30.4.08

Cero elevado a la cero

Un modo perfectamente aceptable de definir los números naturales es decir que son los cardinales (o cantidades de elementos) de los conjuntos finitos. Así por ejemplo:

0 es el cardinal del conjunto vacío (pues el conjunto vacío tiene cero elementos)
1 es el cardinal del conjunto {0} (o de cualquier otro conjunto que tanga tantos elementos como él)
2 es el cardinal del conjunto {0, 1}
3 es el cardinal del conjunto {0, 1, 2}

Y así sucesivamente. (En la definición anterior hay, en aras de un lenguaje más comprensible, algunas imprecisiones, pero los conceptos son esencialmente correctos.)

Definidos de esta manera los números, las operaciones entre ellos pueden definirse apelando a las operaciones existentes entre conjuntos. En particular nos interesa aquí la operación de potenciación. Definamos primero la potenciación entre conjuntos:

Definición: si A y B son dos conjuntos, se define B^A (el símbolo ^ significa “elevado a la”) como el conjunto formado por todas las funciones de A en B.

Precisemos un poco, ¿qué es una función de A en B? Una función de A en B es cualquier conjunto F de pares ordenados (a, b) (con a en A y b en B) que cumpla las dos condiciones siguientes:

1) Si a está en A entonces existe algún b en B tal que (a, b) está en F.
2) Si (a, b) y (a, b’) están en F entonces b = b’.

(Intuitivamente, si interpretamos que el hecho de que (a, b) esté en F como que F(a) = b, entonces la primera condición diría que todo elemento de A tiene una imagen y la segunda que no tiene dos imágenes diferentes.)

Mostremos un pequeño ejemplo; supongamos que A = {0, 1} y que B = {0, 1, 2}. Una función de A en B es, por ejemplo, {(0,1), (1,2)}. Se ve fácilmente que hay exactamente nueve funciones en B^A, y no por casualidad 9 = 3^2.

Definición: si alpha es el cardinal de A y beta es el cardinal de B entonces se define beta^alpha como el cardinal de B^A.

Si alpha y beta son ambos enteros mayores que cero la definición anterior coincide con la definición escolar más conocida y, de hecho, la definición anterior puede extenderse sin cambios a cardinales infinitos.

Pero no nos interesa aquí el infinito, sino todo lo contrario. La pregunta que nos convoca es ¿qué nos dice la definición anterior si alpha = 0, o beta = 0, o ambos?

Supongamos que beta = 0 y alpha no es cero. Eso significa que B es el conjunto vacío y que A no es vacío. ¿Qué conjuntos F de pares ordenados hay en B^A? Si A es no vacío pero B sí lo es entonces la condición 1) de la definición de función falla siempre. No importa qué función intentemos definir la condición 1) nos pide que dado algún a en A exista algún b en B que cumpla algo, pero tal b no puede existir porque B es vacío.

B^A entonces no contiene nada, B^A es en sí mismo el conjunto vacío y por ende beta^alpha = 0. Hemos probado así que 0^alpha = 0 si alpha es mayor que cero.

Supongamos ahora que A es vacío. ¿Qué conjuntos F de pares ordenados hay en B^A? Ahora sí hay un conjunto F que cumple la definición de función: el conjunto vacío. Una implicación cuyo antecedente es falso resulta ser siempre verdadera, por lo tanto si A y F son vacíos ambas condiciones de la definición de función se cumplen. Por otra parte, dado que A es vacío, no hay otras funciones posibles. Nótese que en el caso anterior ni siquiera el vacío servía como función, no había ninguna, pero en esta caso sí hay una (la “función vacía”) y por lo tanto B^A tiene un elemento. Hemos probado que beta^0 = 1.

¿Qué pasa si alpha = 0 y beta = 0? Si se observa la demostración anterior, en ningún momento aparece mencionado el hecho B sea no vacío (en cambio en la demostración de que 0^alpha = 0 sí se usa el hecho de que alpha no es cero). La demostración anterior vale textualmente sin cambios si beta = 0 y por lo tanto ese mismo razonamiento prueba que 0^0 = 1.

Por lo tanto queda probado que 0^0 = 1.

Addenda: por motivos que, confieso, me resultan difíciles de entender existe la idea muy extendida (y en general muy arraigada en quienes la sostienen) de que 0^0 es una operación “prohibida”. Sin embargo, no sólo acabamos de probar que 0^0 = 1 sino que este valor es perfectamente coherente con diversas fórmulas matemáticas, entre ellas la que dice que la sumatoria de a_ix^i (con i entre 0 y n) vale a_0 si x = 0 (esto sólo es posible decirlo si 0^0 = 1).

Addenda 2: es posible dar definiciones diferentes de la potenciación y en ese caso que alpha^beta es el cardinal de A^B deja de ser una definición y pasa a ser un teorema. Bajo estas circunstancias el razonamiento de más arriba demustra que es perfectamente consistente desde el punto de vista lógico e inclusive conveniente y necesario desde el punto de vista de la coherencia matemática que, cualquiera sea la definición que se adopte, sea 0^0 = 1.

Addenda 3: otra definición posible para ^ (con exponente entero no negativo) es decir que a^0 = 1 para todo a (incluyendo, claro está, a = 0) y que a^(n + 1) = a*a^n (donde * es la multiplicación). Nótese que según esta definición 0^0 = 1, como debe ser, y que si n>0, n = k + 1, entonces 0^n = 0^1*0^k = 0*0^k = 0, como también debe ser. En particular: 0^1 = 0*0^0 = 0*1 = 0. Esta definición resulta así totalmente equivalente a la que hemos dado en el cuerpo principal de la entrada.

Addenda 4: Al comentario del 23 de mayo de 2009, cito de "Introducción a la Teoría de Conjuntos", Lía Oubiña, Eudeba, 4º edición (1969). En la página 135, exactamente donde la página termina, dice: "nótese, en particular, que 0^0 = 1".

Addenda 5: Véase aquí.

Addenda 6: Véase aquí.

58 comentarios:

Anónimo dijo...

Gustavo:

Yo había preguntado sobre "infinito elevado a la potencia infinita", pero parece que se perdió.

Lo reitero.

Anónimo dijo...

Creo que usted prueba que el cardinal de tal conjunto es 1.

