(A la parte 2)
La paradoja del mentiroso
La llamada “paradoja del mentiroso” es quizás una de las más antiguas que se conocen. Sus orígenes se remontan al siglo IV a. C.; fue en esa época cuando el filósofo griego Eubúlides de Megara la enunció por primera vez. La paradoja sufrió desde entonces muchas reformulaciones; una de las más conocidas se debe a Epiménides de Creta, por lo que en no pocos libros esta paradoja es llamada la “paradoja de Epiménides” (1).
Sin embargo no es la formulación de Epiménides la que estudiaremos aquí, sino una de mucho más reciente data y que reza del siguiente modo:
Consideremos la frase: “Esta frase es falsa”. ¿La frase es verdadera o falsa?
Antes de responder la pregunta debemos aclarar que uno de los principios capitales de la lógica (el principio aristotélico del “tercero excluido”) afirma que toda frase es, o bien verdadera, o bien falsa (no hay tercera opción, de allí lo de “tercero excluido”). A la luz de este principio analicemos la veracidad de la frase: “Esta frase es falsa”.
a) Supongamos primero que la frase fuese verdadera. Entonces lo que ella nos dice es correcto, luego la frase resultaría ser, al mismo tiempo, falsa. Conclusión: la frase sería verdadera y falsa a la vez, lo cual es imposible.
b) Si por el contrario suponemos que la frase es falsa, entonces leyendo su propio texto veríamos que éste se ajusta a la realidad, por lo que la frase sería también verdadera.
En resumen, la frase no puede ser verdadera porque entonces resultaría ser también falsa. Tampoco puede ser falsa, porque entonces sería a la vez verdadera. Tenemos aquí una frase que no puede ser ni verdadera ni falsa; o, si se quiere, que tiene ambas condiciones a la vez. Explota así la paradoja pues ¿cómo se explica esta flagrante violación a los principios básicos de la lógica?
La solución generalmente aceptada (Bertrand Russell, de hecho abogaba por ella) dice que las frases tales como “Esta frase es falsa”, que se refieren a su propia veracidad o falsedad (las llamadas frases autorreferentes) no son en lógicamente admisibles. Expresiones tales como “Esta frase es falsa” o “Esta frase es verdadera o falsa” serían, digámoslo así, pseudofrases (“sin-sentidos”, los llamaba Russell) y toda pregunta acerca de su veracidad o falsedad carece por tanto de valor. Llamaremos a este argumento la “solución negativa” de la paradoja, solución que consiste en negarle la entidad de oración a la afirmación problemática “Esta frase es falsa”. Esta solución negativa crea lo que puede definirse como un cerco dentro del cual se colocan las frases admisibles, a la vez que se dejan fuera todas las frases paradójicas.
No vamos aquí a debatir los méritos de esta solución. El objetivo de esta nota es presentar una solución alternativa para la paradoja del mentiroso. Una solución que, en contraposición a la anterior, llamaremos “positiva”. Pero antes de entrar de lleno en la explicación de esta solución nos detendremos en algunos ejemplos aclaratorios.
Nota:
(1) La formulación de la paradoja dada por Eubúlides de Megara se reduce a la pregunta “¿Mientes cuando dices que mientes?” Cualquier asea la respuesta que demos a la pregunta, caeremos en una contradicción. La formulación de Epiménides se refiere a un cretense que afirma que todos los cretenses son mentirosos.
(A la parte 2)
10.1.07
Una rareza
Si un número impar N puede escribirse como suma de dos cuadrados de dos formas diferentes entonces ese número no puede ser primo, más aún, la escritura como suma de dos cuadrados nos permite hallar una factorización de N. Este raro método de factorización fue descubierto, según parece, por Leonhard Euler.
Un ejemplo:
N = 221 = 10^2 + 11^2 = 5^2 + 14^2
(^2 es “elevado al cuadrado”)
O sea: 10^2 + 11^2 = 5^2 + 14^2
Agrupamos de un lado los números impares y del otro los pares:
11^2 – 5^2 = 14^2 – 10^2
(11 – 5)(11 + 5) = (14 – 10)(14 + 10)
Simplificamos los primeros paréntesis:
3(11 + 5) = 2(14 + 10)
Al simplificar hemos dividido por k = 2. Los números que han quedado son l = 3 y m = 2.
