15.2.07

Ni verdadero, ni falso (Parte 3 de 3)

(A la parte 2)

Verdad y mentira

Volvamos ahora al terreno de la lógica y preparémonos para afrontar el desafío de hallar una solución positiva para la paradoja del mentiroso. Observemos en primer lugar las siguientes frases a las cuales, para abreviar, llamaremos frase P y frase Q.

P = “Dos más dos es cuatro”.
Q = “La frase P es falsa”.

Tenemos frases, como P, que se refieren a cuestiones aritméticas. Por otro lado tenemos frases, como Q, que se refieren a otras frases. Concretamente, la frase Q se refiere a P. Hasta aquí no hay conflicto, la frase P es verdadera y la frase Q es falsa (ya que afirma erróneamente que P es falsa).

Una abreviatura comúnmente usada consiste en simbolizar la veracidad de una frase con el número 1 y su falsedad con el número 0. Diremos entonces que una frase verdadera tiene valor de verdad 1 y que una frase falsa tiene valor de verdad 0. Si llamamos “x” al valor de verdad de la frase P e “y” al valor de verdad de la frase Q, entonces x = 1 e y = 0.

Pasemos a considerar ahora un nuevo sistema de frases:

P = “Dos más dos es cinco”.
Q = “La frase P es falsa”.

Si adoptamos las mismas notaciones que en el ejemplo anterior (x = valor de verdad de la frase P; y = valor de verdad de la frase Q), entonces x = 0 (P es falsa) e y = 1 (Q es verdadera).

Es importante notar que si P es una frase cualquiera cuyo valor de verdad es “x” y Q, cuyo valor de verdad llamaremos “y”, es la frase que afirma que P es falsa, entonces entre “x” e “y” se verifica siempre la siguiente relación: y = 1 – x.

Ataquemos, ahora sí, el problema de la paradoja del mentiroso. Para ello pasemos a considerar la frase R:

R = “Esta frase es falsa”

Que podemos rescribir:

R = “R es falsa”

Según hemos visto, esta frase no puede ser considerada ni verdadera ni falsa. En otras palabras, no se le puede asignar de modo coherente el valor de verdad 0 ni el valor de verdad 1. La solución negativa, según vimos, consiste simplemente en no considerarla una frase admisible. Para hallar la solución positiva a este problema, debemos dejarnos guiar por el desarrollo que hemos esbozado en el ejemplo de las ecuaciones cuadráticas. Cuando el conjunto de los números reales resultó insuficiente para dar solución a todas las ecuaciones, se creó el conjunto de los números complejos. Éste contiene y amplía el conjunto de los números reales y permite hallar solución para todas las ecuaciones cuadráticas.

Nuestra propuesta para resolver la paradoja del mentiroso consiste en actuar ahora de modo similar. Si el conjunto {0,1} es insuficiente para dar un valor de verdad a la frase R entonces ampliaremos el espectro de los valores de verdad posibles. Admitiremos como posible que una frase tenga como valor de verdad cualquier número real entre 0 y 1. En consecuencia, además de frases con valor de verdad 0 o 1, tendremos también frases con valor de verdad 0,5 o 0,23. La lógica tradicional se mueve en un rígido marco donde sólo son admisibles la verdad absoluta y la falsedad absoluta. Se trata ahora de introducir una lógica de “grises” o, como suele decirse, una lógica “borrosa” en la que tengan cabida expresiones como “a medias verdadero” o “casi cierto”.

Esbozo de un sistema

Hemos planteado la idea global de nuestra solución para la paradoja del mentiroso. Esta solución consiste en ampliar el espectro de valores de verdad posibles para dar cabida a todos los valores intermedios entre 0 y 1. Sin embargo, para que esta solución resulte admisibles y útil, la asignación de valores de verdad debe hacerse de modo coherente y sistemático. Abusando una vez más de la analogía con las ecuaciones cuadráticas observemos que los números complejos resultan útiles porque tienen una estructura, es decir, hay reglas que nos dicen cómo operar con ellos. Del mismo modo, necesitamos una forma estructurada de trabajar con la lógica borrosa de las frases autorreferentes.

Para comenzar a estudiar este método de trabajo, volvamos la frase:

R = “Esta frase es falsa”.

Que también hemos escrito:

R = “R es falsa”.

Recordemos que si i P es una frase con valor de verdad “x” y Q (cuyo valor de verdad llamamos “y”) es la frase que afirma que P es falsa entonces y = 1 – x.

Llamemos “z” al valor de verdad de la frase R. Si Q fuera la afirmación “R es falsa” entonces y = 1 - z. Ahora bien, “R es falsa” es justamente la afirmación que hace la propia frase R; luego Q = R. Por lo tanto z = 1 – z. Entonces z = 0,5. La frase “Esta frase es falsa” tendrá, en nuestra lógica borrosa, un valor de verdad de 0,5.

