4.7.08

¿Qué es una paradoja?

Es fácil encontrar en cualquier buscador de Internet referencias a paradojas, por ejemplo, a la Paradoja de Russell, la Paradoja de San Petersburgo o la Paradoja de Epiménides.

Sin embargo, aunque en todas las expresiones anteriores aparece la palabra “paradoja”, no siempre está claro (a veces inclusive para quienes hablan de ellas) que en la frase Paradoja de Russell la palabra “paradoja” no tiene el mismo sentido que en la frase Paradoja de San Petersburgo y que, de hecho, la palabra paradoja se usa en varios sentidos completamente diferentes entre sí.

Sin la pretensión de ser exhaustivo, la intención de esta entrada es hacer una lista de algunos de los distintos significados que suelen atribuirse a la palabra “paradoja”.

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1) En primer lugar se llama paradoja a una contradicción en un sistema axiomático (o, más en general, en una teoría).

Si establecemos un conjunto de axiomas y de ellos extraemos como conclusión alguna falsedad (o, lo que viene a ser prácticamente lo mismo, extraemos de ellos dos conclusiones mutuamente contradictorias) entonces hemos obtenido de ellos una paradoja. Con el mismo sentido suelen usarse también las palabras contradicción o antinomia.

Éste es, por ejemplo, el sentido de la palabra “paradoja” en la frase la Paradoja de Russell. En 1902 Gottlob Frege acababa de enviar a la imprenta el segundo tomo de Fundamentos de la Aritmética, la obra en la que daba cierre al trabajo de toda su vida y en la que definía los números y sus operaciones (y a partir de ellos, el resto de la matemática) a partir de conceptos puramente lógicos.

Una de las premisas de Frege era que a toda propiedad le correspondía un conjunto, el conjunto de todos los objetos que cumplen esa propiedad. Russell observó (y así se lo comentó a Frege en una carta) que si se toma como propiedad el ser un conjunto que no es elemento de sí mismo se llega a una paradoja, ya que el conjunto asociado a ella debe ser y no ser al mismo tiempo elemento de sí mismo.

Como Frege reconoció en la respuesta que le escribió a Russell el descubrimiento de esta paradoja daba por tierra con todo su sistema.

Más tarde Russell dio al público en general una versión más coloquial de su paradoja, en la que en lugar de hablar de un conjunto que no se contiene a sí mismo se habla de un barbero que no afeita a determinadas personas.

Addenda: no es deseable que un sistema axiomático contenga paradojas porque en un sistema paradójico todo puede ser demostrado, tanto las afirmaciones verdaderas como las falsas son demostrables (y en consecuencia ya no puede saberse qué es verdad y qué es mentira). Cuenta la leyenda que en una conferencia Russell hizo la observación de que a partir de una falsedad podía ser demostrada cualquier otra afirmación (verdadera o falsa) y que en fue retado por el público a demostrar, partiendo de que 1 = 0, que Smith era el Papa (Smith era uno de los asistentes a la conferencia, cuyo nombre en realidad no era Smith, pero que sí era reconocidamente ateo).

Russell razonó así: si 1 = 0, sumemos 1 a ambos miembros, luego 1 = 2. Tomemos el conjunto formado por Smith y el Papa. El conjunto tiene 2 elementos, pero como 2 = 1 entonces el conjunto tiene también un solo elemento, luego Smith y el Papa son la misma persona.

2) En segundo lugar se llama paradoja a una falacia.

Según este significado de la palabra, una paradoja es un razonamiento que parece demostrar una antinomia (es decir una “paradoja” en el sentido anterior), pero que en realidad contiene un error. En el sentido anterior se llega a demostrar una falsedad mediante un razonamiento correcto, la falla está en las premisas y no en el razonamiento en sí. En este segundo sentido hay simplemente una falla en el razonamiento que parece llevar a la contradicción.

Un ejemplo: vamos a “demostrar” que 1 = 2.

Tomemos dos números iguales, llamémoslos a y b:

a = b

Tomemos un tercer número, llamado c, y sumémoslo a ambos miembros:

a + c = b + c

Elevamos al cuadrado y operamos:

(a + c)^2 = (b + c)^2

a^2 + 2ac + c^2 = b^2 + 2bc + c^2

a^2 + 2ac = b^2 + 2bc

a^2 – b^2 = 2bc – 2ac

(a – b)(a + b) = 2c(b – a)

Simplificamos (a – b):

a + b = –2c

Como a = b:

2a = –2c

a = –c

Como a y c son números cualesquiera diferentes entre sí entonces podemos asignarles los valores: a = 1, c = –2. Luego: 1 = 2.

