Spock, el viajero espacial estudioso de la lógica, llega a las ruinas del viejo planeta Verdalia. Spock lleva un mapa que, espera, lo conducirá al tesoro que ha sido buscado durante siglos por miles de aventureros.
Primer desafío.
El mapa conduce a Spock ante dos pesadas puertas de hierro, una pintada de verde y la otra, de amarillo. Entre ellas hay una placa de bronce con estas tres afirmaciones:
1. Exactamente una de estas afirmaciones es falsa.
2. Las tres afirmaciones son falsas.
3. La puerta correcta es la verde.
¿Qué puerta debe elegir Spock?
Segundo desafío.
Spock, por supuesto, elige la puerta correcta. Un largo pasillo lo coloca frente a dos escaleras. Una que sube, otra que baja. Entre ellas, una placa de plata dice:
1. Todas las afirmaciones que siguen son falsas.
2. Todas las afirmaciones que siguen son falsas.
3. Exactamente tres afirmaciones son falsas.
4. El camino correcto es hacia arriba.
¿Spock debe subir o bajar?
Tercer desafío.
Finalmente, Spock llega ante una pequeña caja fuerte empotrada en una pared de piedra. A cada lado hay dos palancas de hierro, una pintada de rojo, y la otra, de azul. Una palanca abrirá la puerta de la caja, la otra destruirá su contenido. En la puerta, una placa de oro dice:
1. Exactamente una de estas afirmaciones es verdadera.
2. Todas las afirmaciones que siguen son verdaderas.
3. Exactamente cuatro de estas afirmaciones son falsas.
4. Exactamente una de estas afirmaciones es verdadera.
5. La palanca correcta es la roja.
¿Cuál es la palanca correcta?
Spock tira de la palanca correcta y la puerta se abre. Dentro de una pequeña cámara, Spock encuentra el tesoro: Las 142857 verdades, el libro legendario que revela todos los secretos de universo. El más grande tesoro, por supuesto, es el saber.
Unos días atrás publicamos en el canal de YouTube un video que habla de "números algebraicos y trascendentes", así como de la relación entre ese tema y las construcciones con regla no graduada y compás. Aquí pueden verlo:
La relación entre ambos temas se debe a un teorema demostrado por el matemático francés Pierre Wantzel en 1837. Este teorema dice que si un número (real positivo) puede construirse con regla no graduada y compás entonces ese número es algebraico de orden $2^k$, con $k\geq{0}$. Es decir, si es construible con regla no graduada y compás entonces es raíz de un polinomio irreducible con coeficientes racionales de grado $2^k$.
Entre otras consecuencias, este teorema permite demostrar que los tres problemas clásicos de construcción con regla y compás (la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la triseción del ángulo) son irresolubles (en el video están los detalles).
El punto que quiero destacar aquí es que en el video se desliza un error. Un error sin mayores consecuencias, pero error al fin. Quiero a dedicar esta entrada a comentarlo.
En el video digo que un número es construible si y sólo si el algebraico de orden $2^k$. Pero, aunque sí vale la implicación, y con eso basta para demostrar la irresolubilidad de los tres problemas clásicos, en realidad la recíproca es falsa. Es decir, existen números reales positivos algebraicos de orden $2^k$ que no pueden construirse con regla no graduada y compás.
Vayamos por partes.
Si un número es algebraico de orden $2^0=1$, entonces es racional, y todo número racional puede construirse (porque, cualquiera sea $n\geq{2}$, es posible, con regla no graduada y compás, dividir un segmento en $n$ partes iguales.)
Todo número algebraico es orden 2 es de la forma $q_0\pm{\sqrt{q_1}}$, donde $q_0$ y $q_1$ son racionales. Todos los números de esta forma pueden construirse con regla no graduada y compás.
Existen, sin embargo, números algebraicos de orden 4 que no pueden construirse. Veamos un ejemplo.
Consideremos el polinomio $f(x) = (x-1)^4-(x-1)-1$. Este polinomio es irreducible (no mostraré aquí los detalles) y tiene dos raíces reales positivas (esto puede verificarse apelando a las técnicas básicas del análisis matemático). Esas dos raíces positivas son, entonces, números algebraicos de orden 4.
(El polinomio tiene también dos raíces complejas no reales, que también son números algebraicos de orden 4, pero no nos interesan aquí.)
Por razones de simplicidad, realicemos el cambio de variable $z=x-1$. Obtenemos el polinomio $g(x)=z^4-z-1$.
