Preguntas Inquietantes: Capítulo 1

El texto (en PDF) que puede descargarse desde el enlace copiado más abajo inicia una serie inspirada en la dinámica y el contenido de la materia Seminario, materia que dicté durante más de una década en el Profesorado de Matemática del Instituto Nacional Superior del Profesorado Técnico, en Buenos Aires, Argentina. Ayelén Catani, que en los últimos años actuó como ayudante en las clases, colabora con valiosos recuerdos, sugerencias y comentarios. Gisela Serrano, a quien le debo la idea germinal de la metodología de Seminario, lee críticamente y corrige estos textos. Carolina Chávez, que actuó como ayudante en los primeros años de la materia, colaboró en su momento en una versión inicial, y un poco más primitiva, de estos escritos.

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Un video muy interesante

Productoria

1) Si $(a_1,\dots ,a_n)$ es una n-upla de números reales, la productoria $\prod (a_1,\dots ,a_n)$ se define, inductivamente, de esta manera:

Para $n=0$, definimos $\prod ()=1$.
Supuesto definido $\prod (a_1,\dots ,a_n)$, definimos $\prod (a_1,\dots ,a_n,a_{n+1}) = a_{n+1}\cdot \prod (a_1,\dots ,a_n)$.

2) Definimos $b^n=\prod (b,\dots ,b)$, donde b aparece n veces; en particular $b^0=\prod ()=1$. Y más en particular $0^0=\prod ()=1$.

Un comentario sobre "cero a la cero"

La entradas de este blog que se refieren al hecho de que "0 a la 0" es 1 están agrupadas bajo la etiqueta "irrefutable pero resistida". ¿Qué es lo "irrefutable"? La etiqueta se refiere en realidad a dos afirmaciones:

1) No se produce ninguna contradicción o paradoja si se define "0 a la 0" como 1.
Esto no es una opinión, sino un hecho demostrado matemáticamente; la demostración puede verse en la entrada aquí enlazada y dice básicamente así: si los números naturales son definidos de modo conjuntista entonces el hecho de que 0 a la 0 es 1 puede demostrarse como teorema (véase aquí), por lo tanto la afirmación "0 a la cero es 1" no genera contradicciones si se adopta la definición conjuntista. Es verdad que hay otras definiciones posibles, pero todas ellas son esencialmente equivalentes a la definición conjuntista, por lo tanto, si con la definición conjuntista no se producen contradicciones entonces tampoco se producirán si se adopta cualquier otra definición.

Puede decirse que tal ver tampoco se produzcan contradicciones se se define 0 a la 0 como 2 o como 56; aquí interviene la segunda afirmación, que dice:

2) El valor más conveniente y coherente para "0 a la 0" es 1.
En este caso no se trata de un hecho matemático riguroso, pero sí de un hecho con una gran carga de convicción. Hay muchas formas de justificar la afirmación, una de ellas fue mencionada en el punto anterior ("existe una definición de los números naturales en la que se puede probar que 0 a la 0 es igual a 1"), otra está basada en la escritura de los polinomios usando el símbolo de sumatoria, una tercera justificación se recoge aquí.

Todo lo demás es prejuicio.

Adenda: Puede leerse también este enlace, en especial las respuestas #9 y #11.

Un enlace sobre 0^0

Un enlace sobre "0 elevado a la cero", aquí.

^ (Parte 2 y definitivamente última)

La extensión no es abuso

Resumen de lo publicado: En el capítulo anterior hemos definido a^n como el producto de a por sí mismo n veces. Esta definición vale para todo a real y siempre n sea un entero estrictamente positivo. En particular, la propiedad que dice que a^n/a^m = a^(n - m) sólo puede ser enunciada y aplicada si n es estrictamente mayor que m, o sea, si n - m es un entero estrictamente mayor que cero, ya que ése es, por ahora, el único conjunto en el que pueden estar nuestros exponentes.

P: ¿Qué pasa con a^0?

R: No sé.

P: Propongo la siguiente demostración: a^0 = a^(1 - 1) = a^1/a^1 = 1, si a no es cero, por supuesto.

R: Me temo que su demostración es errónea. Como está dicho más arriba, la propiedad para a^(n - m) sólo vale si n es mayor que m. No se aplica si n = m, simplemente porque a^0 todavía no está definido.

a^0, a priori, podría definirse de cualquier manera. Podría se 234 o 9. Hasta cierto punto las definiciones matemáticas son arbitrarias, porque la Matemática es, en gran medida, una creación puramente humana. Sin embargo, como dije, las definiciones son arbitrarias "hasta cierto punto". Hay ciertas reglas que deben (o que suelen) cumplirse, tales como el respeto a la consistencia lógica o a la elegancia ("no hay lugar en el mundo para Matemáticas feas", decía Hardy).

