas fueron sus conclusiones.
Observemos que comienza hablando del "problema matemático, irresoluble de geometría" para luego decir "Un joven dominicano [...] ha resuelto dicho problema". La pregunta inevitable: ¿es irresoluble o ha sido resuelto? ¿Qué significa "irresoluble" para el autor?
En medio del texto cae además en la confusión de la que hablaba antes: "un problema muy difícil o imposible de resolver". "Imposible", en matemáticas, no es lo mismo que "muy difícil". Que al tirar un dado 10 veces, en todas ellas salga un 6 es difícil (o, mejor dicho, poco probable), pero no es imposible. La cuadratura del círculo sí es imposible.
Acerca de la supuesta cuadratura en sí, es obvio que el Sr. Casimiro Tamara Pérez ha cometido un error (como ya dije, no sería necesario leer su trabajo para saberlo, de la misma forma que inevitablemente habría un error en una secuencia de movimientos de alfil que lleven la pieza de una casilla blanca a una negra). Pero en este caso el error es evidente y el mismo Tamara Pérez se encarga de exponerlo con claridad cuando afirma que si su cuadratura del círculo fuera correcta entonces el verdadero valor de pi sería 3,1419619... Dado que pi vale 3,141592... entonces su construcción es incorrecta.
Termino la entrada haciendo mías unas palabras tomadas de un artículo que expone el tema de la cuadratura del círculo (pido disculpas por no recordar la referencia exacta): si Ud. cree haber resuelto el problema, no me envíe su solución. Seguro que tiene un error, tal vez yo no sería capaz de encontrarlo, pero el error, indudablemente, estará allí.
Adenda del 7.1.10: Recomiendo la lectura de este artículo, escrito por Claudio Sánchez, y que fue la motivación de esta entrada. Allí, a modo de comentario, aparece esta respuesta del Sr. Casimiro Tamara:
Señor Gustavo P. soy un simple estudiante que apenas ha comenzado su carrera. usted al igual que todos me cuestiona como si yo fuera matematico, realmente no lo soy. si usted quiere cuestionarme algo, que sea mi imaginacion, la cual gracias a Dios fue empleada en el desarrollo de dicho problema. Por qué en vez de entrar en dudas sin antes ver el trabajo, usted no lo analiza y despues, me dice todo lo que merece un tonto por tratar de resolver el problema. usted como licenciado si me puede sacar de esta duda. tengo ya mucho tiempo esperando que alguien lo haga, pero nadie se quiere arriesgar. quiero que sepa que hasta que nadie me saque de la duda seguiré pa’ lante. el trabajo es bastante largo y lo dividi en varias partes.
Si yo dijera que encontré una secuencia de movimientos, todos legales, sin trampas, gracias a los cuales un alfil que comienza una partida en una casilla blanca, la termina en una casilla negra, es seguro que estaría equivocado. No haría falta revisar la supuesta secuencia de movimientos para verificar que hay un error, la existencia de ese error puede asegurarse con toda certeza simplemente porque es imposible que un alfil pase de una casilla blanca a una negra (respetando las reglas, sin hacer trampas).
Una situación similar ocurre en el caso de la cuadratura del círculo. Veamos por qué.
El problema de la cuadratura del círculo pide, dado un círculo, construir con regla no graduada y compás un cuadrado que tenga la misma área que el círculo dado. [Para los matemáticos de la Antigua Grecia esto equivalía a calcular el área del círculo, de allí la importancia que para ellos tenía el problema.]
Para estar seguros de que hemos comprendido correctamente la situación, profundicemos en el significado de los términos usados en el planteo del problema. Para comenzar, precisemos un poco más el planteo en sí: Dado un segmento R (pensado como el radio de un círculo) se pide obtener, usando solamente regla no graduada y compás, un segmento L, de modo tal que el cuadrado de lado L tenga la misma área que el círculo de radio R. [Un simple cálculo nos muestra que L debe medir raíz cuadrada de pi veces la longitud de R.]
Precisemos, como decía ante, el significado de los términos:
¿Qué significa "obtener un segmento usando solamente regla no graduada y compás"?
Obtener un segmento es determinar la posición de sus extremos (para luego trazar, con la regla, el segmento en sí).
¿Cómo se determina la posición de un punto?
Inicialmente, los únicos puntos cuya posición está determinada son los dos extremos del segmento inicial. Hay dos operaciones permitidas:
1. Si se ha determinado la posición de dos puntos, se puede trazar el segmento que los une, o se puede prolongar ese segmento (o un segmento ya trazado previamente) una distancia indeterminada (no se puede trazar un segmento de una longitud específica, esto es lo que significa que la regla sea "no graduada").
