Zigurates de cuadrados

Introducción:

El objetivo de esta nota es mostrar, a partir de un ejemplo sencillo, que los aspectos formales de la Matemática no están para nada reñidos con sus aspectos recreativos. Para ello, comenzaremos exponiendo un problema “serio” de Teoría de Números y veremos como, de manera perfectamente natural, nos conduce a interesantes exploraciones en el campo lúdico-matemático. Expondremos además dos pequeños descubrimientos recreativos que, suponemos, serán del interés de los lectores.

Problema básico:

Hallar todos los enteros positivos impares “a” para los cuales existe un exponente n > 1 tal que a*2^n + 1 es un cuadrado perfecto. (2^n es “2 elevado a la n” y “*” es la multiplicación.)

Solución:

Para comenzar, planteamos la igualdad a*2^n + 1 = x^2, donde “x” es un entero cualquiera, “a” es un entero positivo impar y n > 2. Realizando algunas manipulaciones elementales vemos que a*2^(n – 2) = (x – 1)/2 * (x + 1)/2.

Por otra parte, como a es impar, entonces los números a y 2^(n – 2) no tienen factores primos en común (es decir, son coprimos). Asimismo, no es difícil probar que los números (x – 1)/2 y (x + 1)/2 son también coprimos. De esto se deduce fácilmente que la igualdad a2^(n – 2) = (x – 1)/2 * (x + 1)/2 conduce solamente a dos alternativas posibles:

a = (x – 1)/2 y 2^(n – 2) = (x + 1)/2

o bien

a = (x + 1)/2 y 2^(n – 2) = (x – 1)/2

Despejando en cada uno de los dos sistemas de ecuaciones que han quedado planteados llegamos a concluir que a = 2^(n – 2) – 1 o bien a = 2^(n – 2) + 1. Es decir, los únicos números impares que pueden llegar a cumplir la propiedad enunciada son aquellos que difieren en 1 de una potencia de 2. Que en efecto para estos números la propiedad se cumple se puede verificar por cálculo directo ya que, por ejemplo, si a = 2^(n – 2) – 1 entonces a*2^n + 1 = (2^(n – 2) – 1)*2^n + 1 = 2^(2n – 2) – 2^n + 1 = 2^(2(n – 1) – 2*2^(n – 1) + 1 = (2^(n – 1) – 1)^2

Un aspecto recreativo:

Hemos resuelto el problema, sin embargo la cuestión todavía no se ha agotado. Para comenzar, observemos atentamente la primera de las expresiones que hemos obtenido como parte de la solución: a = 2^(n – 2) – 1. Como dijimos, para cada n > 2, a*2^n + 1 es un cuadrado perfecto.

El aspecto interesante de la cuestión es que la escritura en base 2 del número (2^(n – 2) – 1)*2^n + 1 es perfectamente regular, ya que tiene la forma 111...1000...01, que comienza con n – 2 unos, sigue con n – 1 ceros y termina con un 1.

Llegamos entonces al primer descubrimiento, para cada valor de m (pensamos m = n – 1), existe un cuadrado perfecto cuya expresión binaria está formada exactamente por m unos y m ceros. Por ejemplo, para m = 1, el cuadrado correspondiente es 01; para m = 2 el cuadrado es 1001 (expresión binaria del número 9) y para m = 3 tenemos 110001 (que corresponde a 49). Todos estos cuadrados generan un ordenamiento gráfico muy elegante, que puede ordenarse en un zigurat binario (los asteriscos se agregan solamente por cuestiones gráficas, en los zigurates no indicarán multiplicación). Cada “piso” es un cuadrado escrito en base 2:

*******01
******1001
*****110001
****11100001
***1111000001
**111110000001
*11111100000001
1111111000000001

Cada piso, además, contiene la misma cantidad de ceros que de unos.

