¿Qué es una paradoja?

Es fácil encontrar en cualquier buscador de Internet referencias a paradojas, por ejemplo, a la Paradoja de Russell, la Paradoja de San Petersburgo o la Paradoja de Epiménides.

Sin embargo, aunque en todas las expresiones anteriores aparece la palabra “paradoja”, no siempre está claro (a veces inclusive para quienes hablan de ellas) que en la frase Paradoja de Russell la palabra “paradoja” no tiene el mismo sentido que en la frase Paradoja de San Petersburgo y que, de hecho, la palabra paradoja se usa en varios sentidos completamente diferentes entre sí.

Sin la pretensión de ser exhaustivo, la intención de esta entrada es hacer una lista de algunos de los distintos significados que suelen atribuirse a la palabra “paradoja”.

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1) En primer lugar se llama paradoja a una contradicción en un sistema axiomático (o, más en general, en una teoría).

Si establecemos un conjunto de axiomas y de ellos extraemos como conclusión alguna falsedad (o, lo que viene a ser prácticamente lo mismo, extraemos de ellos dos conclusiones mutuamente contradictorias) entonces hemos obtenido de ellos una paradoja. Con el mismo sentido suelen usarse también las palabras contradicción o antinomia.

Éste es, por ejemplo, el sentido de la palabra “paradoja” en la frase la Paradoja de Russell. En 1902 Gottlob Frege acababa de enviar a la imprenta el segundo tomo de Fundamentos de la Aritmética, la obra en la que daba cierre al trabajo de toda su vida y en la que definía los números y sus operaciones (y a partir de ellos, el resto de la matemática) a partir de conceptos puramente lógicos.

Una de las premisas de Frege era que a toda propiedad le correspondía un conjunto, el conjunto de todos los objetos que cumplen esa propiedad. Russell observó (y así se lo comentó a Frege en una carta) que si se toma como propiedad el ser un conjunto que no es elemento de sí mismo se llega a una paradoja, ya que el conjunto asociado a ella debe ser y no ser al mismo tiempo elemento de sí mismo.

Como Frege reconoció en la respuesta que le escribió a Russell el descubrimiento de esta paradoja daba por tierra con todo su sistema.

Más tarde Russell dio al público en general una versión más coloquial de su paradoja, en la que en lugar de hablar de un conjunto que no se contiene a sí mismo se habla de un barbero que no afeita a determinadas personas.

Addenda: no es deseable que un sistema axiomático contenga paradojas porque en un sistema paradójico todo puede ser demostrado, tanto las afirmaciones verdaderas como las falsas son demostrables (y en consecuencia ya no puede saberse qué es verdad y qué es mentira). Cuenta la leyenda que en una conferencia Russell hizo la observación de que a partir de una falsedad podía ser demostrada cualquier otra afirmación (verdadera o falsa) y que en fue retado por el público a demostrar, partiendo de que 1 = 0, que Smith era el Papa (Smith era uno de los asistentes a la conferencia, cuyo nombre en realidad no era Smith, pero que sí era reconocidamente ateo).

Russell razonó así: si 1 = 0, sumemos 1 a ambos miembros, luego 1 = 2. Tomemos el conjunto formado por Smith y el Papa. El conjunto tiene 2 elementos, pero como 2 = 1 entonces el conjunto tiene también un solo elemento, luego Smith y el Papa son la misma persona.

2) En segundo lugar se llama paradoja a una falacia.

Según este significado de la palabra, una paradoja es un razonamiento que parece demostrar una antinomia (es decir una “paradoja” en el sentido anterior), pero que en realidad contiene un error. En el sentido anterior se llega a demostrar una falsedad mediante un razonamiento correcto, la falla está en las premisas y no en el razonamiento en sí. En este segundo sentido hay simplemente una falla en el razonamiento que parece llevar a la contradicción.

Un ejemplo: vamos a “demostrar” que 1 = 2.