Hallemos las raíces de $g(x)$. Para ello, utilizaré, según nos lo enseña Wikipedia, el método de Ferrari (matemático italiano del siglo XVI y discípulo de Cardano). (Nota personal: en mis casi 40 años de relación con la matemática, es la primera vez que voy a resolver por radicales una ecuación de grado 4).
Dice Ferrari que planteemos la ecuación cúbica: $y^3+4y-1=0$, que tiene una única solución real (una vez más, esto puede comprobarse con técnicas de análisis). Según el método de Cardano (también aprendido en Wikipedia, y también usado por mí por primera vez en la vida), esa única raíz real es:
Detalle importante: el polinomio de grado 3 que hemos obtenido es irreducible (no es difícil de verificar). Por lo tanto, $y_0$ es algebraico de orden 3 y no puede construirse con regla no graduada y compás.
Entonces, dice Ferrari, las dos raíces reales de $g(x)$ son las soluciones de la ecuación cuadrática:
(No era necesario escribir esta última expresión, pero no pude resistirme a completar la resolución de la ecuación de grado 4.)
Finalmente, las dos raíces reales del polinomio $f(x)$ original son $x_{1,2}=z_{1,2}+1$.
Estos números $x_1$ y $x_2$ son algebraicos de orden 4. Veamos que al menos uno de ellos no puede construirse con regla y compás.
Supongamos, por el absurdo, que $x_1$ y $x_2$ pudieran construirse, entonces también podría construirse su suma: $x_1 + x_2$. Pero su suma es $x_1 + x_2=2-\sqrt{y_0}$ (esto puede deducirse observando la ecuación cuadrática, por eso dije que no era necesario explicitar $z_{1,2}$). Entonces puede construirse $\sqrt{y_0}$, de donde se deduce que también puede construirse $y_0$. Pero esto es absurdo, porque $y_0$ es algebraico de orden 3.
Luego, $x_1$ y $x_2$ son algebraicos de orden 4, pero al menos uno de ambos no puede construirse con regla no graduada y compás.
Imaginemos que nos proponen participar del
siguiente juego.
Para participar, tenemos que apostar 1.000.000 de pesos. El pago que recibimos cada vez que participamos queda determinado
por los tiros de una moneda (que suponemos equilibrada y perfecta). Esta moneda se tira tantas veces como sea necesario
hasta que salga “cara” por primera vez. Si la moneda se tiró $n$ veces entonces nos
pagan $2^n$ pesos. Es decir, cuanto más tarde en aparecer la primera “cara”,
más dinero nos pagarán. Por ejemplo, si sale “cara” en el primer tiro, nos pagarán 2 pesos. Si sale “cara” recién en el segundo tiro, nos pagarán 4 pesos. Si sale “cara”
recién en el tercer tiro, nos pagarán 8 pesos. Y así sucesivamente.
Observemos que la probabilidad de que salga “cara” en
el primer tiro es $\frac{1}{2}$. La
probabilidad de que salga “cara” recién en el segundo tiro (es decir, “ceca” en
el primero y “cara” en el segundo) es de $\frac{1}{4}$. Generalizando, la probabilidad de que la primera
“cara” salga en el tiro $n$es de $\frac{1}{2^n}$.
¿Conviene participar de este juego?
Cada vez que participemos tenemos que apostar 1.000.000 pesos, una cantidad exorbitante para cualquiera de nosotros. Hay que pensar
muy bien si nos conviene participar.
Para responder la pregunta tenemos que calcular
el valor esperado (o la esperanza, o la esperanza matemática)
de nuestra ganancia, (nuestra ganancia es la diferencia entre lo que nos pagan
y lo que apostamos). De acuerdo con la teoría de probabilidades, la esperanza
de nuestra ganancia se calcula así: E = -1.000.000 + $2\times{\frac{1}{2}}$ + $4\times{\frac{1}{4}}$ + ... Es decir, -1.000.000 más la suma de infinitos unos. La ganancia esperada es infinita.
La respuesta, obviamente, es que nos conviene jugar.
De hecho, nos conviene muchísimo. Porque el cálculo nos dice que si jugamos una
y otra vez (apostando en cada jugada 1.000.000 de pesos), la cantidad de dinero que
ganaremos tenderá, a la larga, al infinito.
¿Por qué es una “paradoja”?