En el caso de a^0 la elegancia obliga a que la operación sea definida de modo tal que, en la medida de lo posible, sigan valiendo las propiedades que valían para los exponentes enteros positivos. Por lo tanto la "demostración" de más arriba no es tal, pero sí es una indicación de que el modo razonable de definir a^0 es como 1.

P: Si a no es cero, ya que el razonamiento lo pide explícitamente.
R: De acuerdo. Pero antes de responder a eso le hago una pregunta ¿está de acuerdo en que si a es disitnto de cero entonces 2.a = a.2?
P: Obviamente.

R: Luego, usted diría que es verdad que: "si a no es cero entonces 2.a = a.2".
P: Ya le he dicho que sí.
R: ¿Por lo tanto para a = 0 es falso?
P: Usted sabe que no es así. El hecho de que la afirmación valga para a distinto de cero no nos dice nada acerca de lo que vale, o no vale, para a = 0.

Por lo tanto, que a^0 = 1 para a distinto de cero no nos dice nada acerca de lo que vale, o no vale, para a = 0. De hecho, como ya se ha demmostrado en este blog, no hay inconsistencia en definir 0^0 como 1.

Por lo tanto:

Caso 2: a^0 se define como 1 para todo a real.

P: Pero ésta operación no es ahora la misma que definimos en la entrada anterior, ya que antes sólo admitía exponentes positivos y ahora admite el cero. ¿No es un abuso de notación usar el mismo símbolos para ambas operaciones?
R: La extensión no es abuso. Hemos extendido el dominio de la operación y, por lo tanto, es perfectamente razonable (y de uso en toda la comunidad matemática) el emplear el mismo símbolo para ambas, sin que ello implique ambigüedad o error potencial. De otra forma, deberíamos usar un símbolo para sumar 2 + 2 cuando la suma se hace como números naturales, otro símbolo para sumarlos como enteros, otro para sumarlos como racionales, otro para sumarlos como números en Q(r(2)), otro en Q(r(2),r(3)), otro en... (infinitos casos aquí),... otro como algebraicos, otro como reales, otro como complejos, otro como cuaterniones,... Es más razonable (y razonable es una palabra suave) considerar que todas estas sumas son en realidad la misma operación que se va extendiendo a los sucesivos conjuntos numéricos y usar, en consecuencia, el mismo símbolo en todos los casos.

De la misma forma, la potenciación, la misma potenciación, ha sido extendida aquí de los naturales a los naturales con el cero.

P: ¿Y qué pasa con la función Pot(x,y) = x^y de la que he leído por ahí?
R: Por supuesto, usted tiene derecho a definir todas las funciones que quiera. Pero su función Pot es sólo una entelequia que no juega ningún papel en lo que estamos haciendo aquí. En realidad, la potenciación es una función de una sola variable. Fijado el parámetro a, definimos a^x "ascendiendo" por los sucesivos conjuntos numéricos. Para cada a tenemos una función exponencial diferente (tal como se enuncia en todos los libros de matemáticas que hablan del tema).

No voy a aburrirlos con las definiciones de a^r para r entero negativo o r racional, que se "deducen" de manera similar a como se deduce a^0 (con restricciones para el parámetro a en cada caso). El valor de a^r para r real positivo o negativo (con la restricción de que a debe ser positivo) se define, por ejemplo, aproximando r por una sucesión de racionales (o bien definiendo primero e^r mediante una serie y luego procediendo a partir de allí).

La verdad es que yo mismo estoy aburrido de este tema. Señoras y señores, es perfectamente válido y necesario definir 0^0 como 1. A quien no le guste, o quien, contra todo argumento racional, siga creyendo que no es así, está en todo su derecho a equivocarse. Y si alguien quiere protestar, la protesta será publicada en el blog. Pero ya no tendrá respuestas de mi parte. Ninguna respuesta. Todo lo que tenía que decir (y mucho más) sobre este tema ya lo he dicho. 3, 2, 1... Adiós.

^ (Parte 1)

Definición comentada de la operación de potenciación

La intención de esta breve serie de entradas es exponer la definición de la operación de potenciación tal como es aceptada universalmente por la comunidad matemática, agregando algunos comentarios que normalmente son omitidos en los textos. Hago la aclaración de que las limitaciones de Blogger me obligan a indicar la operación con el símbolo "^", aunque todos sabemos que usualmente se indica poniendo el exponente en tamaño pequeño y un poco elevado por sobre la línea de escritura.

