Números algebraicos y trascendentes, y construcciones con regla y compás

Unos días atrás publicamos en el canal de YouTube un video que habla de "números algebraicos y trascendentes", así como de la relación entre ese tema y las construcciones con regla no graduada y compás. Aquí pueden verlo:

La relación entre ambos temas se debe a un teorema demostrado por el matemático francés Pierre Wantzel en 1837. Este teorema dice que si un número (real positivo) puede construirse con regla no graduada y compás entonces ese número es algebraico de orden $2^k$, con $k\geq{0}$. Es decir, si es construible con regla no graduada y compás entonces es raíz de un polinomio irreducible con coeficientes racionales de grado $2^k$.

Entre otras consecuencias, este teorema permite demostrar que los tres problemas clásicos de construcción con regla y compás (la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la triseción del ángulo) son irresolubles (en el video están los detalles).

El punto que quiero destacar aquí es que en el video se desliza un error. Un error sin mayores consecuencias, pero error al fin. Quiero a dedicar esta entrada a comentarlo.

En el video digo que un número es construible si y sólo si el algebraico de orden $2^k$. Pero, aunque sí vale la implicación, y con eso basta para demostrar la irresolubilidad de los tres problemas clásicos, en realidad la recíproca es falsa. Es decir, existen números reales positivos algebraicos de orden $2^k$ que no pueden construirse con regla no graduada y compás.

Vayamos por partes.

Si un número es algebraico de orden $2^0=1$, entonces es racional, y todo número racional puede construirse (porque, cualquiera sea $n\geq{2}$, es posible, con regla no graduada y compás, dividir un segmento en $n$ partes iguales.)

Todo número algebraico es orden 2 es de la forma $q_0\pm{\sqrt{q_1}}$, donde $q_0$ y $q_1$ son racionales. Todos los números de esta forma pueden construirse con regla no graduada y compás.

Existen, sin embargo, números algebraicos de orden 4 que no pueden construirse. Veamos un ejemplo.

Consideremos el polinomio $f(x) = (x-1)^4-(x-1)-1$. Este polinomio es irreducible (no mostraré aquí los detalles) y tiene dos raíces reales positivas (esto puede verificarse apelando a las técnicas básicas del análisis matemático). Esas dos raíces positivas son, entonces, números algebraicos de orden 4. 

(El polinomio tiene también dos raíces complejas no reales, que también son números algebraicos de orden 4, pero no nos interesan aquí.)

Por razones de simplicidad, realicemos el cambio de variable $z=x-1$. Obtenemos el polinomio $g(x)=z^4-z-1$.

Hallemos las raíces de $g(x)$. Para ello, utilizaré, según nos lo enseña Wikipedia, el método de Ferrari (matemático italiano del siglo XVI y discípulo de Cardano). (Nota personal: en mis casi 40 años de relación con la matemática, es la primera vez que voy a resolver por radicales una ecuación de grado 4). 

Dice Ferrari que planteemos la ecuación cúbica: $y^3+4y-1=0$, que tiene una única solución real (una vez más, esto puede comprobarse con técnicas de análisis). Según el método de Cardano (también aprendido en Wikipedia, y también usado por mí por primera vez en la vida), esa única raíz real es:

$y_0=\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{283}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{283}{108}}}$

Detalle importante: el polinomio de grado 3 que hemos obtenido es irreducible (no es difícil de verificar). Por lo tanto, $y_0$ es algebraico de orden 3 y no puede construirse con regla no graduada y compás.

Entonces, dice Ferrari, las dos raíces reales de $g(x)$ son las soluciones de la ecuación cuadrática:

$z^2 + \sqrt{y_0}z + \frac{y_0}{2}-\sqrt{\frac{y_0^2}{4}+1} =0$

Las dos raíces reales de $g(x)$ son, entonces: 

$z_{1,2} = \frac{-\sqrt{y_0}\pm \sqrt{\frac{y_0}{2}+4\sqrt{\frac{y_0^2}{4}+1}}}{2}$

(No era necesario escribir esta última expresión, pero no pude resistirme a completar la resolución de la ecuación de grado 4.)

Finalmente, las dos raíces reales del polinomio $f(x)$ original son $x_{1,2}=z_{1,2}+1$. 

Estos números $x_1$ y $x_2$ son algebraicos de orden 4. Veamos que al menos uno de ellos no puede construirse con regla y compás.

Supongamos, por el absurdo, que $x_1$ y $x_2$ pudieran construirse, entonces también podría construirse su suma: $x_1 + x_2$. Pero su suma es $x_1 + x_2=2-\sqrt{y_0}$ (esto puede deducirse observando la ecuación cuadrática, por eso dije que no era necesario explicitar $z_{1,2}$). Entonces puede construirse $\sqrt{y_0}$, de donde se deduce que también puede construirse $y_0$. Pero esto es absurdo, porque $y_0$ es algebraico de orden 3.

Luego, $x_1$ y $x_2$ son algebraicos de orden 4, pero al menos uno de ambos no puede construirse con regla no graduada y compás.