2. Si se ha determinado la posición de dos puntos, se puede trazar la circunferencia que tiene a uno de esos puntos como centro y que pasa por el otro punto. [El compás griego no era rígido (como sí lo es el compás que usan hoy en día los escolares de todo el mundo). Después de trazar un círculo el compás griego colapsaba y se perdía así la información de la apertura usada. Una instrucción como "manteniendo la misma apertura del compás, trace un arco con otro centro" no era, en principio, realizable. Sin embargo, la Proposición 2 de los Elementos demuestra que el compás colapsable permite hacer las misma construcciones que el compás rígido.]
Las operaciones 1 y 2 son las dos únicas permitidas [La posibilidad de realizarlas está garantizada por los postulados 1, 2 y 3 de los Elementos]. Un punto del plano queda determinado cuando se lo obtiene como la intersección de dos circunferencias, de dos segmentos o de una circunferencia y un segmento, trazados todos ellos según se indican las operaciones 1 y 2.
De este modo el problema queda definido con toda excatitud: Dados dos puntos (extremos del segmento R), aplicando una cantidad finita de veces las operaciones 1 y 2, hay que obtener dos puntos cuya distancia sea igual a raíz cuadrada de pi veces la distancia de los puntos iniciales (o sea, raíz cuadrada de pi veces la longitud de R).
Imaginemos que ubicamos los dos puntos iniciales en un sistema de coordenadas cartesianas. Podemos suponer que las coordenadas son elegidas de tal modo que los puntos iniciales son el (0,0) y el (1,0). El problema consiste en obtener dos puntos cuya distancia sea igual a la raíz cuadrada de pi.
Así planteado, el problema es idéntico en su estructura lógica a la cuestión del movimiento del alfil. Digamos que inicialmente el alfil está en una esquina del trablero (en una casilla blanca) y que "obtenemos" una casilla cuando el alfil, haciendo movimientos legales, termina su recorrido en ella.
¿Qué casillas podemos obtener? Respuesta: solamente podemos obtener casillas blancas. ¿Podemos obtener una casilla negra? Respuesta: No. ¿Y si alguien nos muestra una secuencia de movimientos que termina en una casilla negra? Respuesta: En esa secuencia hay un error, o una trampa. ¿Puede el afil obtener dos casillas que tengan en común un lado? Respuesta: No.
Todas las respuestas del párrafo anterior son claras, concretas y nadie dudaría de su veracidad. Como dije antes, en el problema de la cuadratura del círculo se da una situación similar a la del alfil. Sólo que ahora el tablero es el plano cartesiano y cada punto es una casilla. En lugar de una esquina del tablero tenemos dos puntos iniciales -el (0,0) y el (1,0)-, y los movimientos legales están dados por las operaciones 1 y 2 descriptas más arriba. La pregunta: ¿Es posible que las operaciones legales nos permitan caer en dos casillas (léase obtener dos puntos) cuya distancia sea la raíz cuadrada de pi?
¿Qué puntos nos permiten obtener las operaciones 1 y 2? Para responder la pregunta necesitamos una definición. Se dice que un número es algebraico si es raíz de un polinomio (no nulo) con coeficientes enteros. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 es un número algebraico, ya que es raíz del polinomio x^2 - 2. Los números que no son algebraicos se llaman trascendentes.
Se puede demostrar que si partimos de los puntos (1,0) y (0,0) y aplicamos una cantidad finita de veces las operaciones 1 y 2 siempre obtendremos puntos cuyas coordenadas son ambas números algebraicos. [En realidad, no se pueden obtener todos los núemros algebraicos, solamente los algebraicos de cierto tipo, pero esta distinción no es importante a los efectos de la cuadratura del círculo.]
No se pueden obtener puntos que tengan alguna coordenada trascendente, de la misma forma que no se puede lograr que el alfil pase de una casilla blanca a una negra.
La demostración de que sólo se pueden obtener números algebraicos excede las intenciones de esta entrada. Pero sí se puede dar una idea general. Si traducimos algebraicamente las operaciones 1 y 2, veremos que las coordenadas de los puntos que se pueden obtener surgen de la resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales (esto se debe a que las circunferencias se describen mediante expresiones polinómicas de grado 2 en dos variables y las rectas se describen mediante expresiones lineales). Las coordenadas de los puntos obtenibles son, entonces, soluciones de ecuaciones polinómicas y, por lo tanto, números algebraicos. [Los coeficientes de esas ecuaciones serán siempre números algebraicos y lo mismo sus soluciones.]
Puede probarse, finalmente, que la distancia entre dos puntos con coordenadas algebraicas es también un número algebraico. En resumen: las operaciones 1 y 2 solamente permiten obtener segmentos de longitud algebraica (de la misma forma que el alfil sólo permite obtener casillas del mismo color que la inicial). Así como el alfil no permite obtener dos casillas vecinas por un lado, de la misma forma (y esencialmente por el mismo motivo) las operaciones 1 y 2 no permiten opbtener un segmento con una longitud trascendente -partiendo de los puntos (0,0) y (1,0)-.
