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A la parte 6 –
A la parte 7 1/2)
Producto de ordinalesA todo conjunto bien ordenado le corresponde un ordinal. A dos conjuntos equivalentes les corresponde el mismo ordinal.
Para definir la suma de ordinales, es decir para definir
alfa +
beta, hemos tomado un conjunto A que corresponde al ordinal
alfa, un conjunto B que corresponde al ordinal
beta y con ellos hemos construido un nuevo conjunto bien ordenado, que hemos llamado (AB), y que consiste esencialmente en colocar una copia de B a continuación de A. Convinimos en definir entonces que
alfa +
beta es el ordinal que corresponde a (AB).
Con más precisión, (AB) es un conjunto de pares, todos ellos de la forma (a,0) con a un elemento de A, o (b,1) con b un elemento de B. Para comparar dos pares, primero se comparan sus segundas coordenadas y, en caso de que éstas sean iguales, se comparan entonces las primeras.
Para definir el producto
alfa x
beta se procede de manera similar. Tomamos un conjunto A correspondiente al ordinal
alfa, un conjunto B correspondiente al ordinal
beta, y con ellos construimos un nuevo conjunto cuyo ordinal será, por definición,
alfa x
beta.
Si A y B son dos conjuntos, su
producto cartesiano A x B es el conjunto formado por todos los pares (a,b) tales que a es un elemento de A y b es un elemento de B. Por ejemplo, N x {0,1} es el conjunto de los pares (n,0) y (n,1) con n natural. Tomamos en A x B el mismo orden que antes definimos para pares: primero se comparan las segundas coordenadas y, si éstas son iguales, se comparan entonces las primeras coordenadas.
Ejercicio para el lector: demuestre que si A y B son bien ordenados entonces A x B también lo es.
Definición: si A corresponde al ordinal
alfa y B corresponde al ordinal
beta entonces
alfa x
beta es el ordinal de A x B.
Ejemplos:1) Afortunadamente
alfa x 1 = 1 x
alfa =
alfa. También
alfa x 0 = 0 x
alfa = 0.
2) Resulta claro de las definiciones que (AA) = A x {0,1}, por lo tanto
alfa +
alfa =
alfa x 2. En particular w + w = w x 2.
3) El ordenamiento de N x {0,1} es así: (0,0), (1,0), (2,0),...., (0,1), (1,1,), (2,1),... (primero van todos los pares que tienen segunda coordenada igual a 0 y luego todos los que tienen segunda coordenada igual a 1). Este ordenamiento corresponde a w + w, tal como se dijo en el ejemplo anterior.
El ordenamiento de {0,1} x N es así: (0,0), (1,0), (0,1), (1,1), (0,2), (1,2),... (primero van todos los pares que tienen segunda coordenada igual a 0, luego todos los que tienen segunda coordenada igual a 1, etc.) que es equivalente al ordenamiento de N.
Luego w x 2 = w + w, pero 2 x w = w. Es decir, el producto de ordinales no es conmutativo.
4) El ordenamiento de N x N es así: (0,0), (1,0), (2,0), (3,0),..., (0,1), (1,1), (2,1), (3,1),... , (0,2), (1,2), (2,2), (3,2),..., (0,3), (1,3), (2,3), (3,3),..., (0,4), (1,4), (2,4), (3,4),...,...,...,..., (0,n), (1,n), (2,n), (3,n),...,... que corresponde a lo que podría llamarse w + w + w +... (“w” veces). Esto corresponde con la idea intuitiva de de w + w + w +... (w veces) = w x w.
Observaciones:1) El producto de ordinales es asociativo: (
alfa x
beta) x
gamma =
alfa x (
beta x
gamma).
2) No es cierto que (
alfa +
beta) x
gamma sea igual a (
alfa x
gamma) + (
beta x
gamma), ya que como vimos
(1 + 1) x w no es igual a
(1 x w) + (1 x w).
3) ¿Será cierto que
gamma x (
alfa +
beta) es igual a (
gamma x
alfa) + (
gamma x
beta)?
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