Cero elevado a la cero

Un modo perfectamente aceptable de definir los números naturales es decir que son los cardinales (o cantidades de elementos) de los conjuntos finitos. Así por ejemplo:

0 es el cardinal del conjunto vacío (pues el conjunto vacío tiene cero elementos)
1 es el cardinal del conjunto {0} (o de cualquier otro conjunto que tanga tantos elementos como él)
2 es el cardinal del conjunto {0, 1}
3 es el cardinal del conjunto {0, 1, 2}

Y así sucesivamente. (En la definición anterior hay, en aras de un lenguaje más comprensible, algunas imprecisiones, pero los conceptos son esencialmente correctos.)

Definidos de esta manera los números, las operaciones entre ellos pueden definirse apelando a las operaciones existentes entre conjuntos. En particular nos interesa aquí la operación de potenciación. Definamos primero la potenciación entre conjuntos:

Definición: si A y B son dos conjuntos, se define B^A (el símbolo ^ significa “elevado a la”) como el conjunto formado por todas las funciones de A en B.

Precisemos un poco, ¿qué es una función de A en B? Una función de A en B es cualquier conjunto F de pares ordenados (a, b) (con a en A y b en B) que cumpla las dos condiciones siguientes:

1) Si a está en A entonces existe algún b en B tal que (a, b) está en F.
2) Si (a, b) y (a, b’) están en F entonces b = b’.

(Intuitivamente, si interpretamos que el hecho de que (a, b) esté en F como que F(a) = b, entonces la primera condición diría que todo elemento de A tiene una imagen y la segunda que no tiene dos imágenes diferentes.)

Mostremos un pequeño ejemplo; supongamos que A = {0, 1} y que B = {0, 1, 2}. Una función de A en B es, por ejemplo, {(0,1), (1,2)}. Se ve fácilmente que hay exactamente nueve funciones en B^A, y no por casualidad 9 = 3^2.

Definición: si alpha es el cardinal de A y beta es el cardinal de B entonces se define beta^alpha como el cardinal de B^A.

Si alpha y beta son ambos enteros mayores que cero la definición anterior coincide con la definición escolar más conocida y, de hecho, la definición anterior puede extenderse sin cambios a cardinales infinitos.

Pero no nos interesa aquí el infinito, sino todo lo contrario. La pregunta que nos convoca es ¿qué nos dice la definición anterior si alpha = 0, o beta = 0, o ambos?

Supongamos que beta = 0 y alpha no es cero. Eso significa que B es el conjunto vacío y que A no es vacío. ¿Qué conjuntos F de pares ordenados hay en B^A? Si A es no vacío pero B sí lo es entonces la condición 1) de la definición de función falla siempre. No importa qué función intentemos definir la condición 1) nos pide que dado algún a en A exista algún b en B que cumpla algo, pero tal b no puede existir porque B es vacío.

B^A entonces no contiene nada, B^A es en sí mismo el conjunto vacío y por ende beta^alpha = 0. Hemos probado así que 0^alpha = 0 si alpha es mayor que cero.

Supongamos ahora que A es vacío. ¿Qué conjuntos F de pares ordenados hay en B^A? Ahora sí hay un conjunto F que cumple la definición de función: el conjunto vacío. Una implicación cuyo antecedente es falso resulta ser siempre verdadera, por lo tanto si A y F son vacíos ambas condiciones de la definición de función se cumplen. Por otra parte, dado que A es vacío, no hay otras funciones posibles. Nótese que en el caso anterior ni siquiera el vacío servía como función, no había ninguna, pero en esta caso sí hay una (la “función vacía”) y por lo tanto B^A tiene un elemento. Hemos probado que beta^0 = 1.

¿Qué pasa si alpha = 0 y beta = 0? Si se observa la demostración anterior, en ningún momento aparece mencionado el hecho B sea no vacío (en cambio en la demostración de que 0^alpha = 0 sí se usa el hecho de que alpha no es cero). La demostración anterior vale textualmente sin cambios si beta = 0 y por lo tanto ese mismo razonamiento prueba que 0^0 = 1.

Por lo tanto queda probado que 0^0 = 1.

Addenda: por motivos que, confieso, me resultan difíciles de entender existe la idea muy extendida (y en general muy arraigada en quienes la sostienen) de que 0^0 es una operación “prohibida”. Sin embargo, no sólo acabamos de probar que 0^0 = 1 sino que este valor es perfectamente coherente con diversas fórmulas matemáticas, entre ellas la que dice que la sumatoria de a_ix^i (con i entre 0 y n) vale a_0 si x = 0 (esto sólo es posible decirlo si 0^0 = 1).

Addenda 2: es posible dar definiciones diferentes de la potenciación y en ese caso que alpha^beta es el cardinal de A^B deja de ser una definición y pasa a ser un teorema. Bajo estas circunstancias el razonamiento de más arriba demustra que es perfectamente consistente desde el punto de vista lógico e inclusive conveniente y necesario desde el punto de vista de la coherencia matemática que, cualquiera sea la definición que se adopte, sea 0^0 = 1.

Addenda 3: otra definición posible para ^ (con exponente entero no negativo) es decir que a^0 = 1 para todo a (incluyendo, claro está, a = 0) y que a^(n + 1) = a*a^n (donde * es la multiplicación). Nótese que según esta definición 0^0 = 1, como debe ser, y que si n>0, n = k + 1, entonces 0^n = 0^1*0^k = 0*0^k = 0, como también debe ser. En particular: 0^1 = 0*0^0 = 0*1 = 0. Esta definición resulta así totalmente equivalente a la que hemos dado en el cuerpo principal de la entrada.

Addenda 4: Al comentario del 23 de mayo de 2009, cito de "Introducción a la Teoría de Conjuntos", Lía Oubiña, Eudeba, 4º edición (1969). En la página 135, exactamente donde la página termina, dice: "nótese, en particular, que 0^0 = 1".

Addenda 5: Véase aquí.