29.7.09

Otra addenda a 0^0 = 1

En la entrada aquí enlazada demuestro con todo rigor matemático que 0^0 = 1. Aunque esa demostración basta por sí sola para justificar el hecho de que 0^0 es 1, debido al extendido (e inexplicable) escepticismo que esa afirmación provoca, me permito ahora reforzar la demostración apelando a un argumento de autoridad.

Por motivos totalmente ajenos al tema de esta entrada, ayer por la mañana estaba leyendo un trabajo de la Dra. Julia Robinson (destacadísima matemática norteamericana, fallecida en 1985, véase aquí una breve biografía) en el que me encontré con este fragmento:
Traduzco la frase: En relación con la última fórmula, recordamos que 0^0 = 1. "Recordamos", dice la Dra. Robinson, como quien hace (y, de hecho, está haciendo) una afirmación tan evidente que no requiere mayor explicación.

El trabajo en cuestión se titula General Recursive Functions y fue publicado en Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 1 (1950) pp. 703-718. (Véase este enlace.) Creo que no es necesario enfatizar que la AMS es una asociación del más alto nivel académico y que nunca aceptaría publicar un error matemático manifiesto.

Uno de los comentarios a la entrada original de este tema decía que había que preguntarle a una calculadora Casio cuánto era 0^0. Entre una calculadora, por un lado, y la Dra. Julia Robinson (respaldada por todo el consejo editorial de la AMS) por el otro, me quedo con...

22 comentarios:

Anónimo dijo...

La cuestión: cero elvado a la cero, tan difundida de que es indeterminado, se debe a que en la facultad y puede ser en las escuelas técnicas, cuando en cálculo se trabaja con limites, se lo ve como una de las situaciones de interminación junto con otras.
Es la primera vez que veo una demostración donde se llega que es igual a uno.
Y si consulta e indaga uno poco, puede suceder tres situaciones:
Que responda uno, por que lo demostró o se lo enseñaron.
Que responda uno, por que no lo cuestionó, lo relaciona con la propiedad de que todo número elevado a la cero es uno y además de no haber detectado esta situación en particular.
O que afirme que es indeterminado por lo ya mencionado anteriormente.
Saludos
Isabel

Pitógarras dijo...

Jamás me había topado con este problema e ignoraba que fuera tan discutido. Con lo cual tal vez corra con la ventaja de no tener preconceptos. Claro que tambien corro con la desventaja de no entender de qué hablan.
Bueno, hablando un poco mas en serio, un poquito entiendo. Se lo que significa elevar un número a otro y entiendo por lo tanto que haya alguna controversia con el cero. Pero no entiendo la explicación con los cardinales y la función F que los combina en tal u otro número, ¿a qué se refiere?
En fin, este blog tal vez sea sólo para matemáticos, pero si hace un esfuerzo para explicar a alguien como yo, que sin ser matemático alguna noción de matemáticas tiene y ciertamente soy capaz de seguir un razonamiento si me explican los conceptos que intervienen. Por si se desconfía de mi capacidad de comprensión deductiva puedo probarlo diciendo que pude comprender la solución al problema de lógica: Existe al menos un ladrón que no es empleado de gasolinera.
Saludos y espero se me ayude.
Gracias.

Anónimo dijo...

La verdad me quede sorprendida. Coincido con Sandra, ¿Qué estuve enseñando hasta ahora? y lo que aún es mas preocupante... ¿por qué aceptamos sin discutir que 0^0 era indenterminado.. sin recibir una fundamentación sólida? sólo aceptamos el argumento que ofrece ahora Marcos, nadie sabía la respuesta y con eso nos conformamos.
Que bueno que podamos desestructurarnos y repensar los contenidos que enseñamos.
Gracias ..
María

Anónimo dijo...

Bueno Gustavo, tu planteaste el tema y ahora tendras que ayudarnos u orientarnos. Realmente como Sandra y Maria. Me interesaria alguna sugerencia para poder explicar está situación a mis alumnos de los primeros años de secundaria.
Pues la demostración presentada no la van a entender.
Y también sería bueno que alguien con un poco de conocimiento de matemática pudiera comprenderlo.
Por lo menos una aproximación intuitiva, lo que muchas veces hacemos los docentes, cuando las demostraciones no están al alcance de los alumnos, por no saber ciertos conceptos y/o no tener desarrollado su pensamiento matemático en el nivel necesario para adquir la compresión de ello.