El primer punto a tomar en cuenta es que la potenciación es una operación que se define por casos sucesivos, según el conjunto numérico en el que se encuentre el exponente. Iniciaré con un caso muy básico:

Caso 1: a^2 = a.a. (El número a puede ser cualquier número real.)

[René Descartes fue el primero, o al menos uno de los primeros, en usar esta notación.]

Pregunta: ¿Por qué a^2 es a.a? ¿Podría ser a^2 = a + a?

Respuesta: Que a^2 sea igual a a.a es sólo una convención de notación que, evidentemente, fue elegida porque resultaba útil (podemos conjeturar que el producto de un número por sí mismo aparecía muchas veces en los cálculos y eso justificó el uso de una notación específica para esa operación. La respuesta a la segunda pregunta es claramente que sí. Las notaciones matemáticas dependen muchas veces de elecciones arbitrarias que pudieron haber sido muy diferentes.

Pregunta: ¿Es un abuso de notación el usar el mismo símbolo ^ (en realidad, la notación del exponente) para (-2)^2 o para 3^2.

Respuesta: Obviamente, no. En ambos casos hablamos de multiplicar un número por sí mismo así que ¿por qué sería un abuso de notación? Si Ud. le hubiera planteado esa pregunta a Descartes, seguramente le habría tirado un borrador por la cabeza, como un par de siglos después haría otro francés, Galois, con un examinador que le hacía preguntas de ese estilo (claro que aquél borrador no era de madera como los nuestros, sino que era una esponja).

Caso 1 (ampliado): a^n = a.a....a (Donde a se repite n veces.)

El número a puede ser cualquier número real. El valor de n sólo puede ser un entero estrictamente positivo, es decir: 1, 2, 3, 4,... ya que sólo para esos valores puede hablarse de "cantidad de veces". Puee darse una definición inductiva de este caso, pero es sólo una formalización más elegante de la misma idea.

Propiedades:

Importante: Hasta ahora sólo hemos definido el cálculo de potencias con exponente entero estrictamente positivo y, como consecuencia, las propiedades se refieren sólo a ese caso. En el punto 3 el valor de a debe ser distinto de cero, en los demás puede ser cualquier número real.

1. (a^n).(a^m) = a^(n + m)

2. (a^n)^m = a^(n.m)

3. a^n/a^m = a^(n - m). Esta propiedad vale (por ahora) solamente si n es estrictamente mayor que m, porque de lo contrario en el miembro derecho tendríamos una potencia que todavía no hemos definido. Obviamente a debe ser distinto de cero.

Pregunta: ¿Qué pasa con a^0?

Respuesta: Todavía no lo hemos definido, aparecerá en el caso siguiente.

Continuará...

Un problemita muy matemático

1) Halle todas las funciones continuas g:(0, + infinito) --> R tales que g(x^y) = g(x)^g(y) para todo x, y.

2) Muestre una función discontinua g:(0, + infinito) --> R tal que g(x^y) = g(x)^g(y) para todo x, y.

("^", como siempre, significa "elevado a la").

[Dado que los comentarios a esta entrada se han apartado del tema inicial y se han adentrado en la discusión sobre 0^0, he decidido agregar a la entrada la etiqueta Irrefutable pero resistida, con la que designo a las entradas donde se habla de la afirmación "0^0 = 1". Hago, además, la observación de que, al momento de escribir estas líneas, 15.02.11, la segunda parte del problema sigue sin tener resolución.]

Un teorema sobre 0^0

Teorema: Sea T una teoría que hable de los enteros no negativos y sus operaciones, si en esa teoría se define 0^0 como 1 entonces no se produce contradicción alguna.

Demostración: Si definimos a los números enteros no negativos en el contexto de la teoría F de los conjuntos finitos (los definimos como los cardinales de esos mismos conjuntos) entonces la afirmación 0^0 = 1 puede demostrarse como teorema (véase aquí). Por lo tanto, la afirmación es consistente con la teoría F, es decir, F U {0^0 = 1} es consistente.

Por ende, T U {0^0 = 1} es consistente también (cualquiera sea T consistente y que defina a los enteros no negativos), porque, de no ser así, la misma contradicción que surgiera en T U {0^0 = 1} existiría también en F U {0^0 = 1}, pero esa supuesta contradicción, ya vimos, en realidad no existe.