11 + 5 es divisible por 2
14 + 10 es divisible por 3
11 + 5 = 2 x 8
14 + 10 = 3 x 8
Luego n = 8.
Se tiene entonces que: N = [(k/2)^2 + (n/2)^2] x (l^2 + m^2).
En este caso: 221 = [(2/2)^2 + (8/2)^2] x (2^2 + 3^2), es decir, 221 = 17 x 13.
Extraído de Number Theory and Its History, Oystein Ore, Dover Publications Inc., Nueva York, 1988 (edición original de 1948).
Un ejemplo:
N = 221 = 10^2 + 11^2 = 5^2 + 14^2
(^2 es “elevado al cuadrado”)
O sea: 10^2 + 11^2 = 5^2 + 14^2
Agrupamos de un lado los números impares y del otro los pares:
11^2 – 5^2 = 14^2 – 10^2
(11 – 5)(11 + 5) = (14 – 10)(14 + 10)
Simplificamos los primeros paréntesis:
3(11 + 5) = 2(14 + 10)
Al simplificar hemos dividido por k = 2. Los números que han quedado son l = 3 y m = 2.
11 + 5 es divisible por 2
14 + 10 es divisible por 3
11 + 5 = 2 x 8
14 + 10 = 3 x 8
Luego n = 8.
Se tiene entonces que: N = [(k/2)^2 + (n/2)^2] x (l^2 + m^2).
En este caso: 221 = [(2/2)^2 + (8/2)^2] x (2^2 + 3^2), es decir, 221 = 17 x 13.
Extraído de Number Theory and Its History, Oystein Ore, Dover Publications Inc., Nueva York, 1988 (edición original de 1948).
6.1.07
Zigurates de cuadrados
Introducción:
El objetivo de esta nota es mostrar, a partir de un ejemplo sencillo, que los aspectos formales de la Matemática no están para nada reñidos con sus aspectos recreativos. Para ello, comenzaremos exponiendo un problema “serio” de Teoría de Números y veremos como, de manera perfectamente natural, nos conduce a interesantes exploraciones en el campo lúdico-matemático. Expondremos además dos pequeños descubrimientos recreativos que, suponemos, serán del interés de los lectores.
Problema básico:
Hallar todos los enteros positivos impares “a” para los cuales existe un exponente n > 1 tal que a*2^n + 1 es un cuadrado perfecto. (2^n es “2 elevado a la n” y “*” es la multiplicación.)
Solución:
Para comenzar, planteamos la igualdad a*2^n + 1 = x^2, donde “x” es un entero cualquiera, “a” es un entero positivo impar y n > 2. Realizando algunas manipulaciones elementales vemos que a*2^(n – 2) = (x – 1)/2 * (x + 1)/2.
Por otra parte, como a es impar, entonces los números a y 2^(n – 2) no tienen factores primos en común (es decir, son coprimos). Asimismo, no es difícil probar que los números (x – 1)/2 y (x + 1)/2 son también coprimos. De esto se deduce fácilmente que la igualdad a2^(n – 2) = (x – 1)/2 * (x + 1)/2 conduce solamente a dos alternativas posibles:
a = (x – 1)/2 y 2^(n – 2) = (x + 1)/2
o bien
a = (x + 1)/2 y 2^(n – 2) = (x – 1)/2
Despejando en cada uno de los dos sistemas de ecuaciones que han quedado planteados llegamos a concluir que a = 2^(n – 2) – 1 o bien a = 2^(n – 2) + 1. Es decir, los únicos números impares que pueden llegar a cumplir la propiedad enunciada son aquellos que difieren en 1 de una potencia de 2. Que en efecto para estos números la propiedad se cumple se puede verificar por cálculo directo ya que, por ejemplo, si a = 2^(n – 2) – 1 entonces a*2^n + 1 = (2^(n – 2) – 1)*2^n + 1 = 2^(2n – 2) – 2^n + 1 = 2^(2(n – 1) – 2*2^(n – 1) + 1 = (2^(n – 1) – 1)^2
Un aspecto recreativo:
Hemos resuelto el problema, sin embargo la cuestión todavía no se ha agotado. Para comenzar, observemos atentamente la primera de las expresiones que hemos obtenido como parte de la solución: a = 2^(n – 2) – 1. Como dijimos, para cada n > 2, a*2^n + 1 es un cuadrado perfecto.
