Sea a un número real positivo. La raíz enésima de un número real positivo a, es otro número b, tal que b^n = a.
Existen n raíces enésimas (todas distintas) de a. Entre ellas, habrá una única positiva, llamémosla c. Las demás raíces vienen dadas por c·e^(2·pi·i.K/n).
Es decir, las raíces de un número son un conjunto de valores que cumplen una determinada propiedad, eso no quiere decir que puedas tomar cualquiera de esos valores indistintamente sólo por el hecho de compartir esa propiedad.
¿a qué te refieres cuando escribes 8^(2/6)? ¿A cualquiera de las seis raíces sextas de 8 o reservas esa notación para su única raíz sexta real positiva? Mientras no se aclare esto, es inútil seguir con este tema.
dado el alto nivel al que nos tiene acostumbrados este blog (del cual soy fiel seguidor y admirador) pensaba que todos dominábamos la ortografía matemática. Por eso mis comentarios hasta ahora han ido en otra linea. Pero veo que en esta ocasión, se trata de eso, de una cuestión ortográfica.
Como todos sabemos, en matemáticas, un número puede ser representado por muchas expresiones (no ecuaciones), combinando otros números, símbolos y operadores.
En nuestro caso, el número 2, puede representarse como 1+1, 2·3-4, (2+4)/3, Log 100, etc.. Ahora bien, cada expresión representa a un ÚNICO número. Por tanto, se conviene que si a es un real positivo, la expresión a^(1/n) representa a la ÚNICA raíz enésima real positiva de a. Caso de que n sea para, se antepone un signo menos (-) para representar a la ÚNICA raíz real negativa de a. Del mismo modo, a ^(m/n) representará a la única raíz real positiva de a^m y -a ^(m/n) para la única raíz real negativa de a, caso de que exista.
En estos términos 8^(2/6), equivale a 64^(1/6) que es 2 y sólo 2.
Debería poner en el enunciado: "8^(2/6) = raíz sexta real positiva de 64 = 2" en lugar de "8^(2/6) = raíz sexta de 64 = 2"
Siguiendo tus propias notaciones, 8^(2/6) es Pot(8,2/6).
La contradicción que surge de tomar un doble valor para la raíz sexta (o para cualquier otra raíz de índice par) es palmaria y evidente. Pero, estimado Borja, como ya te he dicho en otras ocasiones (aparentemente sin éxito), no tienes ninguna obligación de seguir mi mismo camino matemático. Con toda sinceridad te digo que si es de tu gusto decir que raíz sexta de 64 toma dos valores y no te molesta "convivir" con esa contradicción, eres libre de hacerlo, no seré yo quien se oponga.
Has escrito: "Mientras no se aclare esto, es inútil seguir con este tema"
¿Inútil para quién? ¿Necesito tu permiso para seguir con el tema? ¿Debo ajustarme a tus condiciones para poder seguir escribiendo?
No intento imponer nada a nadie, y si lo que escribo no te gusta, o estás en absoluto desacuerdo, siempre tienes la opción de no leerlo. Yo simplemente me limito a exponer mi pensamiento sin esperar, como dije antes, imponérselo a nadie.
En ningún momento he dicho que raíz sexta tome dos valores. He dicho, que existen 6 raíces sextas de cualquier número, todas diferentes, pero que se suele tomar la expresión "raíz sexta" para expresar la única raíz sexta real positiva y "menos raíz sexta" para la única real negativa.
Ahora, intentaré responder a tus preguntas:
1º ¿Inútil para quién? Omití la coletilla "para mí", pero acostumbro a hablar en primera persona.
2º No necesitas mi permiso para seguir con el tema, ¿qué te hace pensar tal disparate?
3º No de bes ajustarme a mis condiciones para escribir nada, ¿por qué piensas eso?
Por último,como he dicho muchas veces, me encanta este blog y lo único que hago es intentar responder a los retos que su autor (al cual admiro) va presentando. Quizá esté equivocado y este sea un blog de "sólo lectura", pues no es lo primera vez que siento que mis respuestas no son muy bien acogidas.
Pregunto: en la función f(x)=x^(1/2) debo restringir el codominio para no tener dos imágenes distintas de un mismo x?
Creo que está más que claro que el problema de borja y de algún otro que dijo lo mismo viene de problemas de formación básicos, y digo esto sin ánimo de ofender.
Simplemente uno aprendió algo y lo guardó en la estructura mental como una verdad a la que no debe volver, porque ES ASI. Uno hace eso con otras cosas, como por ejemplo el fuego. Uno se puede quemar una vez y luego aprende para toda la vida, no debe pensar cada vez el por qué no debe tocar el fuego.
El problema es que a veces uno aprende mal, por culpa de los educadores, y toma como verdadero algo falso y cuesta mucho deshacerse de ese concepto.
La definición de raiz enésima es simple e indiscutible en R: "raiz enésima de a es el número b, positivo, tal que elevado a n, es a"
Nosotros siempre usamos una fórmula, la famosa fórmula resolvente para encontrar las raíces de una cuadrática. Si la raíz cuadrada tuviera dos soluciones en R, no tendría sentido poner el "más menos" antes de la raíz en dicha fórmula, ¿verdad? sería redundante ya que esa raíz ya tendría dos resultados, uno positivo y uno negativo (bastaría con poner un más o un menos en vez de "masmenos". Es un detalle que quizás ya habrán notado, pero como seguí esa discusión me pareció que es interesante notarlo. (Pablo).
6 comentarios:
Sea a un número real positivo. La raíz enésima de un número real positivo a, es otro número b, tal que b^n = a.