...todo lo demás es prejuicio irracional.

Gaussianos y 0^0 = 1

Haciendo clic en este enlace se arribará a una discusión en el excelente blog Gaussianos en torno al tema de que 0^0 = 1.

Una aproximación intuitiva a 0^0 = 1 (Tercera ¿y última? parte)

Procedamos a definir la operación de potenciación. Como en el caso del factorial, avanzaremos en pasos sucesivos: primero definiremos la potenciación para expoenetes enteros mayores o iguales que 1, luego para el exponente 0, etc.

Para empezar, a^n se define como a.a.a...a (n veces). La expresión "n veces" sólo tiene un sentido claro e indubitable si n es un entero mayor o igual que 1 y, por lo tanto, esta definición sólo se aplica a este tipo de exponente.

Imaginemos entonces que por ahora sólo sabemos calcular a^n cuando n es un entero mayor o igual que 1. Si n y m cumplen esa condición tenemos que:

1. a^n.a^m = a^(n + m)

2. (a^n)^m = a^(n.m)

3. a^n/a^m = a^(n - m)

Todas estas propiedades se puedebn demostrar fácilmente a partir de la definición dada más arriba.

Dado que, por ahora, sólo admitimos exponentes positivos, entonces en la última igualdad debe ser necesariamente n > m y además (no por la definición de la potenciación, sino por definición de la división) el número a debe ser distinto de 0.

Queremos ahora extender la definición al exponente 0. En ese sentido, es común dar la siguiente "justificación" (errónea) de que a^0 = 1. Esta falsa justificación diría que, por la propiedad 3, vale:

a^0 = a^(n - n) = a^n/a^n = 1

Pero la justificación es incorrecta y el error está en que, como dijimos antes, la propiedad 3 sólo vale si n > m, y en esta justificación se la está aplicando para n = m. Este error es clave y está en el corazón de muchas de las falsas explicaciones de por qué no se podría definir 0^0.

¿Cómo se puede justificar que a^0 = 1? La respuesta es que no se puede justificar. Para empezar, porque todavía no hemos definido a^0. Como dijimos para el caso del factorial hasta cierto punto las definiciones matemáticas son solamente convenciones arbitrarias. No hay forma de "medir" cuánto vale a^0. Podemos definirlo como querramos y nuestras únicas guías para hacerlo son la coherencia lógica, la conveniencia y la elegancia.

Ahora bien, al definir a^0 nos gustaría (por razones de simplicidad y elegancia) que, en la medida de lo posible, se conservaran las propiedades 1, 2 y 3 de más arriba. Y entonces, para que se conserve la propiedad 3 nos conviene definir a^0 como 1.

En uno de los comentarios a la entrada anterior de esta serie pregunté si primero era la propiedad o la definición. La respuesta es "depende". En este caso, primero viene la definición de a^n con n > 0, de la que se deducen las propiedades 1, 2 y 3, que a su vez nos guían la definición de a^0.

De manera similar (no me extenderé aquí con ello) las propiedades 1, 2 y 3 nos dicen cómo definir a^(-n) y a^(1/n). En particular, a^(1/n) se define como la raíz n-ésima de n porque queremos que para exponentes racionales siga valiendo la propiedad 2. Primero es la propiedad (que queremos que valga) y luego la definición (que hace que esa propiedad se cumpla).

El caso que nos interesa es 0^0. La propiedad 3, como dijimos antes, no vale para a = 0. Esto no quiere decir que 0^0 no puede definirse, sólo nos dice que la propiedad 3 no nos sirve de guía para su definición.

Dado que 0^n = 0 si n > 0 y a^0 = 1 si a es distinto de 0, parece haber un conflicto para definir 0^0 ¿es 0 o es 1?. Pero esto tampoco es un problema. También teníamos razonamientos que nos permitían "justificar" que 0! = 1 y otros que permitían "justificar" que 0! era 0. Elegimos 0! como 1 porque de esta manera muchas fórmulas resultan coherentes.

De la misma manera al definir 0^0 buscamos que las fórmulas sean coherentes. Una de ellas es la escritura de los polinomios (o de las series de potencias) como sumatorias en las que aparece x^i con i comenzando desde 0 y que sólo están bien definidas para x = 0 si 0^0 es 1.

