30.8.11

¿Raíz cúbica?

Como todos sabemos, $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$. Por lo tanto, $(-1)^{\frac{1}{3}} = (-1)^{\frac{2}{6}}$. Tenemos así que:

$-1=\sqrt[3]{-1}=(-1)^{\frac{1}{3}}=(-1)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{(-1)^2}=
\sqrt[6]{1}=1$

Luego, -1 = 1.

Nota: Todas las igualdades deben entenderse en el contexto de los números reales. En ese contexto, la raíz sexta de un número positivo a se define como el único número positivo b tal que $b^6 = a$. Por lo tanto, la raíz sexta de $(-1)^2$, que es la raíz sexta de 1, vale 1.

Sigue aquí.

22 comentarios:

Anónimo dijo...

Pregunto, si queda raiz sexta de menos uno al cuadrado... podriamos "simplificar" o el viejo y conocido, "tacho, tacho" osea, divido el 6 de la raiz por dos y el exponente por 2 y me quedaria raiz cubica de -1

Paco Moya dijo...

Sí, pero raíz 6ª de 1 es también -1, eso pasa por olvidar que una raíz tiene tantas soluciones como su índice.

Borja dijo...

Todo parte de que siendo estrictos 1/3 no es lo mismo que 2/6. Lo que sí es cierto es que representan al mismo número racional.

Como todos sabemos, existen n raíces enésimas de la unidad, todas diferentes, dadas por e^(2Pi·i·k/n), de las cuales a lo sumo dos serán reales (y opuestas) y el resto complejas. Se suele reservar la notación exponencial para estas raíces reales. Para (-1)^(1/3) no hay ambigüedad pues sólo tiene una raíz real, que es -1.

Lo que ocurre aquí es que al poner como exponente la fracción equivalente (no igual) multiplicamos por dos el número de raíces, pasando ahora a tener 6, entre ellas el 1. Se reserva la notación (-1)^(2/6) para el 1 y -(-1)^(2/6) para el -1.

Espero haberme explicado.

Gustavo Piñeiro dijo...

Sobre el primer comentario: como dice la "nota" escrita en la entrada original (agregada posteriormente), la raíz sexta de (-1)^2 es 1. Si admitiéramos el "tacho tacho" tendríamos otra forma de demostrar que -1 = 1.

Sobre el segundo comentario, el de Paco Moya, por definición, la raíz sexta es positiva. Raíz sexta de 1 sólo vale 1, no -1. (Lo mismo para la raíz cuadrada, cuarta, etc.)

Sobre el tercer comentario, como se dice en la entrada, sólo cuentan los números reales. La igualdad está planteada en R. En C, en efecto, la situación es diferente, ya que allí sí hay seis raíces sextas de la unidad. Pero en R hay una sola.

En R, por lo tanto, vale que -1 = 1... o bien, hay un error en el argumento expuesto en la entrada, error que, en mi opinión, aún nadie ha expuesto.

Gustavo Piñeiro dijo...

Para evitar trampas lingüísticas... En el comentario anterior dije que en C hay seis raíces sextas de la unidad, pero que en R hay una sola. Leída con mala fe, la frase parece enunciar una falsedad. Aclaro:

La definición que se da en R para la raíz sexta implica que 1 tiene una única raíz sexta en R, que es 1.

La definición que se da en C para la raíz sexta (y que es diferente de la que se da en R) implica que 1 tiene seis raíces sextas en C, dos de las cuales (1 y -1) son reales. Pero esto no debe confundirse con lo dicho en el párrafo anterior: la "raíz sexta en R" de 1 es solamente 1.

Borja dijo...

Hola de nuevo, cuando escribí mi comentario, no estaba la Nota en el enunciado.
Con esta nota, se tiene que la raíz sexta de un número positivo es siempre un número positivo (por definición) y por otro lado, necesariamente la raíz cúbica de un número negativo ha de ser un número negativo.
En estos términos, es evidente que la tercera igualdad del enunciado es absolutamente falsa, me refiero a (-1)^(1/3) = (-1)^(2/6) ya que el primer miembro es un número negativo y el segundo un número positivo.
Para que estuviera bien, el segundo miembro debería llevar un signo menos, es decir:

(-1)^(1/3) = -(-1)^(2/6) con lo que tendríamos que -1 = -1

Paco Moya dijo...

Querido Gustavo. En R todo número positivo tiene 2 raíces sextas reales. No confundamos notación con definición. La notación dice que si te encuentras con el símbolo de la raíz (cuadrada) tomes la solución positiva. La definición de raíz es: el número b es raíz enésima de el número a si b^n es a. Dos soluciones en caso de la raíz cuadrada.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Paco,

Lamento decir que estás equivocado. Todo número real positivo tiene una única raíz cuadrada, una única raíz cuarta y, por supuesto, una única raíz sexta. Positivas en todos los casos.

Un saludo cordial,

G.P.

Borja dijo...

He de decir que estoy absolutamente de acuerdo con Paco Moya en que esa es la definición más extendida y aceptada de raíz, de lo que se deduce que todo real positivo tiene n raíces n-ésimas, de las cuales, a lo sumo dos serán reales (y en ese caso opuestas). No entiendo por qué y en qué está equivocado.

¿nos lo podrías aclarar?

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Borja,

Creo que he sido claro o, en todo caso, no puedo serlo más. Basta con que releas los comentarios previos.

Un saludo,

Anónimo dijo...