Si el razonamiento hubiera sido correcto habríamos encontrado en la aritmética una paradoja en el primer sentido (una antinomia, como al de Rusell), pero hay un error en el razonamiento (no es válido simplificar a – b, ya que a – b = 0) y por lo tanto sólo tenemos una paradoja en el segundo sentido, una falacia.

3) En tercer lugar se llama paradoja a un hecho que no conlleva una contradicción lógica (ni real ni aparente), pero que sí contradice nuestra intuición o sentido común.

Un ejemplo es la ya mencionada Paradoja de San Petersburgo. En ella se plantea el siguiente juego: el jugador apuesta un millón de pesos y luego arroja una moneda tantas veces como sea necesario hasta que sale cara por primera vez, cuando sale la primera cara se detiene. Si tiró la moneda una vez, gana 2 pesos. Si tuvo que tirar la moneda dos veces, gana 4 pesos. Si tiró tres veces, gana 8 pesos. Y así sucesivamente, si tiró la moneda n veces gana 2^n pesos. ¿Cuál es la ganancia esperada del jugador? ¿El juego favorece al jugador o a la banca?

Tras hacer los cálculos necesarios se llega a la conclusión de que (no importa cuál sea la apuesta inicial) el juego siempre favorece al apostador y que su ganancia esperada es infinita. A la larga, si juega lo suficiente, su ganancia superará cualquier valor establecido de antemano. Parece raro que un juego dé una ganancia infinita, pero así es, y no hay en ello ninguna contradicción.

Otro ejemplo es la llamada Paradoja de Banach Tarski, un teorema en el que se prueba que es posible cortar una esfera maciza en cinco partes que pueden ser rotadas y (sin que haya deformaciones) ensamblarlas formando dos esferas macizas cada una de ellas del mismo tamaño que la anterior.

Obviamente este teorema contradice toda nuestra intuición (parece como si de la nada se hubiera duplicado la materia), pero se trata de un teorema matemático perfectamente válido, sin que haya en él ninguna falacia ni antinomia. Debo aclarar que la duplicación de la esfera no es posible en la práctica ya que se necesitaría que la materia fuese infinitamente divisible.

4) En cuarto lugar tenemos las paradojas de decisión.

En una paradoja de decisión se nos pone ante la tarea de tener que optar por una de dos (o más) alternativas. La paradoja se produce cuando sucede que para cada alternativa hay un argumento que la señala como la mejor.

Un ejemplo de este tipo de paradojas es la llamada Paradoja de Newcomb, sobre cuyos detalles no me extenderé aquí, baste decir que se trata de un planteo en el que resulta muy difícil decidirse por una u otra de las dos opciones entre las que se nos invita a elegir, sin que ello implique una contradicción lógica (real o aparente), ni un alejamiento del sentido común (a menos que entendamos que éste dice que en toda elección debe haber una alternativa claramente superior a las otras).

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Como he dicho más arriba, la lista no pretende ser exhaustiva. Es posible, inclusive, que algunas paradojas sean difícile de clasificar en uno u otro grupo, o que la clasificación depende de cómo se entienda la paradoja.

Tomemos por ejemplo la Paradoja del Examen Sorpresa (o del Ahorcamiento Inesperado) ¿Se trata solamente de una falacia (y cae en el segundo grupo) o se basa en un razonamiento correcto que lleva a una conclusión contraria a la intuición (en el tercer tipo, entonces)? Dejaremos este análisis para otro momento.

27 comentarios:

Anónimo dijo...

muy interesante

tibu dijo...

que buen post!

Anónimo dijo...

[QUOTE]Tomemos dos números iguales, llamémoslos a y b:

a = b
[/QUOTE]

No entiendo esa parte del enunciado. Si "a" es igual a "b" y son n'umeros iguales, no ser'ia eso ya una falacia? No deber'ia de ser "a=a" , en vez de "a=b".

daniela dijo...

paradoja: yo entinedo por paradoja que es algo opuesto o contradictorio a lo que uno dice
En otras palabras es lo opuesto a lo que uno considera cierto.

daniela dijo...

paradoja de galileo: se dice que es paradoja por que en esta galileo afirma que no se podían
establecer comparaciones entre conjuntos infinitos, es decir,que caresen de sentido.
con respecto a estas dos afirmaciones.