El aspecto interesante de la cuestión es que la escritura en base 2 del número (2^(n – 2) – 1)*2^n + 1 es perfectamente regular, ya que tiene la forma 111...1000...01, que comienza con n – 2 unos, sigue con n – 1 ceros y termina con un 1.
Llegamos entonces al primer descubrimiento, para cada valor de m (pensamos m = n – 1), existe un cuadrado perfecto cuya expresión binaria está formada exactamente por m unos y m ceros. Por ejemplo, para m = 1, el cuadrado correspondiente es 01; para m = 2 el cuadrado es 1001 (expresión binaria del número 9) y para m = 3 tenemos 110001 (que corresponde a 49). Todos estos cuadrados generan un ordenamiento gráfico muy elegante, que puede ordenarse en un zigurat binario (los asteriscos se agregan solamente por cuestiones gráficas, en los zigurates no indicarán multiplicación). Cada “piso” es un cuadrado escrito en base 2:
*******01
******1001
*****110001
****11100001
***1111000001
**111110000001
*11111100000001
1111111000000001
Cada piso, además, contiene la misma cantidad de ceros que de unos.
La segunda expresión encontrada en la solución del punto anterior, a = 2^(n – 2) + 1, también nos permite construir un interesante zigurat de cuadrados. En este caso, si n > 2, la expresión binaria de a*2^n + 1 tiene la forma 1000...01000..1, que comienza con n – 3 ceros, sigue con un 1, luego n – 1 ceros y termina con un 1. El zigurat de cuadrados escritos en base 2 se construye así:
******11001
*****1010001
****100100001
***10001000001
**1000010000001
*100000100000001
10000001000000001
Cada piso contiene exactamente tres unos y m ceros (m > 2).
Extensión a otras bases:
Hemos visto que las expresiones binarias de los números de la forma (2^m – 1)^2 y (2^m + 1)^2 dan lugar a interesantes construcciones gráficas. ¿Qué ocurre en otras bases? ¿Qué aspecto tienen las expresiones de (b^m – 1)^2 y (b^m + 1)^2 en base b > 2?
Comencemos con los números de la forma (b^m – 1)^2. Si trabajamos en base 3, los números resultantes generan el siguiente zigurat:
******11
*****1012
****100122
***10001222
**1000012222
*100000122222
10000001222222
Cada piso es la expresión en base 3 de un cuadrado perfecto.
En base 4 el zigurat tiene esta forma:
******12
*****1023
****100233
***10002333
**1000023333
*100000233333
10000002333333
Cada piso es la expresión en base 4 de un cuadrado perfecto.
Las regularidades de estos zigurates son claras. Dejaremos que los lectores las exploren por sí mismos, tanto para las dos bases mencionadas como para las demás bases posibles (inclusive bases mayores que 10).
También interesantes resultan los zigurates que se obtienen de la expresión (b^m + 1)^2. Trabajando en base 3 el zigurat correspondiente es:
******121
*****10201
****1002001
***100020001
**10000200001
*1000002000001
100000020000001
En base 4 obtenemos el siguiente zigurat:
******121
*****10201
****1002001
***100020001
**10000200001
*1000002000001
100000020000001
El zigurat es exactamente el mismo. En realidad, podemos enunciar el siguiente hecho: el zigurat engendrado por los números de la forma (b^m + 1)^2 (con m > 1) es independiente de la base b > 2 elegida.
Conclusión:
A partir de un aparentemente estéril problema de Teoría de Números hemos descubierto todo un mundo de zigurates de cuadrados escritos en distintas bases. Mundo del cual apenas hemos visto la superficie pues, con un poco de ingenio, todavía hay muchos aspectos del mismo que pueden explorarse.
La conclusión que queremos exponer es que, al trabajar en Matemática nunca debe perderse el espíritu lúdico y el afán explorador. Es verdad que los descubrimientos fundamentales de la Matemática se encuentran fuera del alcance de la mayoría de los mortales, pero los descubrimientos pequeños están al alcance de cualquier mente alerta e inquisidora. La exploración permanente de todos los aspectos posibles de un problema (incluyendo desde luego los aspectos recreativos) rara vez nos dejará con las manos vacías y la mayoría de las veces nos conducirá a terrenos interesantes e instructivos.