Disculpe, pero si yo tengo raiz sexta de (-1)^2 = raiz 6/2 de (-1)^2/2 = raiz cubica de -1 ...
Aunque se no es el eje de la conversacion, ya que la idea, si no entendi mal, es dilucidar el por que -1=1 siguiendo una serie de pasos logicos...
Para mi el error radica en suponer que el pasaje de un tercio a dos sextos es equivalente o valido para todo numero real, ya que esto se cumpliria solo en los positivos... En el caso de los reales negativos recaeriamos en el mismo error...
Ejemplo
-3^(1/3) = -3^(2/6)
raiz cubica de -3 evidentemente es un numero negativo y -3^(2/6) es igual a raiz sexta de 9 el cual es positivo...

PG dijo...

El error está en el comienzo:
"Por lo tanto, (-1)^(1/3) = (-1)^(2/6)" Esta afirmación es falsa. ¿Cómo llega a esa igualdad partiendo de 1/3 = 2/6? Lo da por supuesto así sin más. Tanscríbame los pasos que ha realizado y le diré cuál es su error.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado PG,

La justificación es ésta:

Si F(x) es una función cuyo dominio es un subconjunto de R, y a y b son números reales tales que a = b, entonces F(a) = F(b).

En el caso presente, F(x) = (-1)^x, a = 1/3 y b = 2/6. Como 1/3 = 2/6 (en tanto que números reales) entonces (-1)^(1/3) = (-1)^(2/6).

Un saludo,

G.P.

PG dijo...

Sucede que esa no es una función válida de la manera que está definida:
Si X=1/2 o 1/4 o 1/6, etc, no hay solución. Las raices de orden par sólo pueden definirse para los reales positivos. Para que haya solución, debe ampliarse la definición hacia los números complejos.
Saludos,

PG dijo...

Para completar lo dicho, recuerdo que en el caso de un número negativo si el exponente no es un número entero, la potencia sólo existe en el caso de que sea una fracción irreducible con denominador impar. Es decir que en el caso que nos presenta, existe solución para 1/3, pero no para 2/3.
No sé si ha quedado correctamente explicado. Ya dirá Ud Piñeiro. Ciertamente, suelo equivocar mis razonamientos. Mis respetos, y gracias por su tarea de divulgación matemática, siempre de manera tan amena para nosotros los iniciados.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado PG,

Por lo que venías explicando en el comentario, supongo que habrás querido decir que no existe para 3/2. Y, en efecto, estamos de acuerdo en que (-1)^(3/2) no existe (recuerdo, como ya aclaré antes, que estamos hablando solamente de números reales).

En cuanto a (-1)^(1/3)... No debemos dejar que el árbol nos tape el bosque. Se habla de la "fracción 1/3", de la "fracción 2/6", y esa idea, la de fracción (el árbol de la metáfora) nos oculta el hecho de que 1/3, 2/6, 3/9, 0,333..., etc. son solamente representaciones de un mismo número racional. De la misma forma que 2 + 2 y 3 + 1 son dos representaciones del número 4.

Seguramente nadie dudará de que es correcto decir: "Dado que 2 + 2 = 4, entonces (-1)^(2 + 2) = (-1)^4".

De la misma forma (cito de memoria a Ricardo Noriega en su "Cálculo Diferencial e Integral"): "Al definir la potencia de exponente racional hay que verificar que el valor de la potencia no depende de la representación que se elija para el exponente". En otras palabras, dado que 1/3 = 2/6 entonces x^(1/3) debe ser igual a x^(2/6), porque no es la "fracción 1/3 en sí misma" lo que aparece en el exponente, sino 1/3 en tanto representación de un número racional (del mismo modo que antes para 2 + 2 y 4). Es por eso que, para evitar confusiones, en una entrada posterior pregunté por (-1)^0,333...

Un saludo,

G.P.

PD: Si 1/3 y 2/6 no fueran "intercambiables" entonces el siguiente cálculo estaría mal resuelto:

1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2

PG dijo...

Perfecto, gracias. Lindo barullo me armé la semana pasada. Al final la respuesta al problema era mucho mas simple.
Saludos,

Leonardo dijo...

La confusión, muy común, sobre la cantidad de raices cuadradas reales viene de una falla en la enseñanza.

Cuando se les enseña a los pobres estudiantes a resolver una ecuación cuadrática de la forma x^2-4=0, para no complicarse con el valor absoluto, prefieren confundir por otro lado. "Pasan" sumando el 4, luego "pasan" la potencia y les queda que x es la raiz de 4.

Para que el resultado sea correcto, les dicen "la raiz cuadrada tiene dos soluciones" y ponen el 2 y el -2. Y listo, confusión para toda la vida.

Las dos soluciones a la raiz de 4 aparecen cuando queda |x|=2. Pero tal vez eso llega demasiado tarde.

Ronald Becerra dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Ronald Becerra dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
[GX] dijo...

¿Cuál es la definición que usa para la potencia con exponente racional?

[GX] dijo...

La definición que encontré en un libro es ésta:
${a}^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{{a}^{m}}\space si{\frac{m}{n}}\in {ℚ}^{+} \space y\space {a}\in {ℝ}^{+}. \space Si\space {a}<0,\space entonces\space existe\space {a}^{\frac{m}{n}}\space para\space n\space impar.$

Pero en el mismo libro dice que ${0}^{0}$ no existe (no de forma explícita), por eso quería saber cuál es la definición que usa. ¿Existe un lugar de donde los matemáticos saquen las definiciones (una base de datos)?