Ahora bien, como es bien sabido, en 1882 Ferdinand Lindemann demostró que pi es trascendente. De esto se deduce fácilmente que la raíz cuadrada de pi también es trascendente. Por lo tanto es imposible obtener un segmento de longitud raíz cuadrada de pi y el problema de la cuadradtura del círculo es irresoluble. Tan irresoluble, insisto en decir, como el problema que nos pide llevar un alfil de una casilla blanca a una negra (siguiendo las reglas del ajedrez).
Sin embargo hay quienes insisten en decir que han logrado cuadrar el círculo. Siempre me he preguntado el proqué de esta insistencia. ¿Es por simple ignorancia? ¿Es una idea de omnipotencia ("nada es imposible para mí")? ¿Es por desconocimiento del significado de la palabra "imposible" (que a veces en el habla cotidiana es usada como sinónimo de "muy difícil")? No lo sé, pero los cuadradores del círculo siguen apareciendo, pese a que todos sus intentos están condenados de antemano al fracaso. Probablemente esos cuadradores no intentarían llevar un alfil de una casilla blanca a una negra, pero sí intentarán la tarea igualmente imposible de construir (siguiendo las reglas del problema) un segmento de longitud raíz cuadrada de pi.
El ejemplo más reciente (hasta donde conozco) puede encontarse este blog (cuya credibilidad queda ahora en entredicho). Es interesante analizar la presentación de la entrada:
Se denomina cuadratura del círculo al problema matemático, irresoluble de geometría, consistente en hallar —con sólo regla y compás— un cuadrado que posea un área que sea igual a la de un círculo dado.
La resolución de este problema trató de abordarse repetidas veces, sin éxito, desde la antigüedad clásica hasta el siglo XIX. Hablando en sentido figurado, se dice de algo que es la “cuadratura del círculo” cuando representa un problema muy difícil o imposible de resolver.
Un Joven dominicano estudiante de la universidad autonoma de santo domingo (UASD), ha resuelto dicho problema matemático, su nombre es Casimiro Tamara Pérez, estas fueron sus conclusiones.
Observemos que comienza hablando del "problema matemático, irresoluble de geometría" para luego decir "Un joven dominicano [...] ha resuelto dicho problema". La pregunta inevitable: ¿es irresoluble o ha sido resuelto? ¿Qué significa "irresoluble" para el autor?
En medio del texto cae además en la confusión de la que hablaba antes: "un problema muy difícil o imposible de resolver". "Imposible", en matemáticas, no es lo mismo que "muy difícil". Que al tirar un dado 10 veces, en todas ellas salga un 6 es difícil (o, mejor dicho, poco probable), pero no es imposible. La cuadratura del círculo sí es imposible.
Acerca de la supuesta cuadratura en sí, es obvio que el Sr. Casimiro Tamara Pérez ha cometido un error (como ya dije, no sería necesario leer su trabajo para saberlo, de la misma forma que inevitablemente habría un error en una secuencia de movimientos de alfil que lleven la pieza de una casilla blanca a una negra). Pero en este caso el error es evidente y el mismo Tamara Pérez se encarga de exponerlo con claridad cuando afirma que si su cuadratura del círculo fuera correcta entonces el verdadero valor de pi sería 3,1419619... Dado que pi vale 3,141592... entonces su construcción es incorrecta.
Termino la entrada haciendo mías unas palabras tomadas de un artículo que expone el tema de la cuadratura del círculo (pido disculpas por no recordar la referencia exacta): si Ud. cree haber resuelto el problema, no me envíe su solución. Seguro que tiene un error, tal vez yo no sería capaz de encontrarlo, pero el error, indudablemente, estará allí.
Adenda del 7.1.10: Recomiendo la lectura de este artículo, escrito por Claudio Sánchez, y que fue la motivación de esta entrada. Allí, a modo de comentario, aparece esta respuesta del Sr. Casimiro Tamara:
Señor Gustavo P. soy un simple estudiante que apenas ha comenzado su carrera. usted al igual que todos me cuestiona como si yo fuera matematico, realmente no lo soy. si usted quiere cuestionarme algo, que sea mi imaginacion, la cual gracias a Dios fue empleada en el desarrollo de dicho problema. Por qué en vez de entrar en dudas sin antes ver el trabajo, usted no lo analiza y despues, me dice todo lo que merece un tonto por tratar de resolver el problema. usted como licenciado si me puede sacar de esta duda. tengo ya mucho tiempo esperando que alguien lo haga, pero nadie se quiere arriesgar. quiero que sepa que hasta que nadie me saque de la duda seguiré pa’ lante. el trabajo es bastante largo y lo dividi en varias partes.
