21.6.09

Addenda a 0^0 = 1

He demostrado la entrada aquí enlazada que si se definen los números naturales como cardinales de conjuntos finitos (como es posible hacerlo y, como de hecho, lo hicieron Cantor, Dedekind y Russell) entonces puede demostrarse como teorema que 0^0 = 1.

Si 0^0 = 1 llevara a una inconsistencia lógica (a un absurdo) esto probaría que la aritmética misma es incosistente y en realidad que toda la matemática es incosistente.

Nótese bien: la inconsistencia de la matemática surgiría del hecho de que 0^0 no sea 1. Que 0^0 = 1 no sólo es correcto, sino que es, de hecho, un teorema.

Addenda: Y si se elige definir a los números naturales de otra manera (axiomáticamente, por ejemplo) entonces la existencia de un modelo en el que la igualdad "0^0 = 1" es un teorema demuestra que, en todo caso, no se producirá ninguna inconsistencia lógica al definir 0^0 como 1, todo lo contrario, la existencia de ese modelo prueba que, en ese contexto, la definición 0^0 = 1 es deseable.

2 comentarios:

RICARDO JORGE dijo...

ESTIMADO GUSTAVO:EN TU DEMOSTRACIÓN DE 0^0=1PARTÍS DE UNA DIFICULTAD ESENCIAL.AL DEFINIR POTENCIACIÓN DE CONJUNTOS,UTILIZÁS EL CONCEPTO DE FUNCIÓN QUE DENTRO DE UN TEORÍA AXIOMÁTICA DE CONJUNTOS ES "POSTERIOR" AL CONCEPTO DE CONJUNTO.ADEMÁS,EN QUE OPERACIÓN LÓGICA BINARIA SE FUNDAMENTE LA POTENCIACIÓN DE CONJUNTOS;ASÍ COMO LA INTERSECCIÓN SE BASA EN LA CONJUNCIÓN,ETC.ESTO CREO INVALIDA TODO DESARROLLO POSTERIOR.ATENTAMENTE.RICARDO JORGE PALACIOS.

Gustavo Piñeiro dijo...

La potenciación de conjuntos se basa en última instancia en el concepto de par ordenado. El dearrollo es perfectamente válido y está, de hecho, respaldado por toda la literatura sobre teoría axiomática de conjuntos.