Pero lo que se trata es de ver que 0º es indeterminado en el sentido de que no es un número real, pues si;

0º=1→ ln0º=ln1→ ln0º=0→ 0•ln0=0

llegandose a una indeterminación pues ln0 no esta definido.

Anónimo dijo...

Creo que lo que usted prueba es que el cardinal del conjunto 0º es 1. Pero lo de la indterminación de 0º se enfoca mas en el sentido aritmetico es decir en que 0º no es un número real, pues si;

0º=1 → ln0º=ln1 → ln0º=0 → 0•ln0=0

Y esto conlleba a problemas pues
ln0 no esta definido.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado anónimo 1: Cuando digo que 0^0 = 1 hablo de una igualdad de números, no de una cuestión de límites.

"Infinito elevado a la potencia infinita", por el contrario, no es una operación numérica, sino una pregunta sobre límite.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Anónimo (2 y 3): Lo que demuestro, en efecto, es que el cardinal del conjunto es 1, pero de ello se deduce, por definción, que 0^0 = 1.

Lamentablemente su comentario acerca del logaritmo no es relevante. Con el mismo criterio deduciríamos que es falso que (-1)^2 = 1 ya que aplicando logaritmo a ambos miembros se llegaría a que 2.ln(-1) = ln(1) y ln(-1) no existe.

Su error reside en que la igualdad ln(a^b) = b.ln(a) sólo es válida en el caso en que a > 0 y usted la aplica para a = 0.

Anónimo dijo...

Estoy de acuerdo que lo del ln es un error garrafal, gracias por hacermelo ver.

En cuanto a lo que usted prueba sigo, en la idea en que es de la siguiente forma;

Si A es un conjunto |A|=1, y otra cosa es que A=1, es decir usted prueba que los dos conjuntos son equipotentes, y luego concluye que son iguales ¿por que?.

gracias

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola,

Definimos "número" como el cardinal de un conjunto finito y a^b como el cardinal del conjunto de todas las funciones de un conjunto de cardinal b en uno de cardinal a.

Que dos conjuntos sean equipotentes no significa, por supuesto, que sean iguales, pero sí significa que son iguales sus cardinales.

El conjunto vacío es el único conjunto de cardinal 0. El conjunto de todas las funciones del conjunto vacío en sí mismo tiene tantos elementos como el conjunto {0} (no son iguales, sino equipotentes). Para ambos conjuntos el cardinal es 1.

Por definición 0^0 es el *cardinal* del conjunto de todas las funciones del vacío en sí mismo, ese cardinal es 1, luego 0^0 = 1. (Es una igualdad de cardinales, no de conjuntos.)

Saludos,

G.P.

Anónimo dijo...

Gustavo esta usted en lo cierto con respecto a los cardinales; lo que usted prueba esta planteado como ejercicio en: Ellibro "INTRODUCTION TO SET THEORY"
THIRD EDITHION, Hrbacek y Jech pag 76, y en el libro "SET THEORY" DE Jech pag 29.

Yo era uno de los que pensaba que 0º era indeterminado eso me pasa por no hacer los ejercicios propuestos, perdon por mi terquedad y gracias por sus aclaraciones, y lo fecilcito por su articulo.

Anónimo dijo...

corrijo es en la pagina 97 del "introduction"

Gustavo Piñeiro dijo...

Nada de terquedad. Gracias a usted por sus observaciones. Saludos,

G.P.

Anónimo dijo...

Aunque las ideas expuestas están muy bien justificadas por Piñeiro, es bueno decir que en ambos libros los ejercicios propuestos están enunciados para cundo el valor de k>0, es decir que tales afirmaciones son válidas en esos número cardinales no antes ni en el igual.
Algún punto que me quiera aclarar plz. porque lo estudié el libro y aún mantengo la duda de 0^0 = 1

Gustavo Piñeiro dijo...

Gracias por su comentario. La cita exacta de Lía Oubiña (pág. 135 de la cuarta edición), en la que dice que 0^0 = 1 (no para k > 0, sino para k = 0) ha sido agregada al cuerpo de la entrada.

Anónimo dijo...

Por qué NO debemos afirmar que 0^0=1

0^0 = 0^(1-1) = 0^1 / 0^1 = 0/0

Por lo que deducimos que si 0^0=1 entonces 0/0 =1

En una addenda entrada dices que
"...este valor es perfectamente coherente con diversas fórmulas matemáticas"

Cuidadito con estas cosas...

En principio 0^0 no está definido de manera precisa. Es un caso singular.

"Está muy extendida la errónea idea de que "cero elevado a la cero" es una operación "prohibida""

Por algo será...

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Anónimo,

Con el mismo criterio que Ud usa deberíamos decir que NO se puede afirmar que 0^1 = 0 ya que:

0^1 = 0^(4-3) = 0^4/0^3 = 0/0, luego 0/0 sería 0.

Su error, claro está, es que está aplicando una propiedad en un dominio en el que esa propiedad no es válida.

"Por algo será", dice Ud, y claro que por algo es, pero no por una razón matemática (pues ya he demostrado matemáticamente que 0^0 = 1 y he refutado cada intento de rebatir esa verdad).

El motivo por el que se cree que 0^0 no es 1 es puramente de orden psicológico: al ser humano le cuesta cambiar las nociones que le han inculcado, aun cuando le sea racionalmenete demostrado que esas nociones son erróneas. Ésta es, precisamente, una circunstancia muy estudiada en didáctica.

Exagerando un poco: enseñémosle a un niño, desde muy pequeño, que 2 + 2 es 3, y nunca le digamos otra cosa hasta que cumpla, digamos, 10 años. Al llegar a los 10 años será muy difícil convencerlo de que 2 + 2 es 4. Desde luego, exagero con este ejemplo, sólo quiero mostrar a través de este ejemplo exagerado el porqué esencial de que se repita erróneamente, una y otra vez, que 0^0 no puede definirse de modo consistente. Es sólo un error que se perpetúa por su simple repetición, no hay ningún motivo racional para sostenerlo (y, aquí mismo, desde hace años ya que me dedico a refutar una y otra vez, inútilmente al parecer, supuestas razones en contra).

Gracias y saludos,

Gustavo Piñeiro

Marcos Foglino dijo...

Falso.
0^0 es indeterminado.

Por que?

