3.9.11

¿Raíz cúbica? (otra vez)

Digámoslo así... Consideremos estas tres afirmaciones:

a) $\sqrt[3]{8} = 2$
b) $\sqrt[6]{8^2} = \sqrt[3]{8}$
c) $\sqrt[6]{8^2}=\sqrt[8]{64}=\pm 2$

Es obvio que las tres no pueden ser simultáneamente verdaderas. La pregunta es... ¿cuál es la afirmación falsa?

(Como en toda esta última serie de entradas, las igualdades se entienden en $\mathbb{R}$.)

Finaliza aquí.

12 comentarios:

David dijo...

2^2 = (-2)^2

y no por ello 2 = -2.

Al elevar al cuadrado introducimos una nueva solución: la misma con valor negativo.

Anónimo dijo...

La falsa es la c :)

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado David,

Es cierto, obviamente, que de hecho de que 2^2 = (-2)^2 no podemos deducir que 2 = -2. Pero no entiendo bien a qué apunta esta afirmación. Con ella solamente estamos afirmando que f(x) = x^2 no es una función inyectiva. De la misma forma podemos decir que sen(Pi) = sen(2Pi) y no por ello Pi = 2Pi, que |3| = |-3| y no por ello 3 = -3, etc.

Por otra parte, no entiendo la frase "al elevar al cuadrado introducimos una nueva solución"... preguntaría ¿solución de qué?

Finalmente, y por sobre todo lo demás, no me queda claro cuál de las tres afirmaciones estás indicando como falsa.

Gracias. Un saludo,

Anónimo dijo...

(8^2)^1/6=8^2/6 que no es igual a 8^1/3.

Por lo tanto la incorrecta es la b.

Anónimo dijo...

Y el anónimo se arrepiente y mucho. No sé como no pensé en que son equivalentes. Un trillon de disculpas.

Cecilia dijo...

Si trabajamos en C, ninguna es corrrecta; faltarían soluciones en todas. Si estamos en R, es un problema de escritura. El convenio es colocar delante del radical el signo de la solución real que se vaya a elegir, y en caso de no escribir ningún signo entendemos que nos referimos a la solución positiva. Visto así, el enunciado falso sería el c)

Anónimo dijo...

El anónimo de nuevo...

Todavía no sé por qué, pero tengo la inpresión de que la incorrecta es la b. Es verdad que 2/6 y 1/3 son iguales, pero eso no quiere decir que las dos funciones del apartado b tenga se ser iguales.

Bueno, espero no tener que desdecirme...

Borja dijo...

Sin duda es la c) y no hay nada que añadir al comentario de Cecilia.

tobal dijo...

¿Como que es obvio?

Para mi la formula a=±b abrevia a=+b o a=-b

Por lo que para mi no hay contradicción, o al menos de obvio nada.

Gustavo Piñeiro dijo...

Tobal,

La afirmación b) dice que la raíz cúbica de 8 es exactamente el mismo objeto matemático que la raíz sexta de 64. De esto se deduce que "raíz cúbica de 8" y "raíz sexta de 64" deben representar exactamente el mismo conjunto de valores.

Sin ambargo a) le asigna un único valor posible mientras que c) le asigna, al mismo objeto, dos valores posibles. He ahí una contradicción.

Así que, obviamente, al menos una de las afirmaciones debe ser falsa... a menos que aceptemos convivir en la Matemática con un cierto grado de inconsistencia.

Gustavo Piñeiro dijo...

A tobal, otra vez,

En realidad, es verdad que hay una interpretación de las afirmaciones en la que, en efecto, no hay contradicción.

Si intepretamos la afirmación c) como que raíz sexta de 64 vale 2 o -2 (al menos uno de los dos números), entonces, en ese caso, a) y b) no contradicen c), aunque a), b) y c) sí permitirían concluir que el valor -2 es absurdo y que, para evitar la inconsistencia, la raíz sexta de 64 solamente puede valer 2.

Normalmente, la afirmación c) se interpreta en el sentido de que los dos valores, positivo y negativo, son admisibles. En ese sentido, c) es falsa y sí es contradictoria con a) y b) (tal como expliqué en el comentario anterior).

Gracias. Un saludo,

G.P.

tobal dijo...

Si algo podemos sacar en claro es que la interpretación del lenguaje puede ser determinante.


Gracias a ti por tus respuestas. Y animo con el Blog, que esta muy bien :)