27.6.09
Falacias y confusiones (1 – Segunda parte)
(A "Falacias y confusiones 2" / A “Falacias y confusiones 1 – Primera parte")
Recordemos que Fabián quería demostrar esta afirmación: si a, b, c, d son los vértices de un cuadrilátero cualquiera entonces hay un cuadrado cuyos lados, o sus prolongaciones, pasan por esos cuatros puntos (un lado, o prolongación, por cada punto diferente).
Para probarlo hace la siguiente construcción:
1) Trazamos los segmentos ab y bc. Llamamos a1 y c1 a los puntos medios de ab y bc respectivamente.
2) Trazamos el segmento que une a1 con c1 y agregamos los segmentos que faltan para completar un cuadrado. Llamamos a2 y c2 a los otros dos vértices de ese cuadrado.
3) Trazamos la recta que pasan por a y a2, y la recta que pasa por c y. Llamamos x al punto de intersección de ambas.
4) Trazamos la recta que pasa por d y x. Ésta es una de las rectas que determinan el cuadrado buscado, las otras tres se completan fácilmente.
En realidad, hay dos cuadrados que se pueden trazar a partir del segmento a1 c1, ambos simétricos con respecto a ese segmento. Obtenemos así dos cuadrados que pasan por a, b, c y d.
Si tomamos los segmentos ac y cb obtenemos otros dos cuadrados, los segmentos ca y ab nos dan otros dos. Es decir, usando los puntos a, b, c tenemos ocho cuadrados. Otros ocho salen de a, b, d, y otros ocho de b, c, d. En total hay 24 cuadrados que pasan por a, b, c, d. Fin de la demostración. ¿Qué te parece?
Victoria: Hay varios puntos criticables en tu demostración. Algunos dudosos, otros erróneos. En el punto 3), por ejemplo, deberías demostrar que la recta que pasa por a y a2 en efecto se corta con la que pasa por c y c2.
F: Claro que se cortan, se ve en el dibujo.
V: Pero un dibujo no puede reemplazar a un razonamiento. El dibujo sólo sirve como apoyo, como ayuda para que entendamos el razonamiento en sí (ya que nuestro cerebro ha evolucionado de tal forma que nos resulta más fácil percibir una figura que una idea en abstracto), pero un dibujo en sí mismo puede ser muy engañoso. Por ejemplo, puede haber situaciones especiales en las que el dibujo sea imposible de realizar.
En este caso en particular tu dibujo no nos muestra que hay situaciones en las que las dos rectas en cuestión coinciden. Te muestro un ejemplo (en el dibujo falta el punto d, porque su posición no es relevante a los efectos del ejemplo):
V: Te hago notar que este ejemplo invalida tu demostración, pero no necesariamente el teorema, ya que de todos modos puede ser que exista algún punto x que permita hacer tu construcción.
F: ¿Cómo puede invalidar el razonamiento sin invalidar el teorema?
V: Quiero decir que tal vez lo que afirma el teorema sea cierto, pero que tu razonamiento no lo prueba. Por lo menos, seguro que no lo prueba en el ejemplo que te mostré, ya que en ese caso el razonamiento no puede completarse.
F: De todos modos tu ejemplo no viene al caso.
V: ¿Por qué?
F: Porque estás mostrando un ejemplo de un cuadrilátero “específico”, mientras que yo hablo de un cuadrilátero “cualquiera”.
V: En matemática la palabra “cualquiera” quiere decir “todo”. El teorema debería comenzar así: “Para toda cuaterna de puntos a, b, c, d que sean los vértices de un cuadrilátero...” (Por cierto, que sean los vértices de un cuadrilátero sólo significa que no haya tres alineados.) El uso de la palabra “cualquiera” significa que el razonamiento que se hace se puede aplicar a cualquier situación específica, que se puede repetir en cualquier ejemplo específico que cumpla las condiciones indicadas en las hipótesis. Y no es ése el caso de tu razonamiento.
V: Por otra parte, aun cuando las rectas que pasan por a y a2 y por c y c2 se corten, puede suceder que se corten justo en el punto d (o sea que x = d) por lo que la construcción también sería imposible. (Nuevamente, esto invalida el razonamiento, pero no necesariamente el teorema en sí.)
F: ¿Cómo puede ser que d y x coincidan si d es un dato y x se construye después?
V: La posición de x depende sólo de a, b y c. Supongamos que te doy cuatro puntos a, b, c y d, pero que ubico al punto d en la posición que (en tu construcción) ocupará x. En ese caso no hay modo de completar tu construcción.
