Ni verdadero, ni falso (Parte 3 de 3)

(A la parte 2)

Verdad y mentira

Volvamos ahora al terreno de la lógica y preparémonos para afrontar el desafío de hallar una solución positiva para la paradoja del mentiroso. Observemos en primer lugar las siguientes frases a las cuales, para abreviar, llamaremos frase P y frase Q.

P = “Dos más dos es cuatro”.
Q = “La frase P es falsa”.

Tenemos frases, como P, que se refieren a cuestiones aritméticas. Por otro lado tenemos frases, como Q, que se refieren a otras frases. Concretamente, la frase Q se refiere a P. Hasta aquí no hay conflicto, la frase P es verdadera y la frase Q es falsa (ya que afirma erróneamente que P es falsa).

Una abreviatura comúnmente usada consiste en simbolizar la veracidad de una frase con el número 1 y su falsedad con el número 0. Diremos entonces que una frase verdadera tiene valor de verdad 1 y que una frase falsa tiene valor de verdad 0. Si llamamos “x” al valor de verdad de la frase P e “y” al valor de verdad de la frase Q, entonces x = 1 e y = 0.

Pasemos a considerar ahora un nuevo sistema de frases:

P = “Dos más dos es cinco”.
Q = “La frase P es falsa”.

Si adoptamos las mismas notaciones que en el ejemplo anterior (x = valor de verdad de la frase P; y = valor de verdad de la frase Q), entonces x = 0 (P es falsa) e y = 1 (Q es verdadera).

Es importante notar que si P es una frase cualquiera cuyo valor de verdad es “x” y Q, cuyo valor de verdad llamaremos “y”, es la frase que afirma que P es falsa, entonces entre “x” e “y” se verifica siempre la siguiente relación: y = 1 – x.

Ataquemos, ahora sí, el problema de la paradoja del mentiroso. Para ello pasemos a considerar la frase R:

R = “Esta frase es falsa”

Que podemos rescribir:

R = “R es falsa”

Según hemos visto, esta frase no puede ser considerada ni verdadera ni falsa. En otras palabras, no se le puede asignar de modo coherente el valor de verdad 0 ni el valor de verdad 1. La solución negativa, según vimos, consiste simplemente en no considerarla una frase admisible. Para hallar la solución positiva a este problema, debemos dejarnos guiar por el desarrollo que hemos esbozado en el ejemplo de las ecuaciones cuadráticas. Cuando el conjunto de los números reales resultó insuficiente para dar solución a todas las ecuaciones, se creó el conjunto de los números complejos. Éste contiene y amplía el conjunto de los números reales y permite hallar solución para todas las ecuaciones cuadráticas.

Nuestra propuesta para resolver la paradoja del mentiroso consiste en actuar ahora de modo similar. Si el conjunto {0,1} es insuficiente para dar un valor de verdad a la frase R entonces ampliaremos el espectro de los valores de verdad posibles. Admitiremos como posible que una frase tenga como valor de verdad cualquier número real entre 0 y 1. En consecuencia, además de frases con valor de verdad 0 o 1, tendremos también frases con valor de verdad 0,5 o 0,23. La lógica tradicional se mueve en un rígido marco donde sólo son admisibles la verdad absoluta y la falsedad absoluta. Se trata ahora de introducir una lógica de “grises” o, como suele decirse, una lógica “borrosa” en la que tengan cabida expresiones como “a medias verdadero” o “casi cierto”.

Esbozo de un sistema

Hemos planteado la idea global de nuestra solución para la paradoja del mentiroso. Esta solución consiste en ampliar el espectro de valores de verdad posibles para dar cabida a todos los valores intermedios entre 0 y 1. Sin embargo, para que esta solución resulte admisibles y útil, la asignación de valores de verdad debe hacerse de modo coherente y sistemático. Abusando una vez más de la analogía con las ecuaciones cuadráticas observemos que los números complejos resultan útiles porque tienen una estructura, es decir, hay reglas que nos dicen cómo operar con ellos. Del mismo modo, necesitamos una forma estructurada de trabajar con la lógica borrosa de las frases autorreferentes.

Para comenzar a estudiar este método de trabajo, volvamos la frase:

R = “Esta frase es falsa”.

Que también hemos escrito:

R = “R es falsa”.

Recordemos que si i P es una frase con valor de verdad “x” y Q (cuyo valor de verdad llamamos “y”) es la frase que afirma que P es falsa entonces y = 1 – x.

Llamemos “z” al valor de verdad de la frase R. Si Q fuera la afirmación “R es falsa” entonces y = 1 - z. Ahora bien, “R es falsa” es justamente la afirmación que hace la propia frase R; luego Q = R. Por lo tanto z = 1 – z. Entonces z = 0,5. La frase “Esta frase es falsa” tendrá, en nuestra lógica borrosa, un valor de verdad de 0,5.

Queda esbozado de esta manera el método general para trabajar con frases autorreferentes. A cada una de estas frases le corresponderá una ecuación y el valor de verdad de la frase se obtendrá simplemente resolviendo dicha ecuación. Para construir la ecuación que corresponde a la frase “Esta frase es falsa” hemos observado qué relación aritmética existe entre el valor de verdad de la frase P y el valor de verdad de la frase Q = “P es falsa”.

Un estudio aritmético similar permite asignar valores de verdad a otras frases autorreferentes. Como nuevo ejemplo analicemos la frase “Esta frase es verdadera y falsa”. Debido a su condición de autorreferente la lógica tradicional relegaría a esta frase al limbo de las pseudofrases carentes de significado. Veamos qué tiene que decir al respecto la lógica borrosa.

Llamemos S a la frase “Esta frase es verdadera y falsa”. Es decir:

S = “Esta frase es verdadera y falsa”.

Que podemos rescribir como:

S = “S es verdadera y falsa”. (*)

Sea “w” el valor de verdad de la frase S.

Supongamos que tuviésemos una frase P (con valor de verdad “x”) y una frase Q (con valor de verdad “y”) y que construimos con ellas la frase R:

R = “P es verdadera y Q es falsa”. (**)

Si “z” es el valor de verdad de la frase R, entonces el lector podrá verificar fácilmente que entre los valores “x”, “y”, “z” existe la siguiente relación:

z = x(1 – y) (***)

En el caso de la frase S, ella misma juega el papel de P, Q y R simultáneamente. En efecto, si en (**) se sustituyen P, Q y R por S entonces se obtiene (*). Realizando en (***) la operación análoga, es decir, sustituyendo “x”, “y”, “z” por “w”, obtenemos:

w = w(1 – w)

Esta es la ecuación que corresponde a la frase S. El lector podrá verificar fácilmente que la única solución de esta ecuación es w = 0. Por lo tanto la frase S es falsa.

Es interesante acotar que si hiciéramos para la frase “Esta frase es verdadera y falsa” un análisis similar al que hicimos al inicio de la primera parte para “Esta frase es falsa” llegaríamos exactamente a la misma conclusión.

Aunque no hemos desarrollado sistemáticamente el método de la lógica borrosa de frases autorreferentes, confiamos en que los ejemplos aquí expuestos servirán para que el lector se haga una clara idea del funcionamiento del mismo.

Bibliografía:

N. Falleta; Paradojas y juegos - Ed. Gedisa, México, 1989.
P. Hughes - G. Brecht; Círculos viciosos y paradojas; Juegos & Co. Buenos Aires, 1994.

A. Kaufmann; Introducción a la teoría de los subconjuntos borrosos; Editorial continental; México, 1982.

R. Smullyan; ¿Cómo se llama este libro? ; Ediciones Cátedra; Madrid, 1991.

(A la parte 2)