La cuadratura del círculo y el ajedrez

En el ajedrez el alfil mueve en diagonal y por lo tanto (como es bien sabido por todos los ajedrecistas) nunca cambia de de color de casilla. Es decir, si un alfil está en una casilla blanca y es movido respetando las reglas del juego, no importa cuántos movimientos se hagan, la pieza terminará en una casilla blanca.

Si yo dijera que encontré una secuencia de movimientos, todos legales, sin trampas, gracias a los cuales un alfil que comienza una partida en una casilla blanca, la termina en una casilla negra, es seguro que estaría equivocado. No haría falta revisar la supuesta secuencia de movimientos para verificar que hay un error, la existencia de ese error puede asegurarse con toda certeza simplemente porque es imposible que un alfil pase de una casilla blanca a una negra (respetando las reglas, sin hacer trampas).

Una situación similar ocurre en el caso de la cuadratura del círculo. Veamos por qué.

El problema de la cuadratura del círculo pide, dado un círculo, construir con regla no graduada y compás un cuadrado que tenga la misma área que el círculo dado. [Para los matemáticos de la Antigua Grecia esto equivalía a calcular el área del círculo, de allí la importancia que para ellos tenía el problema.]

Para estar seguros de que hemos comprendido correctamente la situación, profundicemos en el significado de los términos usados en el planteo del problema. Para comenzar, precisemos un poco más el planteo en sí: Dado un segmento R (pensado como el radio de un círculo) se pide obtener, usando solamente regla no graduada y compás, un segmento L, de modo tal que el cuadrado de lado L tenga la misma área que el círculo de radio R. [Un simple cálculo nos muestra que L debe medir raíz cuadrada de pi veces la longitud de R.]

Precisemos, como decía ante, el significado de los términos:

¿Qué significa "obtener un segmento usando solamente regla no graduada y compás"?
Obtener un segmento es determinar la posición de sus extremos (para luego trazar, con la regla, el segmento en sí).

¿Cómo se determina la posición de un punto?
Inicialmente, los únicos puntos cuya posición está determinada son los dos extremos del segmento inicial. Hay dos operaciones permitidas:

1. Si se ha determinado la posición de dos puntos, se puede trazar el segmento que los une, o se puede prolongar ese segmento (o un segmento ya trazado previamente) una distancia indeterminada (no se puede trazar un segmento de una longitud específica, esto es lo que significa que la regla sea "no graduada").

2. Si se ha determinado la posición de dos puntos, se puede trazar la circunferencia que tiene a uno de esos puntos como centro y que pasa por el otro punto. [El compás griego no era rígido (como sí lo es el compás que usan hoy en día los escolares de todo el mundo). Después de trazar un círculo el compás griego colapsaba y se perdía así la información de la apertura usada. Una instrucción como "manteniendo la misma apertura del compás, trace un arco con otro centro" no era, en principio, realizable. Sin embargo, la Proposición 2 de los Elementos demuestra que el compás colapsable permite hacer las misma construcciones que el compás rígido.]

Las operaciones 1 y 2 son las dos únicas permitidas [La posibilidad de realizarlas está garantizada por los postulados 1, 2 y 3 de los Elementos]. Un punto del plano queda determinado cuando se lo obtiene como la intersección de dos circunferencias, de dos segmentos o de una circunferencia y un segmento, trazados todos ellos según se indican las operaciones 1 y 2.

De este modo el problema queda definido con toda excatitud: Dados dos puntos (extremos del segmento R), aplicando una cantidad finita de veces las operaciones 1 y 2, hay que obtener dos puntos cuya distancia sea igual a raíz cuadrada de pi veces la distancia de los puntos iniciales (o sea, raíz cuadrada de pi veces la longitud de R).

Imaginemos que ubicamos los dos puntos iniciales en un sistema de coordenadas cartesianas. Podemos suponer que las coordenadas son elegidas de tal modo que los puntos iniciales son el (0,0) y el (1,0). El problema consiste en obtener dos puntos cuya distancia sea igual a la raíz cuadrada de pi.