F: Insisto ¿cómo puede ser que d y x coincidan si d uno está dado antes y el otro se construye después?
V: “Antes” o “después” no significan nada en este caso. Si ingreso el número 2 en la fórmula x^2 – 2 vuelvo a obtener 2. “Antes” tenía un 2 y “después” tengo el mismo número 2 (y no “otro 2 diferente”). En la situación que te describí d y x coinciden. Es evidente que esto puede suceder porque, insisto, x depende sólo de a, b y c por lo que puedo mover al punto d hasta donde yo quiera sin que x se mueva, por lo que bien puede suceder que d y x coincidan.
Claro que en ese caso podríamos intentar la misma construcción con a, b y d, y así obtener un cuadrado diferente...
F: ...ya te dije que hay 24...
V: ...pero si a, b, c, d son los vértices de un cuadrado entonces ninguno de los 24 puntos que se obtienen con tu construcción sirve para construir un cuadrado como el que el teorema pide. Sin embargo, en ese caso hay infinitos cuadrados posibles (todos los cuales se obtienen de una manera diferente a la que indicaste en tu razonamiento).
F: ¡Pero un cuadrado es un cuadrilátero específico!
V: Ya te respondí a eso: si tu razonamiento fuese correcto debería poder aplicarse a cualquier situación en especial, y en particular si a, b, c, d son los vértices de un cuadrado. Además, el ejemplo de a, b, c, d en los vértices de un cuadrado no sólo refuta tu demostración, sino también tu afirmación de que hay sólo 24 cuadrados que cumplen las condiciones del teorema, ya que, al menos en ese caso, hay infinitos.
F: Entonces ¿el teorema es cierto o no? ¿Mi demostración es correcta o no?
V: Tu demostración no es correcta: no se aplica a todos los casos posibles. Tu dibujo describe una situación que es “falsa” para muchas posiciones de a, b, c y d. En cuanto al teorema, no lo sé. Tal vez sea cierto. Parece que sí lo es en muchos casos, pero no queda claro si vale con toda la generalidad que el enunciado pide.
No discutiremos aquí la validez del teorema, ni tampoco algunos otros puntos dudosos (o al menos poco claros) de la demostración de Fabián, como por ejemplo si, en efecto, el cuadrilátero que aparece pintado de azul en el primer dibujo es realmente un cuadrado. Aquí terminamos el análisis de esta "demostración". Los lectores pueden, si así lo desean, comentar otros puntos de ella. La saga seguirá por nuestra parte, en una próxima entrada, con un tema diferente. Nos vemos.
(A "Falacias y confusiones 2" / A “Falacias y confusiones 1 – Primera parte")
Recordemos que Fabián quería demostrar esta afirmación: si a, b, c, d son los vértices de un cuadrilátero cualquiera entonces hay un cuadrado cuyos lados, o sus prolongaciones, pasan por esos cuatros puntos (un lado, o prolongación, por cada punto diferente).
Para probarlo hace la siguiente construcción:
1) Trazamos los segmentos ab y bc. Llamamos a1 y c1 a los puntos medios de ab y bc respectivamente.
2) Trazamos el segmento que une a1 con c1 y agregamos los segmentos que faltan para completar un cuadrado. Llamamos a2 y c2 a los otros dos vértices de ese cuadrado.
3) Trazamos la recta que pasan por a y a2, y la recta que pasa por c y. Llamamos x al punto de intersección de ambas.
4) Trazamos la recta que pasa por d y x. Ésta es una de las rectas que determinan el cuadrado buscado, las otras tres se completan fácilmente.
En realidad, hay dos cuadrados que se pueden trazar a partir del segmento a1 c1, ambos simétricos con respecto a ese segmento. Obtenemos así dos cuadrados que pasan por a, b, c y d.
Si tomamos los segmentos ac y cb obtenemos otros dos cuadrados, los segmentos ca y ab nos dan otros dos. Es decir, usando los puntos a, b, c tenemos ocho cuadrados. Otros ocho salen de a, b, d, y otros ocho de b, c, d. En total hay 24 cuadrados que pasan por a, b, c, d. Fin de la demostración. ¿Qué te parece?
Victoria: Hay varios puntos criticables en tu demostración. Algunos dudosos, otros erróneos. En el punto 3), por ejemplo, deberías demostrar que la recta que pasa por a y a2 en efecto se corta con la que pasa por c y c2.
F: Claro que se cortan, se ve en el dibujo.
V: Pero un dibujo no puede reemplazar a un razonamiento. El dibujo sólo sirve como apoyo, como ayuda para que entendamos el razonamiento en sí (ya que nuestro cerebro ha evolucionado de tal forma que nos resulta más fácil percibir una figura que una idea en abstracto), pero un dibujo en sí mismo puede ser muy engañoso. Por ejemplo, puede haber situaciones especiales en las que el dibujo sea imposible de realizar.
