Ni verdadero, ni falso (Parte 2 de 3)

(A la parte 1 - A la parte 3)

Números complejos

Salgamos por un momento del ámbito de la pura lógica y entremos en el mundo de las ecuaciones cuadráticas. Consideremos como primer ejemplo la ecuación: x^2 - 4x + 4 = 0. En la que “x” simboliza algún número real desconocido y x^2 es ese número al cuadrado.

Como es bien sabido, para resolver la ecuación hay que hallar todos los números reales que reemplazados por “x” dejan una correcta igualdad numérica. En el ejemplo precedente x = 2 resulta ser la única solución de la ecuación. Podemos decir que a la ecuación x^2 - 4x + 4 = 0 le corresponde el número 2.

Analicemos un nuevo ejemplo: x^2 - 3x + 2 = 0. A diferencia de la precedente, esta ecuación tiene dos soluciones. En efecto, “x” puede ser reemplazada por x = 1 o x = 2 y en ambos casos se obtendrá una igualdad correcta. A la ecuación x^2 - 3x + 2 = 0 le corresponden entonces dos números reales: 1 y 2.

Veamos todavía un tercer ejemplo: x^2 + 1 = 0. Como el lector podrá verificar fácilmente, a diferencia de las dos anteriores, esta ecuación no tiene soluciones reales. A esta ecuación no le corresponde ningún número real. ¿Cómo debemos tratar esta situación? ¿Cómo podemos admitir la existencia de ecuaciones sin solución? ¿No sería preferible que a toda ecuación le correspondiera al menos un número? Una posibilidad sería adoptar la “solución negativa” y considerar que las ecuaciones que no tienen solución (es decir, las ecuaciones que no representan ningún número) son “pseudoecuaciones”, expresiones carentes de significado y que deben ser excluidas de la teoría (1).

Todas las ecuaciones “aceptables” quedarían entonces dentro del seguro cerco de la resolubilidad y las demás serían relegadas al limbo de las pseudoecuaciones. La solución que los matemáticos han adoptado para esta situación es, en cambio, completamente diferente. La solución consiste en ampliar el conjunto de los números existentes mediante la creación un nuevo conjunto numérico: el conjunto de los números complejos (2). Este conjunto, que contiene dentro de sí mismo al viejo conjunto de los números reales, permite resolver todas las ecuaciones cuadráticas.

Es importante destacar que las ecuaciones cuadráticas con coeficientes reales que tenían soluciones reales no ganan ni pierden nada con la ampliación del sistema de números.
La “solución negativa” encerraría a las ecuaciones con soluciones reales dentro del seguro cerco de la resolubilidad y dejaría fuera a todas las demás.

La “solución positiva”, en cambio, amplía el conjunto de los números existentes y nos permite estudiar en pie de igualdad todas las situaciones. Incidentalmente los números complejos han resultado ser una herramienta matemática tan poderosa (en campos completamente alejados de las cauciones cuadráticas) que hoy en día a nadie se le ocurriría prescindir de ellos. Las soluciones positivas crean nuevas formas para resolver problemas. Las negativas en cambio se reducen a definir cuidadosamente el campo de acción con el fin de evitar las situaciones conflictivas. Las soluciones positivas atacan de frente el problema y resultan mucho más estimulantes para la imaginación, son más creativas y motivadoras.

Una ventaja adicional de las soluciones positivas es que las nuevas respuestas que hallemos en un área pueden resultar útiles también para la resolución de problemas completamente alejados de la cuestión original.

Notas:

(1) Niels Abel tenía una opinión similar acerca de las series divergentes. El “anatema de Abel” (1828) dice: “Las series divergentes son una invención del diablo y es vergonzoso que haya quien se base en ellas al hacer cualquier demostración. ”

(2) Los números complejos se definen como expresiones de la forma a + bi, donde a y b son números reales e “i” es un símbolo con la propiedad de que i^2 = -1.

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