1) Todos sabemos que cualquier cosa a la cero es igual 1.
Y que cero a la cualquier cosa es 0.
Pero en el caso 0^0 que hacemos?
es 1? o es 0? Indeterminado!

2) Preguntemosle a WolframAlpha, me imagino que Stephen Wolfram entiende un poquito del tema.

http://www09.wolframalpha.com/input/?i=0^0
Indeterminado!

3) Preguntele a cualquier calculadora Casio y les dira: Indeterminado!

Saludos.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Marcos,

Debería preguntar a gente un poco mejor informada.

Como dice la etiqueta: "irrefutable, pero resistida". Sus "preguntas" no constituyen ninguna refutación, ni siquiera un argumento que pueda ser tomado en serio.

Cordiales saludos,

Gustavo Piñeiro dijo...

Comentario general: Que esta entrada haya generado a lo largo del tiempo tanta respuesta emocional ("¡falso!" "¡por algo dirán que no se puede calcular!", etc.) se debe en parte, creo yo, a la falta de argumentos racionales para demostrar que 0^0 no puede definirse. La falta de argumentos racionales, por supuesto, se debe a que tales argumentos racionales simplemente no existen.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Marcos,

Ud. pregunta (esta vez a mí, tal vez, que también sé algo del tema):

"Todos sabemos que cualquier cosa a la cero es igual 1.
Y que cero a la cualquier cosa es 0. Pero en el caso 0^0 que hacemos?
es 1? o es 0?"

Le respondo: es 1.

Saludos,

Anónimo dijo...

Para la calculadora del Windows XP, 0 elevado a la 0 es 1 ¡Parece que Bill Gates sabe más de matemática que Stephen Wolfram!

Salu2,

Bebe

Anónimo dijo...

Bueno parece que tengo el mismo error de concepto. Como explica Marcos, lo tenia aprendido. El cero siempre genera discusión.
Además muchas veces no se ven estas situaciones, para no colocarnos en un terreno resbaladizo.
Y sinceramente, debe tener que ver esa cuestión de falta de argumento racionales.
Bueno siempre hay alguién que piensa, detecta errores y se atreve a decir esto no es así, a demostrarlo y a corregirlo.
Lo que no me queda claro es por que razón recurre al cardinal para la demostración, no existe otra manera de llegar a la conclusión de que cero elevado a la cero es uno?
Saludos
Isabel

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimada Isabel,

Muchas gracias por su comentario. Acerca de su pregunta: "¿por que razón recurre al cardinal para la demostración, no existe otra manera de llegar a la conclusión de que cero elevado a la cero es uno?" Como dice Enzo Gentile en uno de sus libros, cada uno hace la demostración que puede.:) Seguramente hay demostraciones diferentes, basadas en otros conceptos, pero ésta que di es la que tengo "más a mano".

Gracias nuevamente. Un saludo,

profesgk dijo...

Hola Gustavo, hola a todos: recién me entero de este blog y ya me genera adicción, jajaja!!!!!!!!
Realmente este asunto de 0^0 me hace sentir mentirosa frente a mis alumnos, ya que llegado el momento de esta cuestión siempre les digo que no está definido, ya que las operaciones son funciones y si pensamos la potencia como base 0, 0^0 sería 0, pero si lo pensamos como exponente 0, todo número elevado a la 0 da 1, y tendríamos dos valores para una misma operación.
Pero ahora me pregunto cómo explicarles a mis alumnos que esto que les digo hace dos años ( en 2 y 3 de secundaria básica en Bs.As) no es así.
Espero sugerencias y desde ya muchas gracias. Sandra.

Anónimo dijo...

No hay problema, acabo de indicar a Worfram.com que corrijan la entrada "cero elevado a cero" y, en mi comentario, he incluido el link a este blog.

Hagan Uds. lo mismo; vayan a

http://www09.wolframalpha.com/input/?i=0^0

y pidanles que lo corrijan. En serio.

:-)

El Fantasma de la Duda dijo...

La Casio que usé durante todo mi secundario entrega error, qué triste!

Gustavo, muchas gracias por la demostración, me sirvió para practicar un poco ahora que estoy aprendiendo algunos elementos de topología.

Saludos!

Anónimo dijo...

ojo, que no nos pase lo de los pitagóricos.

Borja dijo...

Admirado Gustavo,

Ante todo felicitarte por la página, y en especial por esta entrada. Cada una de tus aportaciones cuentan con un rigor exquisito y bellísimo.

No obstante, permíteme hacer un comentario a 0^0=1.

Siguiendo fielmente tu razonamiento, dices que los números NATURALES, se pueden definir mediante conjuntos, lo cual es absolutamente cierto. Del mismo modo, pueden definirse ENTRE ELLOS, algunas operaciones, tales como la potenciación. Estoy de acuerdo con que 0^0=1, y no hay ningún problema en ello, siempre y cuando como tú mismo dejas claro, nos estemos reduciendo al conjunto de los múmeros naturales.

Por el contrario, si esta operación "^", la queremos extender a los números REALES, es donde empiezan los problemas. Por tanto, es cierto que, sobre el conjunto de los números naturales, 0^0 = 1, pero cualquier parecido de esta función así definida, con la función potenciación en los números reales, es pura coincidencia.

Dicho de otro modo, estamos ante dos funciones distintas, con dominios distintos también, que coinciden en la intersección de éstos.

Una función sería F(x,y)= x elevado a y, e iría de R X R - {(0,0)} a R, y sería la potenciación ordinaria de números reales, en la cual está subyacente la idea de límite que nada tiene que ver con la definición puramente algebraica de tu función "^". No cabe duda de cualquier intento de asignarle valor a F(0,0) nos llevaría a contradicciones, razón por la que (0,0) se halla fuera del dominio de F.

Otra función, la que tú defines sería la "^", que iría de N X N en N, respetando rigurosamente tu definición.

Pues bien, lo que tú demuestras no es otra cosa que el hecho de que estás dos funciones coinciden en la intersección de sus dominios, esto es, en N X N - {(0,0)}, pero desgraciadamente no lo hacen en el (0,0), por no estar en dicha intersección. Es decir, NO podemos decir
F(0,0)=0^0, por no estar en el dominio de F. Es decir, no podemos decir,que cero elevado a cero sea 1, sí podremos, sin problemas, decir que 0^0=1, si bien cualquier intento de extensión de ^ a F, resulta absurdo.