En este caso en particular tu dibujo no nos muestra que hay situaciones en las que las dos rectas en cuestión coinciden. Te muestro un ejemplo (en el dibujo falta el punto d, porque su posición no es relevante a los efectos del ejemplo):
V: Te hago notar que este ejemplo invalida tu demostración, pero no necesariamente el teorema, ya que de todos modos puede ser que exista algún punto x que permita hacer tu construcción.
F: ¿Cómo puede invalidar el razonamiento sin invalidar el teorema?
V: Quiero decir que tal vez lo que afirma el teorema sea cierto, pero que tu razonamiento no lo prueba. Por lo menos, seguro que no lo prueba en el ejemplo que te mostré, ya que en ese caso el razonamiento no puede completarse.
F: De todos modos tu ejemplo no viene al caso.
V: ¿Por qué?
F: Porque estás mostrando un ejemplo de un cuadrilátero “específico”, mientras que yo hablo de un cuadrilátero “cualquiera”.
V: En matemática la palabra “cualquiera” quiere decir “todo”. El teorema debería comenzar así: “Para toda cuaterna de puntos a, b, c, d que sean los vértices de un cuadrilátero...” (Por cierto, que sean los vértices de un cuadrilátero sólo significa que no haya tres alineados.) El uso de la palabra “cualquiera” significa que el razonamiento que se hace se puede aplicar a cualquier situación específica, que se puede repetir en cualquier ejemplo específico que cumpla las condiciones indicadas en las hipótesis. Y no es ése el caso de tu razonamiento.
V: Por otra parte, aun cuando las rectas que pasan por a y a2 y por c y c2 se corten, puede suceder que se corten justo en el punto d (o sea que x = d) por lo que la construcción también sería imposible. (Nuevamente, esto invalida el razonamiento, pero no necesariamente el teorema en sí.)
F: ¿Cómo puede ser que d y x coincidan si d es un dato y x se construye después?
V: La posición de x depende sólo de a, b y c. Supongamos que te doy cuatro puntos a, b, c y d, pero que ubico al punto d en la posición que (en tu construcción) ocupará x. En ese caso no hay modo de completar tu construcción.
F: Insisto ¿cómo puede ser que d y x coincidan si d uno está dado antes y el otro se construye después?
V: “Antes” o “después” no significan nada en este caso. Si ingreso el número 2 en la fórmula x^2 – 2 vuelvo a obtener 2. “Antes” tenía un 2 y “después” tengo el mismo número 2 (y no “otro 2 diferente”). En la situación que te describí d y x coinciden. Es evidente que esto puede suceder porque, insisto, x depende sólo de a, b y c por lo que puedo mover al punto d hasta donde yo quiera sin que x se mueva, por lo que bien puede suceder que d y x coincidan.
Claro que en ese caso podríamos intentar la misma construcción con a, b y d, y así obtener un cuadrado diferente...
F: ...ya te dije que hay 24...
V: ...pero si a, b, c, d son los vértices de un cuadrado entonces ninguno de los 24 puntos que se obtienen con tu construcción sirve para construir un cuadrado como el que el teorema pide. Sin embargo, en ese caso hay infinitos cuadrados posibles (todos los cuales se obtienen de una manera diferente a la que indicaste en tu razonamiento).
F: ¡Pero un cuadrado es un cuadrilátero específico!
V: Ya te respondí a eso: si tu razonamiento fuese correcto debería poder aplicarse a cualquier situación en especial, y en particular si a, b, c, d son los vértices de un cuadrado. Además, el ejemplo de a, b, c, d en los vértices de un cuadrado no sólo refuta tu demostración, sino también tu afirmación de que hay sólo 24 cuadrados que cumplen las condiciones del teorema, ya que, al menos en ese caso, hay infinitos.
F: Entonces ¿el teorema es cierto o no? ¿Mi demostración es correcta o no?
V: Tu demostración no es correcta: no se aplica a todos los casos posibles. Tu dibujo describe una situación que es “falsa” para muchas posiciones de a, b, c y d. En cuanto al teorema, no lo sé. Tal vez sea cierto. Parece que sí lo es en muchos casos, pero no queda claro si vale con toda la generalidad que el enunciado pide.
No discutiremos aquí la validez del teorema, ni tampoco algunos otros puntos dudosos (o al menos poco claros) de la demostración de Fabián, como por ejemplo si, en efecto, el cuadrilátero que aparece pintado de azul en el primer dibujo es realmente un cuadrado. Aquí terminamos el análisis de esta "demostración". Los lectores pueden, si así lo desean, comentar otros puntos de ella. La saga seguirá por nuestra parte, en una próxima entrada, con un tema diferente. Nos vemos.