En todo lo anterior no hay ningún error, ni
ninguna contradicción. Se lo llama “paradoja”, en principio, porque resulta
poco intuitivo que haya un juego en el que se pueda ganar infinito dinero (no
importa cuánto se apueste, ya sea un millón de pesos, o mil millones).
Pero hay otra razón por la cual se la considera
una paradoja. Para explicar esta otra razón, planteemos la siguiente pregunta: ¿por
qué el cálculo de la esperanza da como resultado “infinito”? Más allá del
cálculo en sí, la idea es la siguiente:
Si jugamos repetidamente el juego, algunas
veces nos pagarán más de 1.000.000 de pesos y ganaremos dinero; pero otras
veces nos pagarán menos de 1.000.000 y perderemos. Con más precisión,
como $2^{19}$ es poco más de 500.000, y$2^{20}$ es poco más de 1.000.000, entonces, cada vez que la primera “cara” salga en el
tiro 19 o antes perderemos dinero, pero cada vez que la primera
“cara” salga en el tiro 20 o después ganaremos. En resumen,
hay una cantidad infinita de resultados posibles que nos hacen ganar dinero (y una cantidad creciente de dinero cuanto más tarde la cara en aparecer), mientras que hay solamente una
cantidad finita de casos que nos hacen perder dinero. Es por eso que, a la larga,
ganaremos tanto dinero como queramos.
La paradoja aparece en la frase “a la larga”. ¿Qué tan
“a la larga” tenemos que esperar para ganar dinero?
Como dijimos antes, si la primera “cara” aparece en el
tiro 20, entonces ganamos dinero. Pero ¿cuánto tendremos que esperar para que
eso suceda?
La probabilidad de que la primera “cara” aparezca en
el tiro 20 es $\frac{1}{2^{20}}$, que es del orden de un millonésimo. Es decir, si
jugamos una vez por día (si nos atrevemos a arriesgar un millón de pesos cada día),
observaremos 20 caras seguidas, en promedio, una vez cada un millón de días,
o una vez cada 2.379 años. Es decir, tendremos que esperar unos 2.379 años
para ganar por primera vez 475.712. No sólo seremos muy viejos para disfrutar del triunfo, sino que, además, para ese entonces llevaremos apostados un
billón de pesos aproximadamente. Para ganancias mayores el tiempo de espera es
aún mayor; de hecho, ese tiempo de espera crece exponencialmente.
En resumen, si apostamos una vez por día, es decir, si
gastamos un millón de pesos por día, a la larga ganaremos tanto dinero como
queramos. Pero para llegar al momento en el cual el balance quede finalmente a
nuestro favor tendremos que esperar millones de años. No sólo
tendríamos que ser inmortales, sino también deberíamos disponer de trillones y
trillones de pesos para apostar. Esta es, entonces, la paradoja: en teoría el
juego conviene muchísimo, pero en la práctica es mejor ni siquiera acercarse a
él.
En este enlace puede descargarse un índice que recopila el contenido de todos los números de la revista Axioma. Los números de la revista pueden descargarse desde este otro blog.
Hace unos días se publicó el número 5 de la Revista Urania, publicación on line del Departamento de Matemática del ISP Joaquín V. González, de la Ciudad de Buenos Aires.
En ese número 5, y también en el número 2, se han publicado artículos escritos por un servidor.
Todos los números de la revista pueden verse en este enlace.
La mayor parte de los videos está pensado como complemento o apoyo para clases de matemática de nivel secundario. Pero también se irán abarcando otros temas.
Había dejado de publicar el problema del domingo porque me pareció que no despertaba interés entre los lectores. Pero recibí, para el problema anterior, una respuesta (correcta y muy bien justificada) de Emilio Dávola. La respuesta es: ninguna.
Esto me alienta a publicar un nuevo problema:
Tenemos 1001 rectángulos con lados enteros tales. En cada rectángulo, la diferencia entre las longitudes de sus lados es menor que 100. Demuestren que existen 21 rectángulos tales que cada uno de ellos puede cubrir totalmente, o ser cubierto totalmente, por cada uno de los otros. (Cuando un rectángulo cubre al otro los lados respectivos quedan paralelos.)
Dados n puntos en el plano ¿es siempre posible trazar n rectas que sean paralelas y equidistantes entre sí tales que cada punto pertenezca exactamente a una de esas rectas? ("Equidistantes" significa aquí que la distancia entre dos rectas consecutivas es la misma.)
