Falacias y confusiones (1 – Primera parte)

(A "Falacias y confusiones 1 - Segunda parte")

Inicio con ésta una serie (potencialmente infinita) de entradas dedicadas a comentar diversas falacias y confusiones que pueden (y suelen) aparecer en el transcurso de un razonamiento. En la mayoría de los casos, aunque no excluyentemente, se tratará de un razonamiento de tipo matemático.

¿Qué es una falacia? Una falacia es un error que invalida un razonamiento. ¿Qué significa esto exactamente? La lógica nos garantiza que si partimos de premisas verdaderas y razonamos de manera correcta (es decir, nuestro razonamiento es válido) entonces nuestras conclusiones serán verdaderas.

Si el razonamiento es falaz (es decir, si contiene errores) entonces no tenemos ninguna garantía de que la conclusión que obtengamos sea verdadera (podría serlo de todos modos, ya que es posible que un razonamiento falaz llegue, de pura casualidad, a una conclusión verdadera, pero no tenemos ninguna garantía acerca de la verdad de la conclusión).

Un ejemplo de falacia puede verse aquí, otros ejemplos se verán, por supuesto, en la serie de entradas que aquí se inicia.

En general las entradas tendrán la forma de un diálogo entre dos personajes ficticios: Fabián (con F de falso o de falacia) y Victoria (con V de verdad o de validez). Normalmente Fabián expondrá un razonamiento y Victoria tratará de convencerlo que de que ha incurrido en algún error (objetivo que no siempre le resultará fácil de alcanzar).

Desde hace mucho tiempo (casi desde los inicios de este blog) tengo la intención de realizar este proyecto, pero (como sucede tantas veces) el inicio siempre quedaba “para más adelante”. Hace unos días, finalmente, decidí darme el tiempo para comenzarlo; me motivó a ello una situación en la que, involuntariamente, me tocó jugar el papel que más arriba le atribuyo a Victoria.

El diálogo que surgió en esa ocasión (aunque no sé si “diálogo” es la palabra aplicable en ese caso) puede verse aquí. Este primer diálogo entre Victoria y Fabián es una glosa y recapitulación de aquél otro. (Lo que aquí se lee también se relaciona con él.)

Como este primer diálogo entre Victoria y Fabián es bastante extenso (las falacias a analizar son muchas), lo dividiré en varias partes. Aquí comienza la primera:

Un teorema de Geometría (extraoficialmente bautizado como el Teorema de Pasin)

(Salteamos los preliminares en los que Fabián y Victoria se saludan.)

Fabián: Encontré en la red este teorema, que llaman “de Pasin”. Dice así: si a, b, c, d son los vértices de un cuadrilátero cualquiera entonces hay por lo menos un cuadrado cuyos lados, o sus prolongaciones, pasan por esos cuatros puntos (un lado, o prolongación, por cada punto diferente). Además agregué por mi cuenta la siguiente pregunta ¿cuántos de estos cuadrados hay en total?

Victoria: Interesante ¿Daban una demostración?

F: No miré, pero busqué una demostración por mí mismo. [Nota: en realidad sí dan una demostración, que se parece bastante a la de Fabián.]

V: ¡Muy bien! ¿Cómo es?

F: Miremos este dibujo:

Los puntos a, b, c, d son los vértices del cuadrilátero cualquiera. Realizamos entonces estas construcciones:

1) Trazamos los segmentos ab y bc. Llamamos a1 y c1 a los puntos medios de ab y bc respectivamente.

2) Trazamos el segmento que une a1 con c1 y agregamos los segmentos que faltan para completar un cuadrado. Llamamos a2 y c2 a los otros dos vértices de ese cuadrado.

3) Trazamos la recta que pasan por a y a2, y la recta que pasa por c y c2. Llamamos x al punto de intersección de ambas.

4) Trazamos la recta que pasa por d y x. Ésta es una de las rectas que determinan el cuadrado buscado, las otras tres se completan fácilmente.

En realidad, hay dos cuadrados que se pueden trazar a partir del segmento a1 c1, ambos simétricos con respecto a ese mismo segmento. Obtenemos así en realidad dos cuadrados.

Si tomamos los segmentos ac y cb obtenemos otros dos cuadrados, los segmentos ca y ab nos dan otros dos. Es decir, usando los puntos a, b, c tenemos ocho cuadrados. Otros ocho salen de los puntos a, b, d, y otros ocho de b, c, d. En total hay 24 cuadrados que pasan por a, b, c, d. Fin de la demostración. ¿Qué te parece?

Continuará... [Mientras tanto los lectores pueden iniciar por su cuenta la búsqueda de falacias.]

Adenda: La mayoría de la gente incurre en falacias actuando de buena fe. No es que intenten engañar a nadie, sino que, simplemente, se equivocan. Por eso no debe creerse que Fabián es "malo" y que Victoria es "buena". Ambos actúan de buena fe, sólo que Fabián es un muchacho inexperto que a veces se equivoca y Victoria trata de de ayudarlo a entender sus errores. Lo único que podremos alguna vez criticarle a Fabián es su afán en perseverar en el error. (Alguna otra gente sí usa las falacias para engañarnos, también nos ocuparemos de eso más adelante.)

(A “Falacias y confusiones 1 – Segunda parte”)