(A "Falacias y confusiones 2" / A “Falacias y confusiones 1 – Primera parte")
10.10.08
Falacias y confusiones (1 – Primera parte)
(A "Falacias y confusiones 1 - Segunda parte")
Inicio con ésta una serie (potencialmente infinita) de entradas dedicadas a comentar diversas falacias y confusiones que pueden (y suelen) aparecer en el transcurso de un razonamiento. En la mayoría de los casos, aunque no excluyentemente, se tratará de un razonamiento de tipo matemático.
¿Qué es una falacia? Una falacia es un error que invalida un razonamiento. ¿Qué significa esto exactamente? La lógica nos garantiza que si partimos de premisas verdaderas y razonamos de manera correcta (es decir, nuestro razonamiento es válido) entonces nuestras conclusiones serán verdaderas.
Si el razonamiento es falaz (es decir, si contiene errores) entonces no tenemos ninguna garantía de que la conclusión que obtengamos sea verdadera (podría serlo de todos modos, ya que es posible que un razonamiento falaz llegue, de pura casualidad, a una conclusión verdadera, pero no tenemos ninguna garantía acerca de la verdad de la conclusión).
Un ejemplo de falacia puede verse aquí, otros ejemplos se verán, por supuesto, en la serie de entradas que aquí se inicia.
En general las entradas tendrán la forma de un diálogo entre dos personajes ficticios: Fabián (con F de falso o de falacia) y Victoria (con V de verdad o de validez). Normalmente Fabián expondrá un razonamiento y Victoria tratará de convencerlo que de que ha incurrido en algún error (objetivo que no siempre le resultará fácil de alcanzar).
Desde hace mucho tiempo (casi desde los inicios de este blog) tengo la intención de realizar este proyecto, pero (como sucede tantas veces) el inicio siempre quedaba “para más adelante”. Hace unos días, finalmente, decidí darme el tiempo para comenzarlo; me motivó a ello una situación en la que, involuntariamente, me tocó jugar el papel que más arriba le atribuyo a Victoria.
El diálogo que surgió en esa ocasión (aunque no sé si “diálogo” es la palabra aplicable en ese caso) puede verse aquí. Este primer diálogo entre Victoria y Fabián es una glosa y recapitulación de aquél otro. (Lo que aquí se lee también se relaciona con él.)
Como este primer diálogo entre Victoria y Fabián es bastante extenso (las falacias a analizar son muchas), lo dividiré en varias partes. Aquí comienza la primera:
Un teorema de Geometría (extraoficialmente bautizado como el Teorema de Pasin)
(Salteamos los preliminares en los que Fabián y Victoria se saludan.)
Fabián: Encontré en la red este teorema, que llaman “de Pasin”. Dice así: si a, b, c, d son los vértices de un cuadrilátero cualquiera entonces hay por lo menos un cuadrado cuyos lados, o sus prolongaciones, pasan por esos cuatros puntos (un lado, o prolongación, por cada punto diferente). Además agregué por mi cuenta la siguiente pregunta ¿cuántos de estos cuadrados hay en total?
Victoria: Interesante ¿Daban una demostración?
F: No miré, pero busqué una demostración por mí mismo. [Nota: en realidad sí dan una demostración, que se parece bastante a la de Fabián.]
V: ¡Muy bien! ¿Cómo es?
F: Miremos este dibujo:
Inicio con ésta una serie (potencialmente infinita) de entradas dedicadas a comentar diversas falacias y confusiones que pueden (y suelen) aparecer en el transcurso de un razonamiento. En la mayoría de los casos, aunque no excluyentemente, se tratará de un razonamiento de tipo matemático.
¿Qué es una falacia? Una falacia es un error que invalida un razonamiento. ¿Qué significa esto exactamente? La lógica nos garantiza que si partimos de premisas verdaderas y razonamos de manera correcta (es decir, nuestro razonamiento es válido) entonces nuestras conclusiones serán verdaderas.
Si el razonamiento es falaz (es decir, si contiene errores) entonces no tenemos ninguna garantía de que la conclusión que obtengamos sea verdadera (podría serlo de todos modos, ya que es posible que un razonamiento falaz llegue, de pura casualidad, a una conclusión verdadera, pero no tenemos ninguna garantía acerca de la verdad de la conclusión).
Un ejemplo de falacia puede verse aquí, otros ejemplos se verán, por supuesto, en la serie de entradas que aquí se inicia.
En general las entradas tendrán la forma de un diálogo entre dos personajes ficticios: Fabián (con F de falso o de falacia) y Victoria (con V de verdad o de validez). Normalmente Fabián expondrá un razonamiento y Victoria tratará de convencerlo que de que ha incurrido en algún error (objetivo que no siempre le resultará fácil de alcanzar).
