Sherlock Holmes y Alef-uno

Llamo (la denominación es puramente personal) pregunta-zen a una pregunta que tiene como propósito motivar la reflexión, una pregunta en la que no importa la respuesta en sí sino el proceo que lleva hasta esa respuesta, o las líneas colaterales de razonamiento que ese proceso genera (de hecho, dar una respuesta definitiva mata el objetivo de la pregunta).

Las preguntas de la entrada anterior tenían ese caráter de preguntas-zen. Su tema, en líneas generales, era ¿podemos atribuir propiedades a un objeto que no existe?

Por ejemplo, no existen hexágonos de cinco lados. Más aún, no puede existir, porque el concepto de "hexágono de cinco lados" es contradictorio en sí mismo. ¿Tenemos derecho a decir, entonces, que un hexágono de cinco lados es un polígono irregular? ¿Tenemos derecho a hablar de él, a atribuirle cualquier característica -aparte de la de ser contradictorio y no existir-?

Por su parte, Shelock Holmes tampoco existe, al menos en el sentido de que los relatos de Conan Doyle no describen hechos ni personas que hayan existido en la realidad. Sin embargo, todos sabemos que Holmes era inglés (o británico, si se quiere) y que, por lo tanto, la afirmación "Shelock Holmes nació en Alemania" es falsa.

Decir que "Un hexágono de cinco lados es un polígono irregular", más que falso es un sinsentido, porque habla de un objeto inexistente. Pero "Shelock Holmes nació en Alemania" es falsa y nadie diría que es un sinsentido, aunque Holmes tampoco exista.

O, podemos decir, que Holmes sí existe, no como ser humano real, sino como personaje de ficción, o como ser que "habita" en el imaginario popular (de la misma forma que Papá Noel o Harry Potter -hablo del personaje de J. Rowling, no del actor-).

Sherlock Holmes, de Baker Street, de W. S. Baring-Gould, es una "biografía" de Holmes, basada en los relatos de Conan Doyle. En algún momento el autor dice que "se puede demostrar" que tal o cual aventura de Holmes comenzó un viernes y que terminó el domingo siguiente (basado en que Watson afirma que la noche en que terminó esa aventura fueron a tal teatro a escuchar un concierto y que en esos años, en ese teatro, sólo había conciertos los domiengos, etc.).

Hay aquí una clara analogía con la Matemática. Los relatos de Conan Doyle son los "axiomas" de Holmes, a partir de los cuales podemos deducir ciertos "teoremas". De la misma forma los relatos de Rowling son los "axiomas" de Harry Potter. ¿Estuvo alguna vez Harry Potter en China? Los axiomas no permiten demostrarlo ni refutarlo. Para los axiomas de Harry Potter, es una afirmación indecidible.

En su famosa conferencia de París, de 1900, David Hilbert decía que si la definición de un objeto matemático no es contradictoria en sí misma, entonces ese objeto existe. Salgamos un centímetro de la Matemática: la frase Hilbert nos permite asegurar que, en efecto, Holmes, sin duda, existe.

¿Existe Alef-uno (el primer cardinal no numerable)? Cuando Hilbert enunció la frase que antes cité tenía en mente principalmente la Teoría de los Transfinitos de Cantor (teoría cuya validez estaba en entredicho por aquellos años). Si la definición de Alef-uno no es contradictoria, diría Hilbert en 1900 (un par de décadas después quizás lo habría pensado un poco más), entonces podemos afirmar que Alef-uno existe y que es perfectamente válido atribuirle propiedades.

Gödel fue aún más allá y años más tarde escribió que la Teoría de Conjuntos (en partircular, la Teoría de los Transfinitos) describe una realidad objetiva (independiente de la mente humana), acerca de la cual cada afirmación es, o bien verdadera, o bien falsa. La existencia de afirmaciones indecidibles se debe, dice Gödel, solamente a una limitación de los métodos de demostración, es decir, a una limitación del conocimiento humano.

Pero (si se me permite el atrevimiento) creo que Gödel se equivocaba en ese punto. Mi tesis (que algún día tal vez escribiré realmente en forma de tesis) es que Alef-uno existe tanto como existe Sherlock Holmes (o Harry Potter). Ambos tienen el mismo nivel de existencia, y por las mismas razones. Cantor creó Alef-uno de la misma manera que Conan Doyle creó a Sherlock Holmes, y así como hay axiomas de la Teoría de Conjuntos, también hay, como ya vimos, "axiomas" de Holmes. Y así como Harry Potter no vive en una realidad objetiva, de la misma manera la Teoría de los Transfinitos tampoco describe una realidad objetiva.

Más de una vez he dicho en mis clases o en charlas que la Matemática, más que una ciencia, es un arte (1). Agrego ahora: es una arte muy parecido a la literatura.