"Algunos números enteros son cuadrados perfectos y otros no,
por lo tanto, el conjunto de números enteros es mayor que el de números cuadrados perfectos"

"Por cada número entero hay otro que es su cuadrado,
por lo tanto, el conjunto de números enteros y el de cuadrados son iguales"



Esto es cierto en particular para el conjunto de números naturales,
pero no es en general una afirmación cierta.

luis antonio molina Escobar dijo...

en si paradoja es lo opuesto a lo que uno considera cierto

daniela dijo...

paradoja pi: bueno en este como que esta un poco enredado pero bueno profe ay le va a lo que le entendi
pues en si se refiere a la parodoja esferica y sobre lo que leei fue que en unos ejemplos nos decia sobre
una una canica esférica rodeada por un hilo por su ecuador.
alarguemos un metro la longitud del hilo y volvamos a rodear la canica para que la separación
entre ella y el hilo sea la misma.

bueno el caso es que ummmm si se puede bueno mejor esta se la mando el lunes ok adios

luis antonio molina escobar dijo...

en pocas palabras paradoja es lo opuesto a lo que se considera cierto

josefina hernandez martinez dijo...

una paradoja es algo contradictori, es como decir una verdad que es mentira o al reves, una mentira que es verdad

josefina hernandez martinez

Jesuso dijo...

Chuchon dice: O sea es como si digo "algo", pero no digo nada, entonces el sabe, tu sabes, yo se, pero no se que, y a luego voy en el camino pero no se si el camino sube o baja, ahi esta el detalle chato. o sea que la relatividad no es tan relativa, porque entonces, que, yo digo, pero no entiendo, entonces,mejor no digo nada, pero ya dije algo,asi que mejor luego voy o vengo antes o despues de que me hierva la cabeza.

Cristina Romero dijo...

Cristina ROmero

Bueno yo entiendo q paradoja es como una contradiccion es algo verdadero q no es verdadero o algo asi piensas q es cierto pero se comprueba logicamente y resulta falso o eso creo yo.

ahora nos dicen q hay varios tipos de paradojas la de pi no la encontre le comentare un poco de la de galileo
segun galilero habla de los numeros naturales no? dice q son mayores los cuadrados de los numeros q los numeros, pero si los cuadardos tienen uçsu raiz segun esto no pouede ser verdad eso digo otro señor o algo asi yo no entendi muy bien habria q hacer cuentas o meter la logica o mostrarlo analiozando un modelo matematico no?

JULIETA CASTILLO DOMINGUEZ dijo...

Bueno ps puedo decir conforme a lo que entendi se le llama "PARADOJA"y se divide su en 4 definiciones primero a la contradiccion de una teoria como en la paradoja de galileo ps que se contradice a lo ultimo con lo de los conjuntos infinitos por ke algunos suelen ser mayores que otros asi que su conclusion no es lo ideal para su teoria....
tambien nos dice ke se le llama paradoja a una falacia(se aplica mal un argumento valido )........

puede contradecir nuestro sentido comun......
aveces se puede tener una mejor alternativa de la que se tiene..

Anónimo dijo...

la partadoja de galileo dice que a pesar de que no todos los números son números cuadrados, no hay más números que números cuadrados.

Oscar jimenez tecan

Carlos Raul V.J. 404 "B" dijo...

carlos r. vargas j. : aaammm bueno pues la verdad le tuve q dar dos leidas al texto para entender mas o menos, lo q decia ... segun una paradoja es una afirmacion negada como cuando decimos "si pero no " bueno eso entendi... aunq no estoy muy convensido de q eso sea. esta algo (demaciado) confuso .

Anónimo dijo...

ME PARECE MUY BIEN ESTA PAGINA

Jose Gil Jacome Munguia dijo...

Bueno pues yo entendí por paradoja que es una contradicción, es decir, cuando nosotros hacemos un declaración ya sea verdadera o falsa estas tienden hacer opuestas a lo que se se esta diciendo, como un contrasentido.

