Si un número impar N puede escribirse como suma de dos cuadrados de dos formas diferentes entonces ese número no puede ser primo, más aún, la escritura como suma de dos cuadrados nos permite hallar una factorización de N. Este raro método de factorización fue descubierto, según parece, por Leonhard Euler.
Un ejemplo:
N = 221 = 10^2 + 11^2 = 5^2 + 14^2
(^2 es “elevado al cuadrado”)
O sea: 10^2 + 11^2 = 5^2 + 14^2
Agrupamos de un lado los números impares y del otro los pares:
11^2 – 5^2 = 14^2 – 10^2
(11 – 5)(11 + 5) = (14 – 10)(14 + 10)
Simplificamos los primeros paréntesis:
3(11 + 5) = 2(14 + 10)
Al simplificar hemos dividido por k = 2. Los números que han quedado son l = 3 y m = 2.
11 + 5 es divisible por 2
14 + 10 es divisible por 3
11 + 5 = 2 x 8
14 + 10 = 3 x 8
Luego n = 8.
Se tiene entonces que: N = [(k/2)^2 + (n/2)^2] x (l^2 + m^2).
En este caso: 221 = [(2/2)^2 + (8/2)^2] x (2^2 + 3^2), es decir, 221 = 17 x 13.
Extraído de Number Theory and Its History, Oystein Ore, Dover Publications Inc., Nueva York, 1988 (edición original de 1948).
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