Queda esbozado de esta manera el método general para trabajar con frases autorreferentes. A cada una de estas frases le corresponderá una ecuación y el valor de verdad de la frase se obtendrá simplemente resolviendo dicha ecuación. Para construir la ecuación que corresponde a la frase “Esta frase es falsa” hemos observado qué relación aritmética existe entre el valor de verdad de la frase P y el valor de verdad de la frase Q = “P es falsa”.

Un estudio aritmético similar permite asignar valores de verdad a otras frases autorreferentes. Como nuevo ejemplo analicemos la frase “Esta frase es verdadera y falsa”. Debido a su condición de autorreferente la lógica tradicional relegaría a esta frase al limbo de las pseudofrases carentes de significado. Veamos qué tiene que decir al respecto la lógica borrosa.

Llamemos S a la frase “Esta frase es verdadera y falsa”. Es decir:

S = “Esta frase es verdadera y falsa”.

Que podemos rescribir como:

S = “S es verdadera y falsa”. (*)

Sea “w” el valor de verdad de la frase S.

Supongamos que tuviésemos una frase P (con valor de verdad “x”) y una frase Q (con valor de verdad “y”) y que construimos con ellas la frase R:

R = “P es verdadera y Q es falsa”. (**)

Si “z” es el valor de verdad de la frase R, entonces el lector podrá verificar fácilmente que entre los valores “x”, “y”, “z” existe la siguiente relación:

z = x(1 – y) (***)

En el caso de la frase S, ella misma juega el papel de P, Q y R simultáneamente. En efecto, si en (**) se sustituyen P, Q y R por S entonces se obtiene (*). Realizando en (***) la operación análoga, es decir, sustituyendo “x”, “y”, “z” por “w”, obtenemos:

w = w(1 – w)

Esta es la ecuación que corresponde a la frase S. El lector podrá verificar fácilmente que la única solución de esta ecuación es w = 0. Por lo tanto la frase S es falsa.

Es interesante acotar que si hiciéramos para la frase “Esta frase es verdadera y falsa” un análisis similar al que hicimos al inicio de la primera parte para “Esta frase es falsa” llegaríamos exactamente a la misma conclusión.

Aunque no hemos desarrollado sistemáticamente el método de la lógica borrosa de frases autorreferentes, confiamos en que los ejemplos aquí expuestos servirán para que el lector se haga una clara idea del funcionamiento del mismo.

Bibliografía:

N. Falleta; Paradojas y juegos - Ed. Gedisa, México, 1989.
P. Hughes - G. Brecht; Círculos viciosos y paradojas; Juegos & Co. Buenos Aires, 1994.

A. Kaufmann; Introducción a la teoría de los subconjuntos borrosos; Editorial continental; México, 1982.

R. Smullyan; ¿Cómo se llama este libro? ; Ediciones Cátedra; Madrid, 1991.

(A la parte 2)

7 comentarios:

Vicente dijo...

una pequenia idea fuera de los esquemas rigurosos de la logica:
R: "Esta frase es falsa" les da un valor de 0.5 porque en realidad es parcialmente falsa
la parte verdadera de la frase es:
"Esta frase es...", la falsa es "falsa..."
como la parte "falsa" es falsa, le asignamos un valor mas verdadero(o parcialmente verdadero)... por ejemplo "paradogica", puesto que R es paradogica.
entonces nos queda que:
"Esta frase es paradogica":21 letras, las 10 ultimas de la parte falsa ya procesada
Ahora, el valor de .5 se da dividiendo la parte falsa de la frase entre la totalidad de las letras: 10/21, que nos da 0.476 (que redondeado es 5) lo cual indica que la frase es mas falsa que verdadera.

Si... yo se que no es valida, pero se vale soñar no? ademas... uno tiene derecho de gastar su tiempo de ocio, no es asi? :)

Anónimo dijo...

Hay un episodio de Los Simpson (Inteligencia Bartificial) en que Bart cae en coma y la familia lo reemplaza por un robot. A Homero le encanta la idea y propone someterlo a la paradoja del mentiroso para ver cómo le explota la cabeza (o algo así). ¿Alguien conoce el diálogo exacto?

Claudio H. Sánchez
www.geocities.com/clachu

specu dijo...

Parece existir, creo, otra consecuencia interesante del sistema. A saber: los valores veritativos distintos del cero y de la unidad no sólo son posibles para proposiciones autorreferentes.