Cuestiones finales:
Existen al menos dos aspectos de las cuestiones planteadas que son susceptibles de ser generalizadas.
1) Hemos visto que para todo valor de n > 2 existe un cuadrado perfecto cuya expresión binaria está formada por n unos y n ceros (sin usar ceros a la izquierda). ¿Es posible extender esta conclusión a otras bases? Lamentablemente la respuesta es negativa. Más aún, dada una base b > 2 y dos números c, d tales que 0 <>2) El problema inicial pedía hallar todos los enteros impares a para los cuales existe un exponente n > 2 tal que a*2^n + 1 es un cuadrado perfecto. El problema puede generalizarse de la siguiente manera: dado b > 1, hallar todos los enteros positivos a que sean coprimos con b para los cuales existe un exponente n > 2 tal que a*b^n + 1 es un cuadrado perfecto. Dejamos al lector la resolución y la exploración del problema.
El objetivo de esta nota es mostrar, a partir de un ejemplo sencillo, que los aspectos formales de la Matemática no están para nada reñidos con sus aspectos recreativos. Para ello, comenzaremos exponiendo un problema “serio” de Teoría de Números y veremos como, de manera perfectamente natural, nos conduce a interesantes exploraciones en el campo lúdico-matemático. Expondremos además dos pequeños descubrimientos recreativos que, suponemos, serán del interés de los lectores.
Problema básico:
Hallar todos los enteros positivos impares “a” para los cuales existe un exponente n > 1 tal que a*2^n + 1 es un cuadrado perfecto. (2^n es “2 elevado a la n” y “*” es la multiplicación.)
Solución:
Para comenzar, planteamos la igualdad a*2^n + 1 = x^2, donde “x” es un entero cualquiera, “a” es un entero positivo impar y n > 2. Realizando algunas manipulaciones elementales vemos que a*2^(n – 2) = (x – 1)/2 * (x + 1)/2.
Por otra parte, como a es impar, entonces los números a y 2^(n – 2) no tienen factores primos en común (es decir, son coprimos). Asimismo, no es difícil probar que los números (x – 1)/2 y (x + 1)/2 son también coprimos. De esto se deduce fácilmente que la igualdad a2^(n – 2) = (x – 1)/2 * (x + 1)/2 conduce solamente a dos alternativas posibles:
a = (x – 1)/2 y 2^(n – 2) = (x + 1)/2
o bien
a = (x + 1)/2 y 2^(n – 2) = (x – 1)/2
Despejando en cada uno de los dos sistemas de ecuaciones que han quedado planteados llegamos a concluir que a = 2^(n – 2) – 1 o bien a = 2^(n – 2) + 1. Es decir, los únicos números impares que pueden llegar a cumplir la propiedad enunciada son aquellos que difieren en 1 de una potencia de 2. Que en efecto para estos números la propiedad se cumple se puede verificar por cálculo directo ya que, por ejemplo, si a = 2^(n – 2) – 1 entonces a*2^n + 1 = (2^(n – 2) – 1)*2^n + 1 = 2^(2n – 2) – 2^n + 1 = 2^(2(n – 1) – 2*2^(n – 1) + 1 = (2^(n – 1) – 1)^2
Un aspecto recreativo:
Hemos resuelto el problema, sin embargo la cuestión todavía no se ha agotado. Para comenzar, observemos atentamente la primera de las expresiones que hemos obtenido como parte de la solución: a = 2^(n – 2) – 1. Como dijimos, para cada n > 2, a*2^n + 1 es un cuadrado perfecto.
El aspecto interesante de la cuestión es que la escritura en base 2 del número (2^(n – 2) – 1)*2^n + 1 es perfectamente regular, ya que tiene la forma 111...1000...01, que comienza con n – 2 unos, sigue con n – 1 ceros y termina con un 1.