Nota:

(1) Esta afirmación suele ser rechazada por el público (alguna vez, incluso, violentamente). Probablemente el rechazo se deba a que hay quienes sienten que, al decir que es un arte, estoy menospreciando a la Matemática. En realidad la estoy enalteciendo, ya que en lo personal considero que el arte, en cuanto fruto del espíritu humano, es superior a la ciencia. Ciertamente me gusta la idea de pensar a la Matemática como hermanada con la poesía.

Pregúntenzen

0. ¿Los hexágonos de cinco lados son polígonos regulares?
1. ¿Las sirenas son mamíferos o peces?
2. ¿Sherlock Holmes es inglés?
3. ¿Viajó alguna vez Harry Potter a China?
4. ¿Papá Noel (o Santa Claus) usa un traje rojo?

Problema de Análisis Matemático

Permítanme salirme un poco de la temática habitual del blog y plantear un problema de Análisis Matemático.

Tenemos una función f(x) de variable real tal que f(x) es siempre un número estrictamente positivo.

1) Supongamos que el límite cuando x tiende a +infinito de f(x + 1)/f(x) existe y es un número L menor que 1. ¿Podemos deducir que el límite cuando x tiende a +infinito de f(x) es 0?

2) Si el límite cuando x tiende a +infinito de f(x + 1)/f(x) existe y es un número L mayor que 1. ¿Podemos deducir que el límite cuando x tiende a +infinito de f(x) es +infinito?

En ambos casos, si la respuesta es sí, se pide una demostración. Si es no, se pide un contraejemplo.

Y aún otro problemita de lógica

Como ya dijimos, los nativos de Verdalia pertenecen, o bien al grupo de los veraces (que sólo hacen afirmaciones verdaderas), o bien al de los mentirosos (que sólo hacen afirmaciones falsas). Abel, Bruno y Carlos son todos nativos de Verdalia y cada uno sabe a qué grupo pertenecen los otros.

Abel dice: Carlos es... (la historia no registra cómo termina la frase, aunque sí se sabe que el final era veraz o mentiroso).
Bruno dice: Abel dijo que Carlos es veraz.
Carlos dice: Exactamente dos de nosotros son mentirosos.

¿A qué grupo pertenece cada uno?

Otro problemita de lógica

Los nativos de Verdalia pertenecen, o bien al grupo de los veraces (que sólo hacen afirmaciones verdaderas), o bien al de los mentirosos (que sólo hacen afirmaciones falsas). Abel, Bruno, Carlos y Darío son todos nativos de Verdalia y cada uno sabe a qué grupo pertenecen los otros.

Abel dice: Exactamente dos de nosotros son veraces.
Bruno dice: Exactamente dos de nosotros son veraces.
Carlos dice: Darío es mentiroso.
Darío dice: Abel es mentiroso.

¿A qué grupo pertenece cada uno?

Problemita de lógica

En el Club de la Lógica de Verdalia se ha cometido un robo. Abel, Bruno y Carlos, a la vez testigos y sospechosos, son interrogados por un investigador.

Como todos los nativos de Verdalia, Abel, Bruno y Carlos pertenecen, o bien al grupo de los veraces (que sólo hacen afirmaciones verdaderas), o bien al de los mentirosos (que sólo hacen afirmaciones falsas). Los tres saben a qué grupo pertenecen los demás y saben, además, quién es el culpable del robo. Leamos sus declaraciones:

Abel: El ladrón es Bruno.
Bruno: El ladrón es Carlos.
Abel: Carlos es mentiroso.
Bruno: Carlos es mentiroso.

Carlos no dice nada.

¿A qué grupo pertenece cada uno? ¿Quién es el ladrón?

0/0

Decía en otra entrada que, hasta cierto punto, las definiciones matemáticas son arbitrarias y que en muchos casos están guiadas solamente por la elegancia y la coherencia de ciertas fórmulas.

A la luz de este concepto analicemos el caso de 0/0: ¿Por qué 0/0 no puede definirse? ¿Por qué es una "operación prohibida"? Tratemos de buscar argumentos racionales y concretos para justificar esta "prohibición". (Y, por favor, evitemos argumentos del tipo ¡Es falso! ¡No se puede dividir pot 0!, etc. Tratemos de ser racionales.)

¿Qué pasaría si definiéramos 0/0 como 1? Veamos por qué esta definición nos llevaría a una inconsistencia:

Sabemos que 3.0 = 2.0.

Si 0/0 fuera 1 tendríamos que: 3.(0/0) = 2.(0/0). Luego 3 = 2.

Es decir, si definiéramos 0/0 como 1 esto nos permitiría deducir que 3 = 2. Tendríamos así una inconsistencia, por lo tanto la definición 0/0 = 1 está justificadamente "prohibida".

El mismo razonamiento elimina que 0/0 sea igual a cualquier otro número distinto de 0.

La pregunta que les dejo es ésta: ¿qué argumento racional, concreto y carente de toda falacia puede darse para justificar que 0/0 no se puede definir como 0?