Pero otra fórmula más clara, simple y elegante que nos muestra por qué 0^0 debe ser 1 se relaciona (como el factorial) con la combinatoria. Para entenderla volvamos por un minuto al 0!. En teoría de lenguajes resulta muy útil definir la palabra vacía, que es la palabra que no tiene símbolos (el equivalente, para las palabras, del conjunto vacío).

Con dos letras podemos escribir dos palabras (si no repetimos letras y las usamos todas): AB y BA (y es así que 2! = 2). Con una letra podemos escribir una palabra: A (y 1! = 1). Sin letras podemos escribir una palabra: la palabra vacía. Gracias a la ficción de la palabra vacía podemos entonces "justificar" (a posteriori, en realidad) que 0! = 1.

Supongamos ahora que tenemos 3 letras y que queremos escribir palabras de 3 letras cada una, pero ahora admitiendo letras repetidas. Hay en total 3^3 = 27 palabras posibles (AAA, AAB, AAC, BAA, etc.)

Supongamos que tenemos 3 letras y que queremos escribir palabras de 2 letras cada una, admitiendo letras repetidas. Hay en total 3^2 = 9 palabras posibles.

Supongamos que tenemos 3 letras y que queremos escribir palabras de 1 letra cada una. Hay en total 3^1 = 3 palabras posibles.

Supongamos que tenemos 3 letras y que queremos escribir palabras de 0 letras cada una. Hay en total 3^0 = 1 palabras posibles (la palabra vacía).

Supongamos que tenemos 0 letras y que queremos escribir palabras de 2 letras cada una. Hay en total 0^2 = 0 palabras posibles (con 0 letras no se pueden escribir palabras de 2 letras).

Supongamos que tenemos 0 letras y que queremos escribir palabras de 1 letra cada una. Hay en total 0^1 = 0 palabras posibles (con 0 letras no se pueden escribir palabras de 1 letra).

Supongamos que tenemos 0 letras y que queremos escribir palabras de 0 letras cada una. Hay en total... sí, una palabra. La palabra vacía es una palabra de 0 letras. Por lo tanto, la coherencia de la fórmula nos lleva a decir que 0^0 = 1.

Se ve aquí por qué 0^n = 0 si n > 1, se debe a que con 0 letras no podemos formar palabras de n letras con n > 1.

Vemos también por qué n^0 = 1 si n > 1 porque con n letras podemos formar una sola palabra de cero letras (la palabra vacía).

Y vemos también por qué 0^0 = 1, porque con 0 letras podemos formar una sola palabra de cero letras (la palabra vacía).

La coherencia de las fórmulas nos lleva perfectamente a ver que, en efecto, 0^0 es, ni más ni menos, que 1.

Nota 1: Este razonamiento en base a "palabras" es la versión intuitiva de la demostración que dí en esta otra entrada.

Nota 2: No estoy de acuerdo con que la matemática sea un círculo lógico (como se citó en un comentario a la entrada anterior). El lenguaje matemático tiene, a veces, una estructura circular (o, si seguimos con las matáforas gráficas, en espiral): definimos a^n, tenemos su propiedades, que nos llevan a definir a^0, etc. Pero las convenciones del lenguaje matemático no son la matemática.

Que a^n = a.a...a (n veces) no es un hecho matemático, es sólo una convención de lenguaje. La matemática, la verdadera matemática (la de las ideas) no es, para nada, un círculo lógico.

Una aproximación intuitiva a 0^0 = 1 (Segunda parte)

El factorial de n se define así: n! = 1 x 2 x 3 x .... x n y, como es bien sabido, permite calcular la cantidad de formas diferentes en que se pueden permutar n elementos. O también podríamos decir que n! se define como la cantidad de maneras diferentes en que se pueden permutar n elementos y que se calcula como 1 x 2 x 3 x .... x n. Ambos puntos de vista son equivalentes y válidos.

Pero no importa cuál de los dos puntos de vista adoptemos, n! se define, en principio, para valores de n enteros y mayores o iguales que 1. Entonces ¿por qué (o para qué) querríamos extender esa definición al 0? Reconozcamos que querer calcular la cantidad de permutaciones de la nada parece un problema más de carácter filosófico que matemático. He ahí el quid de la cuestión: tratemos de entender de dónde surge realmente la necesidad de definir 0!

Imaginemos que aún no hemos definido 0! Existen muchas fórmulas en las que interviene el factorial. Una de las más conocidas es la del número combinatorio:

C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}

C(n, k) calcula la cantidad de subconjuntos de k elementos que tiene un conjunto de n elementos. Como el factorial está definido (por ahora) sólo para valores mayores o iguales que 1 entonces C(n, k) sólo puede calcularse si k está (estrictamente comprendido) entre 0 y n.