Desde hace mucho tiempo (casi desde los inicios de este blog) tengo la intención de realizar este proyecto, pero (como sucede tantas veces) el inicio siempre quedaba “para más adelante”. Hace unos días, finalmente, decidí darme el tiempo para comenzarlo; me motivó a ello una situación en la que, involuntariamente, me tocó jugar el papel que más arriba le atribuyo a Victoria.
El diálogo que surgió en esa ocasión (aunque no sé si “diálogo” es la palabra aplicable en ese caso) puede verse aquí. Este primer diálogo entre Victoria y Fabián es una glosa y recapitulación de aquél otro. (Lo que aquí se lee también se relaciona con él.)
Como este primer diálogo entre Victoria y Fabián es bastante extenso (las falacias a analizar son muchas), lo dividiré en varias partes. Aquí comienza la primera:
Un teorema de Geometría (extraoficialmente bautizado como el Teorema de Pasin)
(Salteamos los preliminares en los que Fabián y Victoria se saludan.)
Fabián: Encontré en la red este teorema, que llaman “de Pasin”. Dice así: si a, b, c, d son los vértices de un cuadrilátero cualquiera entonces hay por lo menos un cuadrado cuyos lados, o sus prolongaciones, pasan por esos cuatros puntos (un lado, o prolongación, por cada punto diferente). Además agregué por mi cuenta la siguiente pregunta ¿cuántos de estos cuadrados hay en total?
Victoria: Interesante ¿Daban una demostración?
F: No miré, pero busqué una demostración por mí mismo. [Nota: en realidad sí dan una demostración, que se parece bastante a la de Fabián.]
V: ¡Muy bien! ¿Cómo es?
F: Miremos este dibujo:
Los puntos a, b, c, d son los vértices del cuadrilátero cualquiera. Realizamos entonces estas construcciones:
1) Trazamos los segmentos ab y bc. Llamamos a1 y c1 a los puntos medios de ab y bc respectivamente.
2) Trazamos el segmento que une a1 con c1 y agregamos los segmentos que faltan para completar un cuadrado. Llamamos a2 y c2 a los otros dos vértices de ese cuadrado.
3) Trazamos la recta que pasan por a y a2, y la recta que pasa por c y c2. Llamamos x al punto de intersección de ambas.
4) Trazamos la recta que pasa por d y x. Ésta es una de las rectas que determinan el cuadrado buscado, las otras tres se completan fácilmente.
En realidad, hay dos cuadrados que se pueden trazar a partir del segmento a1 c1, ambos simétricos con respecto a ese mismo segmento. Obtenemos así en realidad dos cuadrados.
Si tomamos los segmentos ac y cb obtenemos otros dos cuadrados, los segmentos ca y ab nos dan otros dos. Es decir, usando los puntos a, b, c tenemos ocho cuadrados. Otros ocho salen de los puntos a, b, d, y otros ocho de b, c, d. En total hay 24 cuadrados que pasan por a, b, c, d. Fin de la demostración. ¿Qué te parece?
Continuará... [Mientras tanto los lectores pueden iniciar por su cuenta la búsqueda de falacias.]
Adenda: La mayoría de la gente incurre en falacias actuando de buena fe. No es que intenten engañar a nadie, sino que, simplemente, se equivocan. Por eso no debe creerse que Fabián es "malo" y que Victoria es "buena". Ambos actúan de buena fe, sólo que Fabián es un muchacho inexperto que a veces se equivoca y Victoria trata de de ayudarlo a entender sus errores. Lo único que podremos alguna vez criticarle a Fabián es su afán en perseverar en el error. (Alguna otra gente sí usa las falacias para engañarnos, también nos ocuparemos de eso más adelante.)
9.10.08
Un problema de Geometría
Éste es un problema de geometría elemental (tal vez ya conocido) que se cruzó por mi cabeza tras la serie de comentarios que se puede leer aquí. Y aunque la geometría no es tema habitual de este blog me pareció que no era inoportuno copiarlo en este espacio. El problema dice:
Si los puntos a, b, c, d son los vértices de un cuadrado entonces hay infinitos cuadrados cuyos lados, o sus prolongaciones, pasan por a, b, c, d (en cada uno de estos cuadrados sólo pasa un lado, o su prolongación, por cada punto). La pregunta es: ¿cuál es el lugar geométrico de los vértices de esos infinitos cuadrados?
Si los puntos a, b, c, d son los vértices de un cuadrado entonces hay infinitos cuadrados cuyos lados, o sus prolongaciones, pasan por a, b, c, d (en cada uno de estos cuadrados sólo pasa un lado, o su prolongación, por cada punto). La pregunta es: ¿cuál es el lugar geométrico de los vértices de esos infinitos cuadrados?
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