Gustavo Piñeiro dijo...

Buscaré una manera más intuitiva y menos técnica de encarar la demostración de que 0^0 = 1. Dénme unos días para elaborarlo bien.

Gracias a todos los por los comentarios.

Saludos!

Anónimo dijo...

Me puse a preguntar a otros colegas del área y también lo tienen entendido como una indeterminación.
Pregunte a algunos ex-alumnos (por suerte parece que se olvidan) y para ellos es uno.
También hay personas que consideran que es cero (relacionan 0^a = 0 sin descartar la situación donde cero está como exponente) y a quienes responden que no saben.
Supongo que hay otras situaciones matemáticas muchos más interesantes a considerar, que esta cuestión en particular. Pero ya que surgio ...
Me tome el trabajo de ir a buscar en bibliografía correspondiente al nivel secundario, ya que en algún lado se refuerza, está escrito y se instaló; por lo menos en los docentes de matemática que es una indeterminación, además de varias calculadoras lo confirman también.
Lo sorprendente es que TODOS los libros, cuando definen potencia, hacen la aclaración de que la base debe ser distinta de cero cuando el expondnete es cero (aunque no se explayan mucho en el tema)
Algunos libros además mencionan la situación donde si la base es cero, 0^a = 0, a debe ser distinto de 0.
Unos pocos libro cuando define a^n = b, donde a es la base, n el exponente y b la potencia, informan: a pertenece a Z y n pertenece a N (el libro no tiene en cuenta de la situación del cero). Otra situación más es que hay libros que toman al cero dentro del conjuto de los naturales y otros no.
Si buscamos en internet encontramos situaciones parecidas, incluso se considera que 0^0 = 1 y que es una situación parecida al de n! = 1 (factorial de n).
Por lo expuesto ahora se entiende la confusión. Será hora de ir desaprendiendo. Además en los libros del secundario, suele encontrarse muchos errores y es bueno que podamos detectarlo para corregirlo.
Después de todo no estamos muy acostumbrados a cuestionar y menos cuando ya lo aprendimos asi.
Me parece importante poder reflexionar sobre situaciones que pensabamos que estaban resueltas y nos percatamos que no es tan así.Lo importante es poder darnos cuenta y reflexionar, justamente muchas veces através del error logramos superarnos; pero es importante no censurarnos por ello si no tomarlo como parte del aprendizaje.
Te felicito por tu blog.
Isabel

Pitógarras dijo...

Seguí tratando de comprender y creo que si me dijeras cuáles son las 9 funciones de B en A ( 3 elevado a la 2) podría entender la explicación. Porque es ahí donde me pierdo. ¿Hay que entender que las funciones de A en B son 8? ¿Tal vez significa las posibles combinaciones de los elementos 0 y 1 en tres posiciones distintas, o sea, algo similar a cuando se evaluan probabilidades en estadística?

G dijo...

Yo probé en la calculadora Casio elevar 0^0, y da error. Pero si se hace la cuenta en el Matlab, arroja el resultado correcto: 0^0=1.
Mientras que el Mathematica y el WolframAlpha, dicen que el resultado es indeterminado.
De cualquier manera, la explicación que da Gustavo es correcta, y por lo tanto 0^0=1.

Saludos

G dijo...

Si entran en Wikipedia en inglés, y tipean para que busque 0^0, los envía a una sección del artículo de potenciación donde explica las diferentes formas de ver 0^0. Para algunos autores es indefinido y para otros es 1, dependiendo del contexto dentro del cual se esté trabajando.
En cambio, si buscan los mismo en español (muy pobre el artículo...) encontrarán que es una indeterminación, basándose en que 0^0=0^(-1) x 0^1=0/0=indeterminado. Creo que este resultado fue expuesto por primera vez por Cauchy.

Saludos
G

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola,

Acerca de que "es una indeterminación, basándose en que 0^0=0^(-1) x 0^1=0/0=indeterminado", por un lado diría que es cuestionable el 0^(-1) que allí aparece, pero por otra parte (como ya dije en otro comentario), más importante aún es que el hecho de que el mismo argumento permite demostrar que 0^1 es indeterminado, ya que:

0^1 = 0^(4-3) = 0^4/0^3 = 0/0

Saludos,

Alejandro Maiza Catalán dijo...