Respecto a la paradoja de Galileo con todo lo que nos dice que el infinito pues como sabemos es incomprensible para nosotros y al igual que lo indivisible, lo cual dice que el único numero verdadero infinito es la unidad; por lo tanto nos dice que el conjunto de infinitos pues no tiene un sentido aplicado.

Atte. JOSE GIL JACOME MUNGUIA(404-B)

Antonino dijo...

bueno pùes creo que esta un poco enrredado pero entiendo por paradoja a declarcion en aparencia verdadera que contradice el sentido comun, es contrasentido con sentido

Anónimo dijo...

Bueno yo entiendo que una paradoja es una contradiccion, es decir algo opuesto a lo que decimos.
En la paradoja de galileo el habla sobre los numeros enteros, sobre que algunos tienen la propiedad de ser cuadrados perfectos ientras que otros no la tienen. Por ello, el conjunto de todos los números, incluyendo tanto a los cuadrados como a los no cuadrados, tiene que ser mayor que el conjunto de los cuadrados. Sin embargo, por cada cuadrado hay exactamente un número que es su raíz cuadrada, y por cada número hay exactamente un cuadrado. Por lo tanto, no puede haber más de un tipo que de otro.

ATT: ROSALBA MORALES MORALES
404-B

juan carlos sanchez dijo...

una paradoja es lo contrario de algo que decimos
atte juan carlos sanchez rivera

Anónimo dijo...

yo entiendo que una paradoja es lo contrario de algo que es verdadero que no es verdadero
atte: juan carlos sanchez rivera

Anónimo dijo...

una paradoja es lo cobtrario de algo que es verdadero
galileo nos abla de los numeros naturales
atte : juan acrlos sanchez rivera

Adriana Trujillo Chicuellar dijo...

Bueno, pues creo ke entendi lo mismo ke todos mis compañeros, de hecho yo la utilizo mucho sin saberlo jejeje....pues aveces hago comentarios, ke despues digo ke ya no son como los habia dicho antes, creo ke mi vida esta llena de paradojas :( ...
De hecho creo ke sin darnos cuenta a todos nos ha pasado eso, nos contradecimos de ves en cuando, y pus kada kien paradojea a su modo pero lo hace.....
Y pues con lo ke respecta a la Paradoja de GALILEO, pues se refiere tanto a los conjuntos infinitos como finitos; habla sobre el principio de que el todo es mayor que sus partes. Y sobre la ilusa manera de utilizar los terminos igual, menor y mayor para los conjuntos antes mencionados, si estos terminos solo se involucran con los conjuntos finitos...
Bueno mejor ya me voy porke sino le sigo echando choro y creo ke ni yo me entiendo...

Javier dijo...

Al hablar de paradojas no deberíamos dejar de aludir a quie fuera conocido como el rey de la paradoja. M erefiero a Gilbert K. Chesterton. Como ejemplo, en su libro la esfera y la cruz, coloca a su personaje en una situación en que peligra su vida (parado en una pequeña saliente con riesgo de caer al vacío). Él lógicamente desea vivir, pero se da cuenta en ese momento que para salvarse de caer y morir, para vivir, lo que tiene que hacer es no desearlo.

apuestas deportivas dijo...

el tema esta muy interesante de verdad, voy a recomendar el blog a mis alumnos y compañeros profesores, el ejemplo que mas me gusto fue: paradoja a un hecho que no conlleva una contradicción lógica (ni real ni aparente), pero que sí contradice nuestra intuición o sentido común.

midi dijo...

Una gran descripción de las paradojas, yo me sabía la de Russell como la de un bibliotecario que hace listas de libros y listas de listas de libros, pero es equivalente a la del barbero.

¿Y qué hay de la paradoja de Fermi? es una paradoja imposible de clasificar.

Anónimo dijo...

Profesor Gustavo, me preguntaba entonces según la clasificación hecha, si el típico ejemplo de la paradoja como falacia, del Cretense quien dice que "que todos los cretenses son mentirosos", podría también enmarcarse en el primer grupo en tanto que sería necesario negar uno de los axiomas implícitos en el ejemplo, es decir que la persona que dice esto no sea de creta, o que no todos los cretenses son mentirosos.

Anónimo dijo...

heee por lo ke yo entendi una PARADOJA es una afirmacion de una respuesta verdadera ke puede ser falsa o una afirmaciona una respuesta verdadera ke pueder ser verdadera