Muchas gracias por proponer asuntos como este, soy matemático y amante de las matemáticas, y realmente este tema, me ha encantado. Hasta pronto.

Carlos dijo...

Hola Gustavo. Acabo de leer tu artículo y la verdad, nunca me había fijado en que 0^0 estaría definido como 1 si seguimos la definición de la teoría de conjuntos.

No obstante hay otras formas de "definirlo". Me explico, se define la función a^x para a>=0 primero para los naturales (no incluyo al 0 entre estos). Luego se define para fracciones (nos quedamos con el valor real positivo) y por último se define para el resto de la semirecta real positiva usando límites, es decir, haciendo que a^x sea continua. En este caso daría que 0^0=0.

¿Con esto qué quiero decir? Pues simplemente que lo de afirmar que 0^0=1 puede ser peligroso, depende de las operaciones que se estén realizando. Por ejemplo a la hora de calcular un límite, 0^0 debe de considerarse una indeterminación, por ejemplo el límite de x^x cuando x->0 es 1 pero el de (x^(1/x))^x es 0 (x^(1/x) tiende a 0 así que daría un límite del tipo 0^0).

Resumiendo lo que quería decir:

Cuidado con afirmar ante cualquiera que 0^0=1!!!! Lo digo pensando en los alumnos que tengo, que me podrían hacer los límites mal usando esa regla... No obstante, todo lo que has puesto ES CORRECTO.

P.D. Puf, antes de darle a enviar, he visto que el último comentario viene a decir lo mismo que yo. Por cierto, yo también soy matemático.

Marcos A. dijo...

Leí que alguien escribió "sabemos que todo número elevado a la cero es uno, y cero a cualquier número es cero"..

La primer parte, de acuerdo a la demostración que conosco cualquier numero elevado a la cero es uno siempre que el número en cuestión no sea el cero, pues esta propiedad se demuestra por la relación a^p/a^q=a^(p-q) tomando p=q aca vemos que a no puede ser cero.
Y creo que la segunda parte "cero a cualquier número es cero", en realidad es siempre que ese numero no sea cero.
Asi que esta demostración no contradice a estas reglas...

Mi calculadora HP me da 1..je

Saludos

Marcos

David dijo...

Es algo dificil de creer pero si es verdad.
Hice la prueba en derive con la funcion x^x y para cuando x vale cero Y vale 1.
Un muy buen tema para debatir¡¡

Anónimo dijo...

Que buen blog, un amigo me lo recomendó. Gran hallazgo.
saludos
frank

Robinson dijo...

Pregunta de aficionado

entonces el 0 es un número natural?

Rabí Mauricio Toro dijo...

para Robinson:

en mi vida he visto varias definiciones de los números naturales,
en algunas se incluye el cero y en otras no.

para este caso se considera el cero como número natural por la definición que
se hace de número natural (para que me creas lo diré complicado jajaja. Me parece que
el libro de topología Dugundjy lo expone así, por si te interesa y lo estudies mejor por tu cuenta)

obs: denotaré al conjunto vacío como Ç, a la unión con la letra U, y {x} será síngleton x

--------
El sistema axiomático NBG nos garantiza la existencia de un "conjunto inductivo A"
(es decir, A cumple que: (1) ç está en A (2) si x está en A => x U {x} está en A)
entonces podemos generar a A de modo inductivo:

0':= ç
1':= 0 U {0} = ç U {ç} = {ç}
2':= 1 U {1} = {ç} U {{ç}} = {ç , {ç}}
...
conforme a la definición de A, vemos que 0',1',2'... están en A (obs: el axioma no dice si A es único)

se puede demostrar que la intersección de todos los conjuntos inductivos es inductivo,
y se define al conjunto de los números naturales como dicha intersección
(esto significa que IN es el menor conjunto inductivo)

OBS: esta definición es equivalente a la que hace el tipo este en su artículo-post,
(basta notar que el cardinal |0'|=0; |1'|=1; |2'|=2 ... )

así que no te pasen gato por liebre!!! si te dicen que cero no es un natural te están mintiendo
¡pero no me hagas caso! uno habla de "numeros naturales" para cosas prácticas
(no para ir a comprar síngleton vacíos al supermercado); por costumbre muchos no
añaden el cero a los naturales... y está bien también; en eso no hay mucha rigurosidad jajajaja

MORALEJA: en una prueba o en el enunciado de un teorema pregunta SIEMPRE si incluyen
al cero en los naturales.

PD: ah! yo no soy matemático (que miedo autoproclamarme uno de ellos); si algún dia existiese un "teorema de peluka" ahí si q seré matemático ... mientras tanto soy un chico electrico nomas ajajaja

gep dijo...

Lo primero es felicitar a Gustavo Piñeiro por este blog. Lo he descubierto hace muy poco y estoy navegando en él y al descubrir esta entrada no puedo negar que me he asombrado.
La demostración que se da desde luego es impecable, pero como ya ha dicho Borja en un comentario anterior, esto nos sirve para definir 0^0 en los naturales. Todos sabemos que cualquier intento de extender esta definición incluso a los racionales nos llevaría a efectos no deseados.
Estoy completamente de acuerdo en que 0^0 es algo que tenemos de definir de forma que se conserven de forma coherente ciertas propiedades de la potenciación. Desde luego, si nos quedamos en la aritmética de los naturales, funciona, pero no nos sirve de nada en los números reales donde ninguna definición resultaría coherente. En este cuerpo podríamos aceptar esta definición pero resultaría tan arbitraria como cualquier otra. Por eso quizá es mejor decir que es "una operación prohibida".
Por otro lado si nos ayudamos de los cardinales de los conjuntos finitos para definir algunas operaciones, ¿por qué no hacerlo con los conjuntos infinitos?
Si aceptamos esto, podemos definir a·b como el cardinal de axb, es decir,el producto cartesiano de un conjunto A, con cardinal a por otro conjunto B, de cardinal b.
(Un elemento de este conjunto tiene que ser un par (x,y) con x, un elemento de A e y uno de b)
Desde luego con conjuntos finitos funciona perfectamente. Pero si lo extendemos llegaríamos a la conclusión de que
¡¡¡0·infinito=0 !!!
ya que el producto del conjunto vacío por cualquier otro conjunto es vacío (no puede haber ningún par (x,y) con x en el conjunto vacío, ya que no contiene elementos).
Esta "definición" de 0·infinito desde luego no nos sirve para nada y lo mejor es rechazarla aunque es también irrefutable. Sin embargo aceptamos otras como 2^infinito=infinito. Esta no nos da problemas.
Creo que me he extendido demasiado para llegar a mi conclusión: si 0^0=1 da problemas (y los da), es mejor rechazarla y decir que es una operación prohibida, al menos en los reales.

