La paradoja de San Petersburgo

El juego

Imaginemos que nos proponen participar del siguiente juego.

Para participar, tenemos que apostar 1.000.000 de pesos. El pago que recibimos cada vez que participamos queda determinado por los tiros de una moneda (que suponemos equilibrada y perfecta). Esta moneda se tira tantas veces como sea necesario hasta que salga “cara” por primera vez. Si la moneda se tiró $n$ veces entonces nos pagan $2^n$ pesos. Es decir, cuanto más tarde en aparecer la primera “cara”, más dinero nos pagarán. Por ejemplo, si sale “cara” en el primer tiro, nos pagarán 2 pesos. Si sale “cara” recién en el segundo tiro, nos pagarán 4 pesos. Si sale “cara” recién en el tercer tiro, nos pagarán 8 pesos. Y así sucesivamente.

Observemos que la probabilidad de que salga “cara” en el primer tiro es $\frac{1}{2}$. La probabilidad de que salga “cara” recién en el segundo tiro (es decir, “ceca” en el primero y “cara” en el segundo) es de  $\frac{1}{4}$. Generalizando, la probabilidad de que la primera “cara” salga en el tiro $n$ es de  $\frac{1}{2^n}$. 

 ¿Conviene participar de este juego?   

Cada vez que participemos tenemos que apostar 1.000.000 pesos, una cantidad exorbitante para cualquiera de nosotros. Hay que pensar muy bien si nos conviene participar.

Para responder la pregunta tenemos que calcular el valor esperado (o la esperanza, o la esperanza matemática) de nuestra ganancia, (nuestra ganancia es la diferencia entre lo que nos pagan y lo que apostamos). De acuerdo con la teoría de probabilidades, la esperanza de nuestra ganancia se calcula así: E = -1.000.000 + $2\times{\frac{1}{2}}$ + $4\times{\frac{1}{4}}$ + ... Es decir, -1.000.000 más la suma de infinitos unos. La ganancia esperada es infinita.

La respuesta, obviamente, es que nos conviene jugar. De hecho, nos conviene muchísimo. Porque el cálculo nos dice que si jugamos una y otra vez (apostando en cada jugada 1.000.000 de pesos), la cantidad de dinero que ganaremos tenderá, a la larga, al infinito.

 ¿Por qué es una “paradoja”?   

En todo lo anterior no hay ningún error, ni ninguna contradicción. Se lo llama “paradoja”, en principio, porque resulta poco intuitivo que haya un juego en el que se pueda ganar infinito dinero (no importa cuánto se apueste, ya sea un millón de pesos, o mil millones).

Pero hay otra razón por la cual se la considera una paradoja. Para explicar esta otra razón, planteemos la siguiente pregunta: ¿por qué el cálculo de la esperanza da como resultado “infinito”? Más allá del cálculo en sí, la idea es la siguiente:

Si jugamos repetidamente el juego, algunas veces nos pagarán más de 1.000.000 de pesos y ganaremos dinero; pero otras veces nos pagarán menos de 1.000.000 y perderemos. Con más precisión, como $2^{19}$ es poco más de 500.000, y $2^{20}$ es poco más de 1.000.000, entonces, cada vez que la primera “cara” salga en el tiro 19 o antes perderemos dinero, pero cada vez que la primera “cara” salga en el tiro 20 o después ganaremos. En resumen, hay una cantidad infinita de resultados posibles que nos hacen ganar dinero (y una cantidad creciente de dinero cuanto más tarde la cara en aparecer), mientras que hay solamente una cantidad finita de casos que nos hacen perder dinero. Es por eso que, a la larga, ganaremos tanto dinero como queramos.

La paradoja aparece en la frase “a la larga”. ¿Qué tan “a la larga” tenemos que esperar para ganar dinero?

Como dijimos antes, si la primera “cara” aparece en el tiro 20, entonces ganamos dinero. Pero ¿cuánto tendremos que esperar para que eso suceda?

La probabilidad de que la primera “cara” aparezca en el tiro 20 es $\frac{1}{2^{20}}$, que es del orden de un millonésimo. Es decir, si jugamos una vez por día (si nos atrevemos a arriesgar un millón de pesos cada día), observaremos 20 caras seguidas, en promedio, una vez cada un millón de días, o una vez cada 2.379 años. Es decir, tendremos que esperar unos 2.379 años para ganar por primera vez 475.712. No sólo seremos muy viejos para disfrutar del triunfo, sino que, además, para ese entonces  llevaremos apostados un billón de pesos aproximadamente. Para ganancias mayores el tiempo de espera es aún mayor; de hecho, ese tiempo de espera crece exponencialmente.

En resumen, si apostamos una vez por día, es decir, si gastamos un millón de pesos por día, a la larga ganaremos tanto dinero como queramos. Pero para llegar al momento en el cual el balance quede finalmente a nuestro favor tendremos que esperar millones de años. No sólo tendríamos que ser inmortales, sino también deberíamos disponer de trillones y trillones de pesos para apostar. Esta es, entonces, la paradoja: en teoría el juego conviene muchísimo, pero en la práctica es mejor ni siquiera acercarse a él.