Tomemos dos números iguales, llamémoslos a y b:

a = b

Tomemos un tercer número, llamado c, y sumémoslo a ambos miembros:

a + c = b + c

Elevamos al cuadrado y operamos:

(a + c)^2 = (b + c)^2

a^2 + 2ac + c^2 = b^2 + 2bc + c^2

a^2 + 2ac = b^2 + 2bc

a^2 – b^2 = 2bc – 2ac

(a – b)(a + b) = 2c(b – a)

Simplificamos (a – b):

a + b = –2c

Como a = b:

2a = –2c

a = –c

Como a y c son números cualesquiera diferentes entre sí entonces podemos asignarles los valores: a = 1, c = –2. Luego: 1 = 2.

Si el razonamiento hubiera sido correcto habríamos encontrado en la aritmética una paradoja en el primer sentido (una antinomia, como al de Rusell), pero hay un error en el razonamiento (no es válido simplificar a – b, ya que a – b = 0) y por lo tanto sólo tenemos una paradoja en el segundo sentido, una falacia.

3) En tercer lugar se llama paradoja a un hecho que no conlleva una contradicción lógica (ni real ni aparente), pero que sí contradice nuestra intuición o sentido común.

Un ejemplo es la ya mencionada Paradoja de San Petersburgo. En ella se plantea el siguiente juego: el jugador apuesta un millón de pesos y luego arroja una moneda tantas veces como sea necesario hasta que sale cara por primera vez, cuando sale la primera cara se detiene. Si tiró la moneda una vez, gana 2 pesos. Si tuvo que tirar la moneda dos veces, gana 4 pesos. Si tiró tres veces, gana 8 pesos. Y así sucesivamente, si tiró la moneda n veces gana 2^n pesos. ¿Cuál es la ganancia esperada del jugador? ¿El juego favorece al jugador o a la banca?

Tras hacer los cálculos necesarios se llega a la conclusión de que (no importa cuál sea la apuesta inicial) el juego siempre favorece al apostador y que su ganancia esperada es infinita. A la larga, si juega lo suficiente, su ganancia superará cualquier valor establecido de antemano. Parece raro que un juego dé una ganancia infinita, pero así es, y no hay en ello ninguna contradicción.

Otro ejemplo es la llamada Paradoja de Banach Tarski, un teorema en el que se prueba que es posible cortar una esfera maciza en cinco partes que pueden ser rotadas y (sin que haya deformaciones) ensamblarlas formando dos esferas macizas cada una de ellas del mismo tamaño que la anterior.

Obviamente este teorema contradice toda nuestra intuición (parece como si de la nada se hubiera duplicado la materia), pero se trata de un teorema matemático perfectamente válido, sin que haya en él ninguna falacia ni antinomia. Debo aclarar que la duplicación de la esfera no es posible en la práctica ya que se necesitaría que la materia fuese infinitamente divisible.

4) En cuarto lugar tenemos las paradojas de decisión.

En una paradoja de decisión se nos pone ante la tarea de tener que optar por una de dos (o más) alternativas. La paradoja se produce cuando sucede que para cada alternativa hay un argumento que la señala como la mejor.

Un ejemplo de este tipo de paradojas es la llamada Paradoja de Newcomb, sobre cuyos detalles no me extenderé aquí, baste decir que se trata de un planteo en el que resulta muy difícil decidirse por una u otra de las dos opciones entre las que se nos invita a elegir, sin que ello implique una contradicción lógica (real o aparente), ni un alejamiento del sentido común (a menos que entendamos que éste dice que en toda elección debe haber una alternativa claramente superior a las otras).

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Como he dicho más arriba, la lista no pretende ser exhaustiva. Es posible, inclusive, que algunas paradojas sean difícile de clasificar en uno u otro grupo, o que la clasificación depende de cómo se entienda la paradoja.

Tomemos por ejemplo la Paradoja del Examen Sorpresa (o del Ahorcamiento Inesperado) ¿Se trata solamente de una falacia (y cae en el segundo grupo) o se basa en un razonamiento correcto que lleva a una conclusión contraria a la intuición (en el tercer tipo, entonces)? Dejaremos este análisis para otro momento.