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola,

Gracias. Por otra parte, el 0 es el 0, entero, racional, real o complejo es siempre el mismo número y si 0^0 = 1 entonces 0^0 = 1 siempre, simplemente no tiene sentido decir que vale si natural y no si es real, porque 0 es real y entero a la vez.

De la misma manera podríamos preguntarnos cuánto es (-1)^3 y responder que es -1 si -1 es entero pero que no está definido si -1 es real. ¿Cuánto es, entonces, (-1)^3? ¿-1 es entero o es real? ►¿No es ambas cosas a la vez?

Finalmente 0.aleph_0 = 0 sin que en ello haya ninguna contradicción.

Gracias nuevamente. Un saludo,

gep dijo...

La verdad es que según escribo este mensaje que era para seguir rebatiendo esta idea me estoy convenciendo de que 0^0=1 tiene tanto sentido como (-1)^3=-1, ya que si nos aproximamos (-1) o a 3 o a los dos por los reales o incluso por los racionales, la potencia deja de tener sentido. Esencialmente este es el argumento por el que 0^0=1 no me gusta. Y la verdad es que (-1)^3=-1 sí estoy dispuesto a aceptarlo. Tendré que hacer un esfuerzo para aceptar que 0^0=1, porque dar el brazo a torcer, hiere el orgullo, pero prometo intentarlo aunque he de reconocer que mientras escribo sigo buscando argumentos que rebatan esta igualdad.

Gracias por sus explicaciones y un saludo

Anónimo dijo...

Creo yo que el problema de si 0^0 es uno ó indeterminado depende de la definición que tengamos de la operación "^", la cuál estará fuertemente influenciada por el sistema axiomático que elijamos usar. En la definición que da Gustavo, seguramente basada en los axiomas de ZF, claramente da 1, sin embargo ¿Cómo demostrarían que también es 1, o que no lo es, utilizando los axiomas de Peano? Por lo que sé, los matemáticos siguen discrepando en qué sistema axiomatico es mejor usar. (Naive Set Theory, Halmos)

Gustavo Piñeiro dijo...

El punto central es éste: no existe ninguna contradicción en definir 0^0 como 1.

Demostración: Si definimos los números enteros en el contexto de la teoría de los conjuntos finitos entonces la afirmación 0^0 = 1 puede demostrarse como teorema. Por lo tanto la afirmación es consistente con esa definición y, por ende, es consistente con cualquier otra definición consistente que se dé de los números enteros y sus operaciones, ya que sea axiomática o no.

Cristobal C. dijo...

Gran parte de la discusión se debe a que la definición de "elevado a la" está mala.
Cito:

Definición: si A y B son dos conjuntos, se define B^A (el símbolo ^ significa “elevado a la”) como el conjunto formado por todas las funciones de A en B.

En efecto, se está definiendo una operación de conjuntos y no tiene sentido aplicarla a números. Con la operación correctamente definida, tiene razón: En el conjunto de los cardinales, 0^0 = 1 sin riesgo de ambigüedad. En los reales, es otra cosa.

Germán Zorba dijo...

Con los números reales muchas cosas se complican. Con las definiciones comunes de números naturales y sus definiciones, resulta que 0^0=1.

Los problemas surgen cuando se intenta extender la operación de potencia a otros dominios.

Quiero referirme en particular a los que intentan refutar la operación esta desde el análisis y cálculo de límites. Antes de saltar, paren un poquito la pelota para pensar. Extender la potencia a números reales no es sencillo.

Estender a exponentes negativos es más o menos sencillo. Para exponentes racionales, el mejor camino que conozco pasa por funciones inversas, y eso ya es algo que acarrea suficientes dificultades. Ahora, ¿cómo definirían pi^pi? ¿un argumento de continuidad puede ser? ¿cualquiera se anima a demostrar que esa cosa que tenían para números racionales, con todas las adendas agregadas para evitar los problemas de signo, se extiende bien de manera contínua? ¿Qué definición de números reales usarían, Dedekin, Cauchy? El salto es complicado.

Si me dan a elegir, yo me quedo con la definición que pasa por funciones analíticas. Después de definir exponenciales y logaritmos se definiría a^b=exp(b log(a)). Puede demostrarse que esta definición extiende a la anterior cuando a es positivo, pero no tiene sentido cuando a es cero o negativo.

En consecuencia, nada que venga del análisis real puede decir nada de cuánto vale 0^0. Del mismo modo que viniendo de la teoría de conjuntos no se puede decir cuánto vale pi^pi.

Y una observación final, nadie se asusta al escribir P(x)=sum( a_n * x^n), P(0)=a_0. Si queremos que esta notación sea válida, nos conviene aceptar que 0^0=1 y que 0^n=0 para n>0.

Anónimo dijo...

Hola,
Soy un estudiante de matemáticas. Conocí de la existencia de este blog por un amigo. Ante todo quisiera aprovechar para felicitar al creador del/moderador del blog por el mismo. Es muy sano y saludable el que existan rincones como éste donde poder discutir sobre Matemáticas. Ahora bien en Matemáticas se puede discutir pero nunca hacer democracia; algo será cierto o