Existen n raíces enésimas (todas distintas) de a. Entre ellas, habrá una única positiva, llamémosla c. Las demás raíces vienen dadas por c·e^(2·pi·i.K/n).
Es decir, las raíces de un número son un conjunto de valores que cumplen una determinada propiedad, eso no quiere decir que puedas tomar cualquiera de esos valores indistintamente sólo por el hecho de compartir esa propiedad.
¿a qué te refieres cuando escribes 8^(2/6)? ¿A cualquiera de las seis raíces sextas de 8 o reservas esa notación para su única raíz sexta real positiva?
Mientras no se aclare esto, es inútil seguir con este tema.
Hola de nuevo,
dado el alto nivel al que nos tiene acostumbrados este blog (del cual soy fiel seguidor y admirador) pensaba que todos dominábamos la ortografía matemática. Por eso mis comentarios hasta ahora han ido en otra linea. Pero veo que en esta ocasión, se trata de eso, de una cuestión ortográfica.
Como todos sabemos, en matemáticas, un número puede ser representado por muchas expresiones (no ecuaciones), combinando otros números, símbolos y operadores.
En nuestro caso, el número 2, puede representarse como 1+1, 2·3-4, (2+4)/3, Log 100, etc..
Ahora bien, cada expresión representa a un ÚNICO número. Por tanto, se conviene que si a es un real positivo, la expresión a^(1/n) representa a la ÚNICA raíz enésima real positiva de a. Caso de que n sea para, se antepone un signo menos (-) para representar a la ÚNICA raíz real negativa de a. Del mismo modo, a ^(m/n) representará a la única raíz real positiva de a^m y -a ^(m/n) para la única raíz real negativa de a, caso de que exista.
En estos términos 8^(2/6), equivale a 64^(1/6) que es 2 y sólo 2.
Debería poner en el enunciado: "8^(2/6) = raíz sexta real positiva de 64 = 2" en lugar de "8^(2/6) = raíz sexta de 64 = 2"
Hola Borja,
Siguiendo tus propias notaciones, 8^(2/6) es Pot(8,2/6).
La contradicción que surge de tomar un doble valor para la raíz sexta (o para cualquier otra raíz de índice par) es palmaria y evidente. Pero, estimado Borja, como ya te he dicho en otras ocasiones (aparentemente sin éxito), no tienes ninguna obligación de seguir mi mismo camino matemático. Con toda sinceridad te digo que si es de tu gusto decir que raíz sexta de 64 toma dos valores y no te molesta "convivir" con esa contradicción, eres libre de hacerlo, no seré yo quien se oponga.
Has escrito:
"Mientras no se aclare esto, es inútil seguir con este tema"
¿Inútil para quién? ¿Necesito tu permiso para seguir con el tema? ¿Debo ajustarme a tus condiciones para poder seguir escribiendo?
No intento imponer nada a nadie, y si lo que escribo no te gusta, o estás en absoluto desacuerdo, siempre tienes la opción de no leerlo. Yo simplemente me limito a exponer mi pensamiento sin esperar, como dije antes, imponérselo a nadie.
Un saludo,
G.P.
Hola de nuevo,
En ningún momento he dicho que raíz sexta tome dos valores. He dicho, que existen 6 raíces sextas de cualquier número, todas diferentes, pero que se suele tomar la expresión "raíz sexta" para expresar la única raíz sexta real positiva y "menos raíz sexta" para la única real negativa.
Ahora, intentaré responder a tus preguntas:
1º ¿Inútil para quién? Omití la coletilla "para mí", pero acostumbro a hablar en primera persona.
2º No necesitas mi permiso para seguir con el tema, ¿qué te hace pensar tal disparate?
3º No de bes ajustarme a mis condiciones para escribir nada, ¿por qué piensas eso?
Por último,como he dicho muchas veces, me encanta este blog y lo único que hago es intentar responder a los retos que su autor (al cual admiro) va presentando. Quizá esté equivocado y este sea un blog de "sólo lectura", pues no es lo primera vez que siento que mis respuestas no son muy bien acogidas.
Pregunto: en la función f(x)=x^(1/2) debo restringir el codominio para no tener dos imágenes distintas de un mismo x?
Creo que está más que claro que el problema de borja y de algún otro que dijo lo mismo viene de problemas de formación básicos, y digo esto sin ánimo de ofender.
Simplemente uno aprendió algo y lo guardó en la estructura mental como una verdad a la que no debe volver, porque ES ASI. Uno hace eso con otras cosas, como por ejemplo el fuego. Uno se puede quemar una vez y luego aprende para toda la vida, no debe pensar cada vez el por qué no debe tocar el fuego.
El problema es que a veces uno aprende mal, por culpa de los educadores, y toma como verdadero algo falso y cuesta mucho deshacerse de ese concepto.
La definición de raiz enésima es simple e indiscutible en R: "raiz enésima de a es el número b, positivo, tal que elevado a n, es a"
Cualquier variante es un error.
Nosotros siempre usamos una fórmula, la famosa fórmula resolvente para encontrar las raíces de una cuadrática. Si la raíz cuadrada tuviera dos soluciones en R, no tendría sentido poner el "más menos" antes de la raíz en dicha fórmula, ¿verdad? sería redundante ya que esa raíz ya tendría dos resultados, uno positivo y uno negativo (bastaría con poner un más o un menos en vez de "masmenos".
Es un detalle que quizás ya habrán notado, pero como seguí esa discusión me pareció que es interesante notarlo. (Pablo).
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