Que interesante; yo tenía una profesora, que al llegar a esta indeterminación, nos decía que saltásemos el resultado y nos pusiesemos a hacer lo que quisiesemos, ya que ella decía que no sabía que hacer; yo me quede con la duda, y ahora, antes de entrar en la universidad, sé ahora la respuesta. seguro que es evidente: si seguimos a Occan, que la explicación mñas sencilla es la más correcta, seguro que se acierta. Gracias Beatriz y también a la doctora Julia Robison.

Alejandro Maiza Catalán dijo...

P.S: Se me olvidaba. Gracías por las explicaciones Gustavo, te confundí con la que me recomendo este blog, mi tia beatriz, no sé por qué se me vino a al cabeza. Muchas gracías Gustavo, de verdad.

emulenews dijo...

El problema de hacer 0^0 = 1 es una cuestión de notación, de convenio. El mejor convenio es ese pero hay que tener cuidado cuando se trata con funciones no analíticas, por ejemplo, cuánto vale el límite x->0 de f(x)^g(x) cuando f(x)=exp(-1/x) y g(x)=x (obviamente la exponencial decrece más rápido que cualquier polinomio).

Un buen artículo al respecto es Donald E. Knuth, "Two Notes on Notation," Amer. Math. Monthly 99 (1992), no. 5, 403--422 (gratis en http://arxiv.org/abs/math/9205211).

Marcos A. dijo...

quizás se considere una indeterminación porque en análisis de límites de sucesiones cuando el exponente y la base no son cero sino que tienden a cero es una indeterminación. Por ejemplo:

lim n->inf (1/n!)^(1/n) = 0

Y tanto la base como el exponente tienden a 0, o sea sería 0^0 pero como no son cero, sino que tienden a cero, nos encontramos con una indeterminación y el resultado no es 1...

Saludos

Marcos

Hector Flores dijo...

En matemáticas las cosas no "SON". Nosotros hacemos que sean lo que nos convenga.
Como motivación propongo la pregunta:
Qué representa un exponente irracional?
Denle un vistazo a la entrada en Wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#Zero_to_the_zero_power

Tomas R dijo...

Yo tengo mi forma loca:
Algo "a la" es, ese algo multiplicado por sí mismo esa cantidad de veces.
Es decir 2^3 = 2.2.2
Y entonces, considerando al cero "la nada" o mejor dicho "ningun" (tengo 0 caramelos = no tengo caramelos)

0^0 se lee "cero a la cero"
Aplicando mi concepto: "cero veces cero por sí mismo" ó "cero veces la nada por sí misma", y si tengo "ninguna vez la nada" tengo algo "sin vacío", o para mí: uno (probabilidad entera de tener algo)

Anónimo dijo...

Creo que puede haber otra demostración basada en el límite de la función: x elevado a x cuando x tiende a 0

Otra demostración podría basarse en que en la funcion exponencial, variar el valor del exponente afecta mucho mas al resultado, que variar la base.

Excelente blog.

fedetipito dijo...

Creo que está bien el comentario del último anónimo.
Si la función x elevado a la x es continua, una forma intuitiva de verlo es ver que si se calcula el limite numéricamente con x tendiendo a 0, la función se acerca tanto como se quiera a 1. Pero si es continua, entonces la función evaluada en 0 debe ser 1. ¿no?

Anónimo dijo...

Una indeterminación ocurre cuando en una función al aproximarnos a un punto del dominio por la derecha y por la izquierda obtenemos distintos valores para el valor de la función. Si considero la función a^0, no existe indeterminación y su valor es uno. Si considero la función 0^k, al aproximarme a 0 por la derecha obtengo 0 pero al hacerlo por la izquierda tengo infinito. Como 0^0 puede considerarse de los dos modos, lo considero indeterminado, un saludo.

Anónimo dijo...

Soy el último anónimo. Cometí el error de no leerte, me desdigo completamente, mi argumentación me olía a contradicción pues 0^0 no puede ser descrito de forma exponencial y potencial de forma contradictoria. Un saludo y muchísimas gracias por tu blog.

Ernesto UBAarg dijo...

Una nota que va al caso: Cuando uno trabaja con polinomios escritos como sumatoria por lo general los expresa así: a.x^2+b.x^1+c.x^0, cuando uno evalua esos polinomios x^0 se toma siempre como 1 sea cual sea la x que toma como valor (incluido 0).

no dijo...

Tranquilos los q sostienen otra cosa. Queda claro q todo depende de la definición que se adopte! Hay tantas matematicas como matematicos!!No lo olviden!