Así planteado, el problema es idéntico en su estructura lógica a la cuestión del movimiento del alfil. Digamos que inicialmente el alfil está en una esquina del trablero (en una casilla blanca) y que "obtenemos" una casilla cuando el alfil, haciendo movimientos legales, termina su recorrido en ella.

¿Qué casillas podemos obtener? Respuesta: solamente podemos obtener casillas blancas. ¿Podemos obtener una casilla negra? Respuesta: No. ¿Y si alguien nos muestra una secuencia de movimientos que termina en una casilla negra? Respuesta: En esa secuencia hay un error, o una trampa. ¿Puede el afil obtener dos casillas que tengan en común un lado? Respuesta: No.

Todas las respuestas del párrafo anterior son claras, concretas y nadie dudaría de su veracidad. Como dije antes, en el problema de la cuadratura del círculo se da una situación similar a la del alfil. Sólo que ahora el tablero es el plano cartesiano y cada punto es una casilla. En lugar de una esquina del tablero tenemos dos puntos iniciales -el (0,0) y el (1,0)-, y los movimientos legales están dados por las operaciones 1 y 2 descriptas más arriba. La pregunta: ¿Es posible que las operaciones legales nos permitan caer en dos casillas (léase obtener dos puntos) cuya distancia sea la raíz cuadrada de pi?

¿Qué puntos nos permiten obtener las operaciones 1 y 2? Para responder la pregunta necesitamos una definición. Se dice que un número es algebraico si es raíz de un polinomio (no nulo) con coeficientes enteros. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 es un número algebraico, ya que es raíz del polinomio x^2 - 2. Los números que no son algebraicos se llaman trascendentes.

Se puede demostrar que si partimos de los puntos (1,0) y (0,0) y aplicamos una cantidad finita de veces las operaciones 1 y 2 siempre obtendremos puntos cuyas coordenadas son ambas números algebraicos. [En realidad, no se pueden obtener todos los núemros algebraicos, solamente los algebraicos de cierto tipo, pero esta distinción no es importante a los efectos de la cuadratura del círculo.]

No se pueden obtener puntos que tengan alguna coordenada trascendente, de la misma forma que no se puede lograr que el alfil pase de una casilla blanca a una negra.

La demostración de que sólo se pueden obtener números algebraicos excede las intenciones de esta entrada. Pero sí se puede dar una idea general. Si traducimos algebraicamente las operaciones 1 y 2, veremos que las coordenadas de los puntos que se pueden obtener surgen de la resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales (esto se debe a que las circunferencias se describen mediante expresiones polinómicas de grado 2 en dos variables y las rectas se describen mediante expresiones lineales). Las coordenadas de los puntos obtenibles son, entonces, soluciones de ecuaciones polinómicas y, por lo tanto, números algebraicos. [Los coeficientes de esas ecuaciones serán siempre números algebraicos y lo mismo sus soluciones.]

Puede probarse, finalmente, que la distancia entre dos puntos con coordenadas algebraicas es también un número algebraico. En resumen: las operaciones 1 y 2 solamente permiten obtener segmentos de longitud algebraica (de la misma forma que el alfil sólo permite obtener casillas del mismo color que la inicial). Así como el alfil no permite obtener dos casillas vecinas por un lado, de la misma forma (y esencialmente por el mismo motivo) las operaciones 1 y 2 no permiten opbtener un segmento con una longitud trascendente -partiendo de los puntos (0,0) y (1,0)-.

Ahora bien, como es bien sabido, en 1882 Ferdinand Lindemann demostró que pi es trascendente. De esto se deduce fácilmente que la raíz cuadrada de pi también es trascendente. Por lo tanto es imposible obtener un segmento de longitud raíz cuadrada de pi y el problema de la cuadradtura del círculo es irresoluble. Tan irresoluble, insisto en decir, como el problema que nos pide llevar un alfil de una casilla blanca a una negra (siguiendo las reglas del ajedrez).