Ahora bien, aunque C(n, n) no esté definido según la fórmula anterior, es claro que debe ser igual a 1 (en un conjunto de n elementos hay sólo un subconjunto de n elementos). Para que, al ser calculado con la fórmula anterior, sea C(n, n) = 1, el valor de 0! debe ser 1.

De manera similar querríamos que C(n, 0) fuera 1 y esto sucede, en efecto, si 0! = 1.

La fórmula del polinomio de Taylor y otras quedan también elegante y coherentemente expresadas si 0! = 1. También la fórmula que dice que n!(n + 1) = (n + 1)!

Ésa es la verdadera razón por la que 0! = 1: para que las fórmulas en las que interviene n! puedan extender su validez al caso n = 0. Es una simple cuestión de eleganacia y coherencia. Que "hay una sola permutación de ningún objeto" es una explicación a posteriori que nos inventamos para convencernos de que la definición de 0! correcta. Pero, como dije en un comentario de la entrada anterior, también podríamos decir que si no hay nada que permutar entonces no hay permutación alguna.

Algo similar sucede con el conjunto vacío, que sólo existe porque es una ficción útil. Bien podríamos decir que la idea de "conjunto" implica una reunión de objetos y que si no hay objetos no hay conjunto. Pero resulta útil y conveniente que haya un conjunto que represente la nada. En el mismo orden, los gruegos de la antigüedad clásica no consideraban al 0 como número, y tampoco al 1, porque para ellos "número" era "diversidad" y el 1 era la "unidad". De modo que el 1 no era un número.

Las definiciones matemáticas son, hasta cierto punto, arbitrarias. Son convencines de lenguaje que resultan útiles y facilitan la comunicación, pero no son realidades "indubitables". Nadie puede "ver" o "medir" cuánto vale 0!, lo definimos por conveniencia.

Como se dijo en uno de los comentarios de la entrada anterior, la definición del factorial suele extenderse a valores no enteros (incluso negativos) usando la función Gamma (que aquí escribiré como G, la definición involucra una integral impropia y no es necesario darla aquí).

Se usa esta función porque tiene la propiedad de que si n es entero positivo entonces G(n + 1) = n! Basados en esta propiedad se define, para x cualquiera, x! como G(x + 1).

Cito ahora el clásico Elementos de Cálculo Diferencia e Integral de Sadosky-Guber en el que se calcula que, según la definición anterior, (0,5)! es la mitad de la raíz cuadrada de pi. No creo que nadie quiera afirmar que medio objeto admite un medio de la raíz cuadrada de pi permutaciones.

A medida que extendemos su validez definición la interpretación intuitiva inicial de las fórmulas se va desdibujando. Que 3! son las permutaciones de 3 elementos es claro, que 0! representa las permutaciones de 0 elementos es al menos discutible, para (0,5)! ya no hay interpretación intuitiva (no, al menos, en términos de permutaciones). Tampoco para C(0,5; -3,2) que, gracias a la función Gamma, puede calcularse.

Sadosky-Guber le atribuyen a (-1)! el valor infinito. Obviamente, sin recurrir a la idea de permutación.

Acerquémonos un poco más a 0^0 = 1. Para ello, dejo ahora una nueva pregunta: ¿por qué

a^{\frac{n}{m}}

se define como la raíz m-ésima de a^n?

Una aproximación intuitiva a 0^0 = 1 (Primera parte)

Prometí dar una aproximación intuitiva a la demostración de que 0^0 = 1. Comenzaré ahora a cumplir esa promesa. Debo decir que suelo abordar este tema en mis clases (enseño en un profesorado de matemáticas en la ciudad de Buenos Aires) y el modo en que normalmente lo hago es a través de preguntas que analizamos y discutimos entre todos.

Empezaré planteando algunas preguntas para que Uds. puedan pensarlas y discutirlas:

1) Como sabemos, si n es un entero mayor o igual que 1, entonces n! se define como el producto n(n - 1)(n - 2)...3.2.1. El factor n aparece en la definición de n!, por lo tanto, si quisiéramos dar una definición para 0!, el factor 0 debería aparecer en ella. Este razonamiento nos diría que la definición´"lógica y natural" para 0! sería 0.