Me he interesado por esta entrada del blog, 0^0. Perdonen pero no he tenido tiempo para leer todos los comentarios y quizás el mío repita algún razonamiento anterior y ya esté discutido.
Hasta donde yo he entendido parece que usted intenta demostrar que 0^0=1 aritméticamente hablando. No tengo el poder de decir que tal afirmación sea falta o verdadera entre otras cosas porque queda fuera de mi acerbo matemático. Me explico: para mí la operación aritmética de potenciación se empieza definiendo como para base cualquier real y exponente cualquier entero positivo. a^b se define como el producto de a por sí mismo b veces, donde puede recorrer el conjunto de todos los reales y b el conjunto de todos los enteros positivos. Con esta definición es fácil probar que se verifica propiedades del tipo a^(b+c)=a^b * a^c, a^(b*c)=(a^b)^c … Una vez dada esa definición, podemos extenderla a potencia de base real y exponente cualquier entero sin más que definir a^0:=1 (para cualquier a real) y a^b:=1/ (a^(-b)) (para cualquier a real y cualquier b entero negativo. En particular con la definición/convenio que acabo de adoptar será 0^0:=1. Pero notemos que esto no es más que un convenio ¿Por qué he escogido que sea a^0:=1 para cualquier real a? La respuesta está muy clara: me gustaría que con la extensión que hago de la definición de potencia sigan siendo ciertas propiedades del tipo a^(n+m)=a^n*a^m (con n y m cualquier enteros). Si quiero que tal propiedad sea cierta entonces la definición de a^0 está forzada ya que debe ser
a^0=a^(n-n)=a^(n+(-n))=a^n * a^(-n)=a^n/a^n=1
para cualquier a y cualquier entero positivo n.
Por tanto es natural exigir que 0^0 sea 1 pero no obligatorio, podíamos haber dicho que a^0 era 546 para cada a real pero hubiésemos perdido la extensión de las propiedades elementales de la potenciación de exponente entero positivo. Lo mismo pasa cuando convenimos que una suma de cero elementos sea cero o que el producto de 0 elementos sea uno o incluso cuando convenimos que el grado del polinomio constantemente cero sea menos infinito…
Usted no demuestra en esta entrada que 0^0 sea 1. Usted demuestra que el cardinal del conjunto de las aplicaciones del conjunto vacío en el vacío es exactamente 1 (y en ese sentido la prueba es clarísima). Y pos supuesto que en el contexto de la axiomática de conjuntos de ZFC los naturales se definen inductivamente como los cardinales de los conjuntos vacío, conjunto cuyo único elemente es el vacío, conjunto cuyos dos únicos elementos son el vacío y el conjunto cuyo único conjunto es el vacío... Y la definición de potenciación de conjuntos es la que usted da. Y está en lo cierto cuando afirma que podemos operar con cardinales como usted lo hace (y como lo hizo Cantor) y extender incluso las operaciones a cardinales no finitos. Pero en ningún caso me ha demostrado que 0^0 tenga que ser 1. Usted ha hecho algo parecido a lo que hice yo arriba. Ha definido la operación a^b (para cualesquiera a y b enteros no negativos) como el cardinal del conjunto de aplicaciones entre cualquier conjunto de a elementos y otro de b elementos. Y luego a comprobado que con esa definición es 0^0=1. Por supuesto que debería haber empezando probando que la definición es una “buena definición”. Es decir, habría que comprobar (muy fácil pero muy tedioso) que cada vez que coja un conjunto de a elementos y otro de b elementos y “cuente” el número de operaciones que hay entre ellos voy a obtener siempre el mismo resultado. En este sentido es mucho más fácil y práctico definir la potenciación como hice yo arriba.
Para acabar vuelvo a felicitarle por este magnífico blog y espero tener la ocasión de volver a comentar.
Un saludo

Anónimo dijo...

Respecto a los razonamientos de autoridad que invoca bueno… Estos siempre deben cogerse con papel de fumar. Desconozco de qué libro está sacado el fragmento de la Dra. Julia Robinson pero quizás ella esté trabajando con aritmética cardinal. Habría que leer en su contexto esa afirmación. Y reconozco que no soy, ni lo seré nunca, un buen matemático pero si algo sé es que los razonamientos por autoridad son nada, vacío.
Un saludo.

Gustavo Piñeiro dijo...

Esimado Anónimo,

Es usted quien saca de contexto mis afirmaciones. Yo no invoco ningún argumento de autoridad. Por el contrario, he dado sólidos y numerosos argumento lógico-matemáticos a favor del heco de que es posible y necesario definir 0^0 como 1. El que Julia Robinson tomara 0^0 como 1 no deja de ser un comentario en medio de los "verdaderos" argumentos a favor de ese hecho.

Claro, uno puede ningunear los argumentos lógico-matemáticos y señalar el comentario sobre Julia Robinson como si fuera lo único que he dicho sobre el tema. A eso llamo mala fe intelectual y no merece de mí mayor comentario.

Un saludo,

Gustavo Piñeiro

Gustavo Piñeiro dijo...

Al estudiante anónimo,

Tal vez le interese ver la entrada http://eltopologico.blogspot.com/2011/03/parte-1.html

Acerca de lo qu usted dice, se demuestra que si la potenciación es definida a partir de operaciones conjuntistas entonces "0^0 = 1" es un teorema. Esto prueba, a su vez, que otras definiciones de la potenciación son también consistentes con la afirmación "0^0 = 1".

Algunos de los comentarios que se han hecho en este blog justifican mi afirmación de que muchos de quienes se oponen a que 0^0 es 1 lo hacen por mero prjuicio y sin base racional. En efecto, cuando se da una demostración lógica de que 0^0 es 1, en lugar de aceptarla, (o de señalar errores en ella, que no los tiene), la reacción es: "sí, pero igual no es verdad".

Un saludo,

G.P.

Anónimo dijo...

Hola otra vez,
Soy el estudiante anónimo. Primero quisiera disculparme por dos faltas graves que tuve en mi primer comentario: una ortográfica y otra matemática. La ortográfica está clara: [...] Y luego HHHa comprobado que [...]. La matemática mucho más: [...] Es decir, habría que comprobar (muy fácil pero muy tedioso) que cada vez que coja un conjunto de a elementos y otro de b elementos y “cuente” el número de APLICACIONES que hay entre ellos voy a [...]

A mí parecer 0^0=1 no es, en ningún caso, un teorema. Caben dos opciones:

1) O bien cuando define la potenciación mediante operaciones conjuntistas lo hace sólo para enteros positivos y luego conviene/define que sea 0^0=1. En ese caso está claro que no es un teorema. NOTA: Entiendo que cuando escribe "si la potenciación es definida a partir de operaciones conjuntista..." se refiere a definirla a partir de la potenciación conjuntista como usted hizo.

