(La idea de esta entrada me fue sugerida por ram27, un corresponsal que suele escribirme en inglés cuestiones sobre números primos y de quien no sé casi nada más aparte de lo que acabo de decir.)
Para cada número primo p > 2, llamemos S(p) a la suma de los restos que se obtienen al dividir a p por todos los primos menores que él.
Por ejemplo, si p = 7 los primos menores que él son 2, 3, 5, los restos son 1, 1, 2 respectivamente y entonces S(7) = 1 + 1 + 2 = 4.
Otros ejemplos:
S(3) = 1
S(5) = 3
S(7) = 4
S(11) = 8
S(13) = 13
S(17) = 18
El 13 es un caso curioso, ya que S(13) = 13. A partir de 17 parece que S(p) es siempre mayor que p por lo que 13 sería el único primo p tal que S(p) = p. Hasta aquí la observación de ram27.
Quise llevar la cuestión un poco más lejos e hice la siguiente reflexión: parece evidente (si uno hace algunos ejemplos) que, en efecto, S(p) = p solamente para p = 13. Ahora bien ¿cuántas veces sucederá que S(p) es un múltiplo de p?
Una búsqueda a pura fuerza bruta muestra que entre los primos menores que 20.000, S(p) es múltiplo de p solamente para 13, 167 y 2239.
Me pregunto y les pregunto ¿habrá algún primo p mayor que 2239 para el cual S(p) es múltiplo de p? Y si hay alguno mayor que 2239 entonces ¿habrá infinitos primos p tales que S(p) es múltiplo de p?
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