Sin embargo hay quienes insisten en decir que han logrado cuadrar el círculo. Siempre me he preguntado el proqué de esta insistencia. ¿Es por simple ignorancia? ¿Es una idea de omnipotencia ("nada es imposible para mí")? ¿Es por desconocimiento del significado de la palabra "imposible" (que a veces en el habla cotidiana es usada como sinónimo de "muy difícil")? No lo sé, pero los cuadradores del círculo siguen apareciendo, pese a que todos sus intentos están condenados de antemano al fracaso. Probablemente esos cuadradores no intentarían llevar un alfil de una casilla blanca a una negra, pero sí intentarán la tarea igualmente imposible de construir (siguiendo las reglas del problema) un segmento de longitud raíz cuadrada de pi.

El ejemplo más reciente (hasta donde conozco) puede encontarse este blog (cuya credibilidad queda ahora en entredicho). Es interesante analizar la presentación de la entrada:

Se denomina cuadratura del círculo al problema matemático, irresoluble de geometría, consistente en hallar —con sólo regla y compás— un cuadrado que posea un área que sea igual a la de un círculo dado.
La resolución de este problema trató de abordarse repetidas veces, sin éxito, desde la antigüedad clásica hasta el siglo XIX. Hablando en sentido figurado, se dice de algo que es la “cuadratura del círculo” cuando representa un problema muy difícil o imposible de resolver.
Un Joven dominicano estudiante de la universidad autonoma de santo domingo (UASD), ha resuelto dicho problema matemático, su nombre es Casimiro Tamara Pérez, estas fueron sus conclusiones.

Observemos que comienza hablando del "problema matemático, irresoluble de geometría" para luego decir "Un joven dominicano [...] ha resuelto dicho problema". La pregunta inevitable: ¿es irresoluble o ha sido resuelto? ¿Qué significa "irresoluble" para el autor?

En medio del texto cae además en la confusión de la que hablaba antes: "un problema muy difícil o imposible de resolver". "Imposible", en matemáticas, no es lo mismo que "muy difícil". Que al tirar un dado 10 veces, en todas ellas salga un 6 es difícil (o, mejor dicho, poco probable), pero no es imposible. La cuadratura del círculo sí es imposible.

Acerca de la supuesta cuadratura en sí, es obvio que el Sr. Casimiro Tamara Pérez ha cometido un error (como ya dije, no sería necesario leer su trabajo para saberlo, de la misma forma que inevitablemente habría un error en una secuencia de movimientos de alfil que lleven la pieza de una casilla blanca a una negra). Pero en este caso el error es evidente y el mismo Tamara Pérez se encarga de exponerlo con claridad cuando afirma que si su cuadratura del círculo fuera correcta entonces el verdadero valor de pi sería 3,1419619... Dado que pi vale 3,141592... entonces su construcción es incorrecta.

Termino la entrada haciendo mías unas palabras tomadas de un artículo que expone el tema de la cuadratura del círculo (pido disculpas por no recordar la referencia exacta): si Ud. cree haber resuelto el problema, no me envíe su solución. Seguro que tiene un error, tal vez yo no sería capaz de encontrarlo, pero el error, indudablemente, estará allí.

Adenda del 7.1.10: Recomiendo la lectura de este artículo, escrito por Claudio Sánchez, y que fue la motivación de esta entrada. Allí, a modo de comentario, aparece esta respuesta del Sr. Casimiro Tamara:

Señor Gustavo P. soy un simple estudiante que apenas ha comenzado su carrera. usted al igual que todos me cuestiona como si yo fuera matematico, realmente no lo soy. si usted quiere cuestionarme algo, que sea mi imaginacion, la cual gracias a Dios fue empleada en el desarrollo de dicho problema. Por qué en vez de entrar en dudas sin antes ver el trabajo, usted no lo analiza y despues, me dice todo lo que merece un tonto por tratar de resolver el problema. usted como licenciado si me puede sacar de esta duda. tengo ya mucho tiempo esperando que alguien lo haga, pero nadie se quiere arriesgar. quiero que sepa que hasta que nadie me saque de la duda seguiré pa’ lante. el trabajo es bastante largo y lo dividi en varias partes.