2)O bien incluye en su definición de potencia todos los enteros positivos y el cero. En ese caso la afirmación "0^0=1" no es un teorema, es parte de su definición. Su definición ya dice que "0^0=1". No sé si me explico. Usted puede afirmar que "0^0=1" es una afirmación cierta en su teoría. Y su teoría, según he entendido es la de ZFC más esta nueva definición, es compatible con ZFC. Pero yo puedo cambiar la definición, por ejemplo como hice en mi primer comentario, e imponer que el caso particular 0^0 sea 546. Como escribí arriba tendré que llevar cuidado cuando use las propiedades de las potencias porque ahora no puedo extenderlas a toda base y todo exponente. Pero si impongo "0^0=546" no llego a ninguna incompatibilidad con ZFC. En este sentido “0^0=1” no es un teorema de ZFC ni de la aritmética. Será una proposición cierta en su teoría pero no es una afirmación de la misma jerarquía que el Teorema de Bolzano.
Un saludo.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Anonimo,

La definición, tal como se da en la entrada, es ésta: "si A y B son dos conjuntos, se define B^A (el símbolo ^ significa “elevado a la”) como el conjunto formado por todas las funciones de A en B". Si n es el cardinal de A y m es el de B entonces, m^n es e cardinal de B^A.

A partir de esta definición se demuestra que 0^0 = 1. Y toda afirmación que se demuestra es, técnicamente, un teorema. (Luego, sus opciones 1) y 2) no agotan todos los casos posibles.) De manera similar, también es un teorema que 2 + 2 = 4. Si son, o no son, teoremas de la categoría del de Bolzano es una cuestión irrelevante.

Ahora bien, amigo anónimo, si usted, como tantos otros, está realmente convencido de que 0^0 no es 1, y cree que estoy loco o soy un tonto por creerlo y sostenerlo, no lo privaré de sus convicciones. Sea feliz, crea todo lo que desee y no pierda tiempo escribiendo en el blog de este bobo que no sabe una palabra de Matemática.

Un saludo,

Gustavo Piñeiro

Anónimo dijo...

Hola nuevamente,
Mi intención no era ofenderle. Disculpe. Y por supuesto que no le considero bobo ni pienso que esté perdiendo mi tiempo. Considero que estoy ganando el tiempo. Siempre que discuto sobre matemáticas, en concreto sobre lógica, siento que me queda mucho por aprender. Creame que si considerase que estuviera perdiendo el tiempo no habría entrado a comentar.

No creo que mi problema sea el que no quiera creerme que 0^0=1. De hecho, como le he dicho, si usted me da esa definición es claro, por definición y sin necesidad de demostrarlo, que 0^0=1. Lo que usted hace no es más que exponer de forma explícita una pequeña parte implícita en su definición. Usted ha definido infinitos objetos: todos los m^n con m y n enteros no negativos. Y ha querido reflejar que con esa definición es 0^0=1.
No es un teorema de ZFC, corríjame si me equivoco. La cuestión no es que no quiera creérmelo. La cuestión es que puedo elegir no jugar con esa pieza. Puedo definir la potenciación como hice arriba y 0^0=546 y no caigo en ninguna contradicción. Igual que defino 0!=1. Pero es mi elección. No es un teorema como el de Pitágoras que podamos o no creernos. El teorema de Pitágoras es cierto (en el marco de la geometría de Euclides) sin posible discusión, no es un convenio.
Un saludo.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Anónimo,

Su opinión ha quedado asentada.

Un saludo,

G.P.

Germán Zorba dijo...

Estimado Anónimo de los últimos comentarios: si vas a exigir tanto detalle en las definiciones y demostraciones, deberías aplicar lo mismo en tu trabajo: y te falta, por ejemplo, definir qué es un número antes de poder definir las operaciones entre números. Después sí, se puede definir cualquier cosa, faltará ver si esas cosas son útiles y/o elegantes.

Si para llegar a las definiciones de números debemos pasar por la teoría de conjuntos, entonces definir las operaciones entre números mediante operaciones entre conjuntos cuando sea posible parece algo elegante.

Saludos,

Anónimo dijo...

Hola,
Por supuesto. Lleva usted razón Germán. De hecho, todas las matemáticas que yo conozco, que no son muchas, se formulan enteramente en el marco de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel más el axioma de Elección (ZFC). Sé que se pueden hacer otro tipo de matemáticas (quitando el axioma de elección o añadiendo más axiomas como se hace en el Análisis no estándar) pero en su mayoría la comunidad matemática trabaja en el marco de ZFC. Simplemente quería notar que 0^0=1 no es un teorema de ZFC. Mi intención nunca fue criticar la elegancia o utilidad de la definición dada por el autot de esta entrada. Por supuesto que me parece muy elegante convenir que sea 0^0=1 y no 0^0=546. De hecho yo convengo que sea 0^0=1.

Pero aquí la cuestión, a mi parecer, es más profunda. Hay que tener muy claro lo que es un teorema. Cuando una proposición se clasifica como teorema, en virtud de los teoremas de Compacidad y Completitud de la los lenguajes de primer orden (ZFC es una teoría escrita con un lenguaje de primer orden), tenemos que esa proposición es <>. ¿Qué significa que la proposición sea <>? Que es verdadera cada vez que asumamos que son verdaderos los axiomas de ZFC.
Por supuesto que podemos probar que <<0^0=1>> es un teorema en ZFC. Pero, claro está, tendremos que decir qué es 0^0 y que es 1. En este caso el autor del blog decidió que 0^0 fuera el cardinal del conjunto de aplicaciones entre el vacío y el vacío. Ha demostrado un teorema de conjuntos (todos lo son de conjuntos como dije arriba). Pero eso no implica que todo el mundo matemático tenga que ver 0^0 y pensar en una operación aritmética y afirmar que vale 1. Es lógico que diferentes personas duden de qué es 0^0=1. Todo depende de cómo hayamos definido 0^0. No se puede criticar al que no quiera manejar la expresión 0^0=1 pero tampoco al que no quiera usarla. En cada caso habrá que preguntarle al sujeto que entiende él por 0^0 ¿Está usted conmigo Germán?

Gracias por su tiempo.

Un saludo.

Gustavo Piñeiro dijo...

Lo que yo he dicho es que *si* los números naturales se definen como cardinales finitos y *si* la potenciación se define como el cardinal potencia *entonces* "0^0 = 1" pasa a ser un teorema de la teoría de conjuntos. Nunca dije que era la única definición posible para la potenciación (más aún, he dicho que no lo es).