Sin embargo, como sabemos también, 0! se define como 1 (único caso en el que dos números diferentes tienen el mismo factorial). ¿Por qué 0! es 1? ¿Puede darse un contexto real y concreto que muestre por qué 0! = 1? (Quiero decir: si quisiéramos "ver" de un modo concreto que 1 + 1 = 2 tomaríamos una bolita, otra bolita y al juntarlas veríamos que hay dos bolitas ¿Cómo podría verse de modo similar que 0! es 1 y que no es 0?)

2) ¿Puede definirse (0,5)! (factorial de 0,5)? ¿Sí? ¿No? Si la respuesta es sí, ¿puede darse un contexto real y concreto que muestre cómo hacerlo?

Otra addenda a 0^0 = 1

En la entrada aquí enlazada demuestro con todo rigor matemático que 0^0 = 1. Aunque esa demostración basta por sí sola para justificar el hecho de que 0^0 es 1, debido al extendido (e inexplicable) escepticismo que esa afirmación provoca, me permito ahora reforzar la demostración apelando a un argumento de autoridad.

Por motivos totalmente ajenos al tema de esta entrada, ayer por la mañana estaba leyendo un trabajo de la Dra. Julia Robinson (destacadísima matemática norteamericana, fallecida en 1985, véase aquí una breve biografía) en el que me encontré con este fragmento:
Traduzco la frase: En relación con la última fórmula, recordamos que 0^0 = 1. "Recordamos", dice la Dra. Robinson, como quien hace (y, de hecho, está haciendo) una afirmación tan evidente que no requiere mayor explicación.

El trabajo en cuestión se titula General Recursive Functions y fue publicado en Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 1 (1950) pp. 703-718. (Véase este enlace.) Creo que no es necesario enfatizar que la AMS es una asociación del más alto nivel académico y que nunca aceptaría publicar un error matemático manifiesto.

Uno de los comentarios a la entrada original de este tema decía que había que preguntarle a una calculadora Casio cuánto era 0^0. Entre una calculadora, por un lado, y la Dra. Julia Robinson (respaldada por todo el consejo editorial de la AMS) por el otro, me quedo con...

Addenda a 0^0 = 1

He demostrado la entrada aquí enlazada que si se definen los números naturales como cardinales de conjuntos finitos (como es posible hacerlo y, como de hecho, lo hicieron Cantor, Dedekind y Russell) entonces puede demostrarse como teorema que 0^0 = 1.

Si 0^0 = 1 llevara a una inconsistencia lógica (a un absurdo) esto probaría que la aritmética misma es incosistente y en realidad que toda la matemática es incosistente.

Nótese bien: la inconsistencia de la matemática surgiría del hecho de que 0^0 no sea 1. Que 0^0 = 1 no sólo es correcto, sino que es, de hecho, un teorema.

Addenda: Y si se elige definir a los números naturales de otra manera (axiomáticamente, por ejemplo) entonces la existencia de un modelo en el que la igualdad "0^0 = 1" es un teorema demuestra que, en todo caso, no se producirá ninguna inconsistencia lógica al definir 0^0 como 1, todo lo contrario, la existencia de ese modelo prueba que, en ese contexto, la definición 0^0 = 1 es deseable.

Cero elevado a la cero

Un modo perfectamente aceptable de definir los números naturales es decir que son los cardinales (o cantidades de elementos) de los conjuntos finitos. Así por ejemplo:

0 es el cardinal del conjunto vacío (pues el conjunto vacío tiene cero elementos)
1 es el cardinal del conjunto {0} (o de cualquier otro conjunto que tanga tantos elementos como él)
2 es el cardinal del conjunto {0, 1}
3 es el cardinal del conjunto {0, 1, 2}

Y así sucesivamente. (En la definición anterior hay, en aras de un lenguaje más comprensible, algunas imprecisiones, pero los conceptos son esencialmente correctos.)

Definidos de esta manera los números, las operaciones entre ellos pueden definirse apelando a las operaciones existentes entre conjuntos. En particular nos interesa aquí la operación de potenciación. Definamos primero la potenciación entre conjuntos:

Definición: si A y B son dos conjuntos, se define B^A (el símbolo ^ significa “elevado a la”) como el conjunto formado por todas las funciones de A en B.

Precisemos un poco, ¿qué es una función de A en B? Una función de A en B es cualquier conjunto F de pares ordenados (a, b) (con a en A y b en B) que cumpla las dos condiciones siguientes:

1) Si a está en A entonces existe algún b en B tal que (a, b) está en F.
2) Si (a, b) y (a, b’) están en F entonces b = b’.

(Intuitivamente, si interpretamos que el hecho de que (a, b) esté en F como que F(a) = b, entonces la primera condición diría que todo elemento de A tiene una imagen y la segunda que no tiene dos imágenes diferentes.)