Si, como arriba, tenemos que: R = "R es falsa", y su valor de verdad equivale a 0,5, luego, sea la siguiente proposición:

F = "R es falsa"

¿Son 'F' y 'R' la misma proposición? Pareciera que no. Y, si es así, entonces su valor de verdad no puede ser 0 ni 1 sino 0,5 (en base a la ecuación: y = 1 – x).

Entonces, si admitimos que F no es lo mismo que R, no sería autorreferente y su valor de verdad sería 0,5.

Y algo más. Si una proposición 'p' dice, por ejemplo "q vale 0", la proposición 'p' será falsa si 'q' = 1 del mismo modo que si 'q' = 0,5. Pero en el sistema en cuestión parece darse que no es lo mismo que la aserveración de 'p' diste 1 o 0,5 del valor veritativo de 'q'. ¿Podríamos decir entonces que dos proposiciones -si es que pueden hallarse- que afirmen la falsedad de alguna otra sin ser ellas mismas verdaderas tendrán un valor de acuerdo no al hecho de si aciertan o no, sino a cuanto distan del valor correcto? Parece lógico, de todas formas, pues se abandona el binarismo.

Saludos

specu dijo...

Algunos comentarios más

Volviendo a: R = P es verdadera y Q es falsa

Sabemos que: z = x(1 – y),
siendo
V(P) = x (el valor de verdad de P es x)
V(Q) = y
V(R) = z

Las combinaciones posibles son:

(i) x = y = 1
(ii) x = y = 0
(iii) x = y = 0,5
(iv) x = 1 e y = 0
(v) x = 0 e y = 1
(vi) x = 0,5 e y = 1
(vii) x = 1 e y = 0,5
(viii) x = 0,5 e y = 0
(ix) x = 0 e y = 0,5

Luego tenemos:

(i) z = 1(1 – 1)
z = 0

(ii) z = 0(1 – 0)
z = 0

(iii) z = 0,5(1 – 0,5)
z = 0,25

(iv) z = 1(1 – 0)
z = 1

(v) z = 0(1 – 1)
z = 0

(vi) z = 0,5(1 – 1)
z = 0

(vii) z = 1(1 – 0,5)
z = 0,5

(viii) z = 0,5(1 – 0)
z = 0,5

(ix) z = 0(1 – 0,5)
z = 0

Los valor es de 'z' son:
0 para: (i), (ii), (v), (vi) y (ix).
0,25 para (iii)
1 para (iv)
0,5 para (vii) y (viii)

Resulta de esto que si no se cumple "P = Q" no es indiferente cuál se encuentra en primer lugar y cual en segundo. Si se quisiera que haya conmutatividad de P y Q tendría que cumplirse el mismo valor de 'z' para (iv) y (v), para (vi) y (vii), y para (viii) y (ix).

El caso (iii) podría ser "la antinomia del mentiroso es verdadera y falsa".

Otra cuestión es cómo formalizar la proposición T:

T = "la proposición P no es ni verdadera ni falsa"

(Tal vez se prefiera esta forma: T' = "P es no verdadera y Q es no falsa").

Dado que en el sistema no se cumple el "tercero excluido" "no verdadera" ya no equivale a falsa y "no falsa" ya no equivale a verdadera.

T tendría que ser verdadera para el caso en que P sea la antinomia del mentiroso (existen distintas posibilidades para obtener ese resultado).

Pero además está lo mencionado en el comentario anterior: una proposición que afirme de otra que no es verdadera no tendrá ya el mismo valor de verdad si esa proposición de la que se habla es de valor 0 o si es de valor 0,5.

Saludos

Leonardo dijo...

Si tengo una frase de la que ya calcule su valor de verdad y resulta ser 0,5 y tengo otra frase que dice de la primera que es falsa, que valor de verdad tendrá?

Supngo P siendo la frase de valor de verdad x=0,5 y Q: P es falsa.

Entonces, por lo antes expuesto, y=1-x por lo tanto y=0,5.

El mismo valor tendrá si Q: P es verdadera.

Esto significa que sobre la frase "esta frase es falsa" decir que es verdadera o falsa es lo mismo.

...

Esto prueba que la idea es consistente, ya que si el valor de verdad de P es 0,5 es lógico pensar que es tan verdadera como falsa.

Quisiera un ejemplo se frase con valor de verdad distinto de cero, uno o un medio.

Leonardo dijo...

P: esta frase y la frase "esta frase es falsa" son falsas.

Si al entrecomillado, la llamamos R, tenemos:

P: esta frase y R son falsas.

Pero como P hace referencia a si misma, tenemos:

P: P y R son falsas.

De R ya sabemos su valor, que es 0,5 entonces tenemos:

x=0,5(1-x)
x=0,5-0,5x
1,5x=0,5
x=1/3

¿Está bien?


shoshenskoe dijo...

Excelente post. Muchas gracias.