La segunda expresión encontrada en la solución del punto anterior, a = 2^(n – 2) + 1, también nos permite construir un interesante zigurat de cuadrados. En este caso, si n > 2, la expresión binaria de a*2^n + 1 tiene la forma 1000...01000..1, que comienza con n – 3 ceros, sigue con un 1, luego n – 1 ceros y termina con un 1. El zigurat de cuadrados escritos en base 2 se construye así:

******11001
*****1010001
****100100001
***10001000001
**1000010000001
*100000100000001
10000001000000001

Cada piso contiene exactamente tres unos y m ceros (m > 2).

Extensión a otras bases:

Hemos visto que las expresiones binarias de los números de la forma (2^m – 1)^2 y (2^m + 1)^2 dan lugar a interesantes construcciones gráficas. ¿Qué ocurre en otras bases? ¿Qué aspecto tienen las expresiones de (b^m – 1)^2 y (b^m + 1)^2 en base b > 2?

Comencemos con los números de la forma (b^m – 1)^2. Si trabajamos en base 3, los números resultantes generan el siguiente zigurat:

******11
*****1012
****100122
***10001222
**1000012222
*100000122222
10000001222222

Cada piso es la expresión en base 3 de un cuadrado perfecto.

En base 4 el zigurat tiene esta forma:

******12
*****1023
****100233
***10002333
**1000023333
*100000233333
10000002333333

Cada piso es la expresión en base 4 de un cuadrado perfecto.

Las regularidades de estos zigurates son claras. Dejaremos que los lectores las exploren por sí mismos, tanto para las dos bases mencionadas como para las demás bases posibles (inclusive bases mayores que 10).

También interesantes resultan los zigurates que se obtienen de la expresión (b^m + 1)^2. Trabajando en base 3 el zigurat correspondiente es:

******121
*****10201
****1002001
***100020001
**10000200001
*1000002000001
100000020000001

En base 4 obtenemos el siguiente zigurat:

******121
*****10201
****1002001
***100020001
**10000200001
*1000002000001
100000020000001

El zigurat es exactamente el mismo. En realidad, podemos enunciar el siguiente hecho: el zigurat engendrado por los números de la forma (b^m + 1)^2 (con m > 1) es independiente de la base b > 2 elegida.

Conclusión:

A partir de un aparentemente estéril problema de Teoría de Números hemos descubierto todo un mundo de zigurates de cuadrados escritos en distintas bases. Mundo del cual apenas hemos visto la superficie pues, con un poco de ingenio, todavía hay muchos aspectos del mismo que pueden explorarse.

La conclusión que queremos exponer es que, al trabajar en Matemática nunca debe perderse el espíritu lúdico y el afán explorador. Es verdad que los descubrimientos fundamentales de la Matemática se encuentran fuera del alcance de la mayoría de los mortales, pero los descubrimientos pequeños están al alcance de cualquier mente alerta e inquisidora. La exploración permanente de todos los aspectos posibles de un problema (incluyendo desde luego los aspectos recreativos) rara vez nos dejará con las manos vacías y la mayoría de las veces nos conducirá a terrenos interesantes e instructivos.

Cuestiones finales:

Existen al menos dos aspectos de las cuestiones planteadas que son susceptibles de ser generalizadas.

1) Hemos visto que para todo valor de n > 2 existe un cuadrado perfecto cuya expresión binaria está formada por n unos y n ceros (sin usar ceros a la izquierda). ¿Es posible extender esta conclusión a otras bases? Lamentablemente la respuesta es negativa. Más aún, dada una base b > 2 y dos números c, d tales que 0 <>2) El problema inicial pedía hallar todos los enteros impares a para los cuales existe un exponente n > 2 tal que a*2^n + 1 es un cuadrado perfecto. El problema puede generalizarse de la siguiente manera: dado b > 1, hallar todos los enteros positivos a que sean coprimos con b para los cuales existe un exponente n > 2 tal que a*b^n + 1 es un cuadrado perfecto. Dejamos al lector la resolución y la exploración del problema.