Mostremos un pequeño ejemplo; supongamos que A = {0, 1} y que B = {0, 1, 2}. Una función de A en B es, por ejemplo, {(0,1), (1,2)}. Se ve fácilmente que hay exactamente nueve funciones en B^A, y no por casualidad 9 = 3^2.

Definición: si alpha es el cardinal de A y beta es el cardinal de B entonces se define beta^alpha como el cardinal de B^A.

Si alpha y beta son ambos enteros mayores que cero la definición anterior coincide con la definición escolar más conocida y, de hecho, la definición anterior puede extenderse sin cambios a cardinales infinitos.

Pero no nos interesa aquí el infinito, sino todo lo contrario. La pregunta que nos convoca es ¿qué nos dice la definición anterior si alpha = 0, o beta = 0, o ambos?

Supongamos que beta = 0 y alpha no es cero. Eso significa que B es el conjunto vacío y que A no es vacío. ¿Qué conjuntos F de pares ordenados hay en B^A? Si A es no vacío pero B sí lo es entonces la condición 1) de la definición de función falla siempre. No importa qué función intentemos definir la condición 1) nos pide que dado algún a en A exista algún b en B que cumpla algo, pero tal b no puede existir porque B es vacío.

B^A entonces no contiene nada, B^A es en sí mismo el conjunto vacío y por ende beta^alpha = 0. Hemos probado así que 0^alpha = 0 si alpha es mayor que cero.

Supongamos ahora que A es vacío. ¿Qué conjuntos F de pares ordenados hay en B^A? Ahora sí hay un conjunto F que cumple la definición de función: el conjunto vacío. Una implicación cuyo antecedente es falso resulta ser siempre verdadera, por lo tanto si A y F son vacíos ambas condiciones de la definición de función se cumplen. Por otra parte, dado que A es vacío, no hay otras funciones posibles. Nótese que en el caso anterior ni siquiera el vacío servía como función, no había ninguna, pero en esta caso sí hay una (la “función vacía”) y por lo tanto B^A tiene un elemento. Hemos probado que beta^0 = 1.

¿Qué pasa si alpha = 0 y beta = 0? Si se observa la demostración anterior, en ningún momento aparece mencionado el hecho B sea no vacío (en cambio en la demostración de que 0^alpha = 0 sí se usa el hecho de que alpha no es cero). La demostración anterior vale textualmente sin cambios si beta = 0 y por lo tanto ese mismo razonamiento prueba que 0^0 = 1.

Por lo tanto queda probado que 0^0 = 1.

Addenda: por motivos que, confieso, me resultan difíciles de entender existe la idea muy extendida (y en general muy arraigada en quienes la sostienen) de que 0^0 es una operación “prohibida”. Sin embargo, no sólo acabamos de probar que 0^0 = 1 sino que este valor es perfectamente coherente con diversas fórmulas matemáticas, entre ellas la que dice que la sumatoria de a_ix^i (con i entre 0 y n) vale a_0 si x = 0 (esto sólo es posible decirlo si 0^0 = 1).

Addenda 2: es posible dar definiciones diferentes de la potenciación y en ese caso que alpha^beta es el cardinal de A^B deja de ser una definición y pasa a ser un teorema. Bajo estas circunstancias el razonamiento de más arriba demustra que es perfectamente consistente desde el punto de vista lógico e inclusive conveniente y necesario desde el punto de vista de la coherencia matemática que, cualquiera sea la definición que se adopte, sea 0^0 = 1.

Addenda 3: otra definición posible para ^ (con exponente entero no negativo) es decir que a^0 = 1 para todo a (incluyendo, claro está, a = 0) y que a^(n + 1) = a*a^n (donde * es la multiplicación). Nótese que según esta definición 0^0 = 1, como debe ser, y que si n>0, n = k + 1, entonces 0^n = 0^1*0^k = 0*0^k = 0, como también debe ser. En particular: 0^1 = 0*0^0 = 0*1 = 0. Esta definición resulta así totalmente equivalente a la que hemos dado en el cuerpo principal de la entrada.

Addenda 4: Al comentario del 23 de mayo de 2009, cito de "Introducción a la Teoría de Conjuntos", Lía Oubiña, Eudeba, 4º edición (1969). En la página 135, exactamente donde la página termina, dice: "nótese, en particular, que 0^0 = 1".


Addenda 5: Véase aquí.
Addenda 6: Véase aquí.