Llegamos entonces al primer descubrimiento, para cada valor de m (pensamos m = n – 1), existe un cuadrado perfecto cuya expresión binaria está formada exactamente por m unos y m ceros. Por ejemplo, para m = 1, el cuadrado correspondiente es 01; para m = 2 el cuadrado es 1001 (expresión binaria del número 9) y para m = 3 tenemos 110001 (que corresponde a 49). Todos estos cuadrados generan un ordenamiento gráfico muy elegante, que puede ordenarse en un zigurat binario (los asteriscos se agregan solamente por cuestiones gráficas, en los zigurates no indicarán multiplicación). Cada “piso” es un cuadrado escrito en base 2:
*******01
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*****110001
****11100001
***1111000001
**111110000001
*11111100000001
1111111000000001
Cada piso, además, contiene la misma cantidad de ceros que de unos.
La segunda expresión encontrada en la solución del punto anterior, a = 2^(n – 2) + 1, también nos permite construir un interesante zigurat de cuadrados. En este caso, si n > 2, la expresión binaria de a*2^n + 1 tiene la forma 1000...01000..1, que comienza con n – 3 ceros, sigue con un 1, luego n – 1 ceros y termina con un 1. El zigurat de cuadrados escritos en base 2 se construye así:
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*****1010001
****100100001
***10001000001
**1000010000001
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10000001000000001
Cada piso contiene exactamente tres unos y m ceros (m > 2).
Extensión a otras bases:
Hemos visto que las expresiones binarias de los números de la forma (2^m – 1)^2 y (2^m + 1)^2 dan lugar a interesantes construcciones gráficas. ¿Qué ocurre en otras bases? ¿Qué aspecto tienen las expresiones de (b^m – 1)^2 y (b^m + 1)^2 en base b > 2?
Comencemos con los números de la forma (b^m – 1)^2. Si trabajamos en base 3, los números resultantes generan el siguiente zigurat:
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10000001222222
Cada piso es la expresión en base 3 de un cuadrado perfecto.
En base 4 el zigurat tiene esta forma:
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10000002333333
Cada piso es la expresión en base 4 de un cuadrado perfecto.
Las regularidades de estos zigurates son claras. Dejaremos que los lectores las exploren por sí mismos, tanto para las dos bases mencionadas como para las demás bases posibles (inclusive bases mayores que 10).
También interesantes resultan los zigurates que se obtienen de la expresión (b^m + 1)^2. Trabajando en base 3 el zigurat correspondiente es:
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*****10201
****1002001
***100020001
**10000200001
*1000002000001
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En base 4 obtenemos el siguiente zigurat:
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*****10201
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**10000200001
*1000002000001
100000020000001
El zigurat es exactamente el mismo. En realidad, podemos enunciar el siguiente hecho: el zigurat engendrado por los números de la forma (b^m + 1)^2 (con m > 1) es independiente de la base b > 2 elegida.
Conclusión:
A partir de un aparentemente estéril problema de Teoría de Números hemos descubierto todo un mundo de zigurates de cuadrados escritos en distintas bases. Mundo del cual apenas hemos visto la superficie pues, con un poco de ingenio, todavía hay muchos aspectos del mismo que pueden explorarse.
La conclusión que queremos exponer es que, al trabajar en Matemática nunca debe perderse el espíritu lúdico y el afán explorador. Es verdad que los descubrimientos fundamentales de la Matemática se encuentran fuera del alcance de la mayoría de los mortales, pero los descubrimientos pequeños están al alcance de cualquier mente alerta e inquisidora. La exploración permanente de todos los aspectos posibles de un problema (incluyendo desde luego los aspectos recreativos) rara vez nos dejará con las manos vacías y la mayoría de las veces nos conducirá a terrenos interesantes e instructivos.
Cuestiones finales:
Existen al menos dos aspectos de las cuestiones planteadas que son susceptibles de ser generalizadas.
1) Hemos visto que para todo valor de n > 2 existe un cuadrado perfecto cuya expresión binaria está formada por n unos y n ceros (sin usar ceros a la izquierda). ¿Es posible extender esta conclusión a otras bases? Lamentablemente la respuesta es negativa. Más aún, dada una base b > 2 y dos números c, d tales que 0 <>2) El problema inicial pedía hallar todos los enteros impares a para los cuales existe un exponente n > 2 tal que a*2^n + 1 es un cuadrado perfecto. El problema puede generalizarse de la siguiente manera: dado b > 1, hallar todos los enteros positivos a que sean coprimos con b para los cuales existe un exponente n > 2 tal que a*b^n + 1 es un cuadrado perfecto. Dejamos al lector la resolución y la exploración del problema.
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