El punto es que existe una interpretación del enunciado "0^0 = 1" en el que éste es un teorema. Luego, supuesta la consistencia de la teoría de conjuntos finitos, se la afirmación "0^0 = 1" no es inconsistente con los enunciados usualmente aceptados relativos a la potenciación de enteros.

No se trata de demostrar que "0^= = 1" es "verdad", sino de probar que es consistente con las demás definiciones posibles de la potenciación.

Por otra parte, el teorema de Pitágoras es tal solamente si todos estamos de acuerdo en qué es un triángulo rectángulo, una hipotenusa, un cateto, etc. El teorema de Pitágoras está lleno de convenciones y habría qué preguntarle a cada sujeto qué entiende por ellas.

Un saludo,

G.P.

Anónimo dijo...

Yo creo que 0º es indefinido y dependiendo del contexto pueden ser asignados distintos valores dependiendo de las propiedades específicas que se quieran mantener.
Ya que 0º=0x0=0 aunque tambien podria valer 0º=1 por eso creo que es indifinido

Gustavo Piñeiro dijo...

Con un criterio similar podría yo decir:

La raíz de -1 es indefiinida ya que, según el contexto, se le puede asignar diferentes valores. En R no existe, en C vale i o -i (¡dos valores!). Luego, la rzíz de -1 es indefinida y no existe. Más aún, como se prueba aquí: http://eltopologico.blogspot.com/2011/10/paradoja.html en realidad es un número real.

Hichokei dijo...

Hola Gustavo,

Me gusta tu que tu tema genere controversia, es bonito filosofar con las matemáticas. Llevo tiempo dándole vueltas a esto, y me he encontrado con dos contradicciones usando esta definición.

(1) 1 = 0^0 = 0^1*0^-1 = 0
(2) 2 = 2*1 = 2 * 0^0 = 2*0^1*0^-1 = 0^1*0^-1 = 1

En la primera, uso la ley de absorción (a*0=0) con prioridad ante la de los exponentes, y llego a la contradicción. En la segunda ya no uso la ley de absorción, sino la de los exponentes primero, pero al igualar 2 a 2*1 (que es algo trivial) y usando la propiedad asociativa del producto, la cosa explota.

Entonces, el otro valor que tiene sentido que tome es 0^0 = 0. En ese caso, no se puede llegar a ninguna de las dos contradicciones anteriores. Y este resultado partiría de interpretar el conjunto de posibles aplicaciones de un conjunto vacío a otro, como algo vacío, me quiero referir a que si:
f: {a}cN → {b}cN (una aplicación de un solo número natural a otro)
la posibles combinaciones son 1^1 = 1, siendo esta grafica(f) ={ (a,b) }

Si ahora nos vamos al conjunto vacío
g:{}cN → {}cN (del vacío al vacío)
la aplicación que queda es grafica(g)= { (,) } que está vacía, y tendría cardinal 0 = 0^0.
De hecho, si consideras que el cardinal de g es 1, tendrías que usar también esas parejas de puntos en f, las parejas vacías, y tendrías que la grafica {f} = { (,), (a,) , (,b), (a,b)} teniendo cardinal 4 (proveniente de 2^2), ya que estás considerando el vacío como algo contable.

Usando entonces la definición de 0^0=0 estaríamos hablando de que el 0 le puede al infinito, considerando el infinito como un número más (supongamos que estamos en el subconjunto de los hiperreales que contiene a los naturales y al infinito). Entonces, digamos que hay un infinito ideal que definimos por 0^-1 = ∞ (distinto de los diferentes infinitos que se consiguen con análisis, pensando en álgebra), y que entonces

0^0 = 0^1 * 0^-1 = 0*∞ = 0/0 = 0

Donde la ley de absorción es más poderosa que cualquier este infinito, ya que una vez considerado el infinito como un número más, al estar multiplicado por 0 sigue siendo 0, porque hablamos del 0 perfecto (para los amantes del análisis, me estoy refiriendo a un limite con lim 0 f(x) = lim 0 = 0 donde f(x) diverge, pero el 0 es exacto)

Creo que así la indeterminación no estaría indeterminada y además tendría más sentido.

Me gustaría tener una buena respuesta contradiciendome, creo que podría aprender de ella.

Saludos.

Gustavo Piñeiro dijo...

La respuesta es simple: 0^-1 no existe.

Anónimo dijo...

cuidado con demostrar propiedades matemáticas, muchas veces por un camino impuesto o definido arbitrariamente (en este caso teoría de conjuntos) podemos llegar a resultados que parecen ser consistentes, sin embargo una propiedad debe ser consistente y completa para ser considerada como teorema o axioma, es decir que se debe llegar al mismo resultado sin importar el camino que tomes. y 0^0 efectivamente puede llegar a ser 1 bajo ciertas condiciones pero puede no bajo otras, lo que la indetermina dicha expresión.

En otras palabras es como desmostrar que 1/0 es infinito positivo. si seguimos la siguiente iteración:

1/1=1
1/0,1=10
1/0,01=100
.
.
.
1/0,0000000001=10000000000
y así sucesivamente va creciendo a medida que me acerco a 0.

Según el camino que yo he definido llegamos a que 1/0 es infinito positivo, si embargo sabemos que si yo hubiese hecho exactamente lo mismo, pero acercándome al cero por la rama negativa hubiese llegado a que 1/0 es infinito negativo. Por lo que 1/0 está "indefinido".

Gustavo Piñeiro dijo...

"una propiedad debe ser consistente y completa para ser considerada como teorema o axioma" es una frase que carece completamente de sentido. , También está fuera de lugar el comentario sobre 1/0 que, en todo caso, habla del límite de 1/x cuando x tiende a 0 y no de la "operación" 1/0. Diría que antes de opinar sobre matemática hay que saber matemática y tener en claro qué es lo que se dice.

Alejandro Caballero dijo...

Es lo que te han dicho antes... Esta prueba la has hecho con naturales. Esta potenciación es bastante diferente y no verifica muchas de las propiedades de las potencias reales. Debo recordar que ni siquiera expresiones del tipo 0^5 o 0^pi tienen sentido en el ámbito de los reales...

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Sr. Caballero,
Obviamente está usted en todo su derecho de persistir en el error.
Cordiales saludos,