23.9.11

¿Raíz cúbica? (conclusión)

(Viene de 1, 2, 3, 4.)

Sea f(x) una función definida en algún subconjunto de los números reales (cuyas imágenes son también números reales). Si a es un número real que está en el dominio de f(x) y a = b entonces b también está en el dominio de f(x) y además f(a) = f(b).

La afirmación anterior es virtualmente un axioma de uso universal en la Matemática. Empleo aquí la palabra "universal" en el sentido de que el axioma es implícitamente aplicado casi todo el tiempo en todas las ramas de la Matemática. Por citar solamente un ejemplo entre miles, cuando al resolver una ecuación decimos que 2x = 3 implica que x = 3/2 estamos haciendo uso de ese axioma. En ese caso f(x) = (1/2)x, a = 2x, b = 3. [El axioma también vale aunque los conjuntos numéricos involucrados sean otros, diferentes de los reales. Hablé específicamente de los números reales para destacar el hecho de que el tema de esta entrada no involucra a los complejos.]

Consideremos ahora las siguientes afirmaciones, en las que f(x) = (-1)^x. Nótese que la función f(x) está definida, al menos, en el conjunto de los números enteros. La pregunta aquí es si ese dominio puede extenderse de manera consistente a al menos algunos números racionales no enteros.

Afirmación 1: 1/3 = 2/6.

(Pregunta: ¿1/3 y 2/6 son "iguales" o "equivalentes"? Respuesta: Son equivalentes porque son iguales. Es decir, se llaman fracciones equivalentes a aquellas que representan el mismo número real. 1/3 y 2/6 son solamente dos formas de escribir el número real que también puede ser representado como 3/9 o como 0,333...)

Afirmación 2: Supongamos que 1/3 está en el dominio de f(x).

Conclusión 3: De las afirmaciones 1 y 2, y del axioma enunciado más arriba, se deduce que 2/6 está en el dominio de f(x) y que f(1/3) = f(2/6).

Conclusión 4: De 3 se deduciría que -1 = 1, ya que f(1/3) se define como -1 y f(2/6) se define como 1. (Véase aquí la deducción completa y véase aquí por qué no es válido hablar de un "doble signo" para la raíz sexta.)

La conclusión 4 es una contradicción. En consecuencia, una de las premisas que nos llevó a ella debe ser falsa. La única falsedad posible aparece en la afirmación 2. Por lo tanto es absurdo suponer que 1/3 está en el dominio de f(x). Luego, 1/3 no está en el dominio de f(x), es decir...

...es decir que (-1)^(1/3) no existe
(ni tampoco, por supuesto, (-1)^(2/6) o (-1)^0,333....).

Podríamos preguntar ¿acaso (-1)^(1/3) no es la raíz cúbica de -1? (De ahí el título "¿Raíz cúbica?" que llevaban estas entradas). La respuesta es que no, no lo es. La igualdad x^(1/3) = "raíz cúbica de x" solamente vale si x es mayor que 0. La igualdad es falsa si x es negativo, porque en ese caso x^(1/3), simplemente, no existe.

6 comentarios:

Borja dijo...

Como ya se ha comentado en muchas ocasiones en este blog, la función exponencial de variable real a^x. Sólo está definida para valores positivos de a.
En particular, no existe la función de variable real (-1)^x, por ser la base un número negativo. Una forma (aunque no la única) es la que se expone en la presente entrada, es decir, que un mismo valor 1/3=2/6 tiene dos imágenes distintas, cosa que contradice la definición de función.
Ahora bien, de ahí no se desprende que (-1)^(1/3) no exista, pues en ese caso estamos en otro nivel ortográfico.
Por (-1)^(1/3) se hace referencia al ÚNICO valor real a que cumple que a^3 = -1, y este valor ÚNICO es -1. Por se único no hay ambigüedad y la definición es perfectamente válida.

En cuanto a (-1)^(2/6) se trata del ÚNICO valor real positivo a que cumple que a^6 = (-1)^2, y este valor es 1.

Por otro lado, -(-1)^(2/6) sería el ÚNICO valor real negativo a que cumple que a^6 = (-1)^2.

Con todo esto la forma correcta de escribir el enunciado inicial, sería, como dije en otra ocasión:

-1 = (-1)^(1/3) = - (-1)^(2/6) = -1

PG dijo...

Borja, en mi opinión su comentario es contradictorio. A todas luces, comienza afirmando una cosa y termina negándola. Le sugiero que lo revea con sentido crítico y no con el ánimo de tener razón.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado PG,

Esa observación, con la que estoy totalmente de acuerdo, es aplicable a muchos de los comentarios de Borja quien, en su afán de tener razón a toda costa, suele caer en la auto-contradicción (y alguna vez, deliberadamente o no, con un toquecito adicional de mala fe intelectual).

Un saludo,

G.P.

ErnestoUBAarg dijo...

Hola Gustavo! Tengo una consulta respecto a este caso ¿Está en discusión la existencia de la "función raíz cúbica de -1" o del número "raíz cúbica de -1"? Desde ya muchas gracias.

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola,

La función "raíz cúbica" existe y su dominio es todo R. Luego, existe el "número raíz cúbica de -1", que es lo mismo que la "función raíz cúbica evaluada en -1" (y que es -1).

Lo que está en discusión es la existencia de "-1 elevado a la 1/3".

Muchas veces se toma a "raíz cúbica de x" como sinónimo de "x elevado a la 1/3". Yo afirmo que esa identificación es errónea. Sí vale para x > 0, pero falla para x < 0.

En resumen: existe la raíz cúbica de -1, pero no existe -1 elevado a la 1/3 (si es que se quiere que la matemática sea coherente).

Un saludo!

ErnestoUBAarg dijo...

Muchas gracias por despejar mi duda! Es uno de los casos de abuso de notación que se da con las potencias. El blog está muy bueno, estuve viendo varios posteos y son muy interesantes, sobre todo para aquellos que empezamos la licenciatura en Matemática y queremos escudriñar un poco más. Suerte!