Para imitar a un pájaro imitador (Parte 2)

El pájaro imitador

(Para ver todas las entrada de este tema vayan a la etiqueta “pájaro imitador”)

En este hilo vamos a trabajar con “operadores” (Smullyan, en su libro, los llama “pájaros”). La palabra “operador” se usa habitualmente en muchas ramas de la matemática y designa en general a algún tipo de función. En los contextos donde se usa este término suele haber “operadores” (es decir, funciones) y “objetos” a los que esas funciones se aplican. En nuestro caso los objetos serán las letras que designan a los mismos operadores. Es decir, tendremos operadores sintácticos que se aplicarán a sus propios nombres y que darán como resultado de esa aplicación nuevos operadores.

Notación: Si A1 y A2 son operadores, llamaremos A1A2 al operador que resulta de aplicar A1 al nombre de A2 (o, directamente, a A2).

Como veremos enseguida, en general A1A2 no es lo mismo que A2A1. También veremos que tampoco es cierto en general que A1(A2 A3) sea lo mismo que (A1 A2)A3. [A1(A2 A3) es, desde luego, el resultado de aplicar A1 al operador A2A3, mientras que (A1 A2)A3 es el resultado de aplicar A1A2 al operador A3.]

Observación: A1 = A2 si y sólo si para todo x, A1x = A2x.

Algunas convenciones de escritura:

1) Letras:

a) A, A1 , A2, A3,… designarán siempre operadores genéricos.

b) Usaremos letras minúsculas como x, y, z, x1, x2, x3,… para designar variables (reemplazables a su vez por operadores).

c) Otras letras mayúsculas (excepto X, Y, Z), tales como B, C, D,… designarán operadores específicos, que iremos definiendo a lo largo del hilo.

d) X, Y, Z designarán secuencias arbitrarias de símbolos.

2) Sobre los paréntesis: como A1 (A2 A3) no es lo mismo que (A1 A2) A3 entonces la expresión A1 A2 A3 es, en principio ambigua. Pero, por otra parte, si escribiéramos todos los paréntesis necesarios las expresiones complejas se volverían ilegibles. Adoptaremos entonces la convención de que A1 A2 A3 represente siempre a (A1 A2) A3 (como dice Smullyan: los paréntesis se restituyen a izquierda.) Lo mismo vale para otras expresiones, de este modo:

A1 A2 A3 A4 es ((A1 A2) A3) A4

A1 (A2 A3) A4 es (A1(A2 A3)) A4

Aclaradas estas convenciones, vamos a definir nuestros primeros operadores, que indicaremos como M e I.

Definición: Los operadores M e I se definen de la siguiente manera:

Mx = xx

Ix = x

(Como ya dijimos, la variable x representa un operador genérico o, agrego ahora, también el nombre de un operador genérico.)

La definición de M debe leerse de esta manera: M actúa sobre una letra repitiéndola dos veces.

Tenemos, por ejemplo, que:

MI = II = I

IM = M

M(IM) = MM

MIM = IIM = IM = M

[Smullyan llama “pájaros” a los operadores. Coherentemente con esta designación, al definir los operadores, muchas veces les pone nombres de pájaros existentes. Así, por ejemplo, hay un petirrojo, un cardenal, un colibrí, una paloma, etc. Para Smullyan el operador M es un mockingbird - http://en.wikipedia.org/wiki/Mockingbird- o pájaro imitador, el I es el “pájaro identidad”.]

Continuará…

Crucigrama Numérico

Debe escribirse una cifra en cada casilla. Ningún número comienza con cero.

Horizontales

1. Producto de las cifras de 7-Horizontal.

5. Número de cuatro cifras.

7. Cuadrado de 4-Vertical.

8. Número de cuatro cifras.

9. Producto de las cifras de 5-Horizontal.

Verticales

2. Múltiplo de siete.

3. Un cubo perfecto.

4. Un número primo.

6. Un múltiplo de trece.

7. Un divisor de 2-Vertical.

Ladradora

En casa tenemos un perro, más exactamente una perra de raza maltesa de nombre Pupi (esto es completamente real y autobiográfico, no hipotético, la foto aquí al lado es de ella).

Esta misma tarde, hace unos minutos, mirábamos en la computadora un video en el que aparece Pupi ladrando (actividad a la que se dedica con bastante frecuencia). Pupi, que estaba presente, comenzó inmediatamente a ladrarle al sonido de su propio ladrido.

Podemos decir entonces que Pupi es un perro que se ladra a sí mismo (o, más exactamente, que le ladra a su propio ladrido).

Podemos imaginar que algunos perros le ladrarán a su propio ladrido, mientras que otros no lo harán. Si un perro le ladrara a todos los ladridos de los perros que no se ladran a sí mismos ¿le ladraría ese perro a su propio ladrido?

2012

¡Feliz año nuevo para todos!

Algunas fechas destacadas de este año:

2/1/12

12/12/12

20/12/2012

10/11/12

8/10/12

6/9/12

4/8/12

Para imitar a un pájaro imitador (Parte 1)

Introducción

(Para ver todas las entrada de este tema vayan ala etiqueta “pájaro imitador”)

Mi intención en la serie de entradas que aquí seinicia es (en la medida de mis posibilidades) explicar, poner en orden y tratarde clarificar algunos de los conceptos que Raymond Smullyan desarrolla en sulibro “Para Imitar a un Pájaro Imitador” (1989, Gedisa, México, hay edicionesmás recientes; el título original, de 1985, es “To mock a mockingbird”. La edición en inglés puede leerse on line aquí http://es.scribd.com/doc/55546137/Smullyan-To-Mock-a-Mockingbird).

En ese libro Smullyan hace una introducción a laLógica Combinatoria que va desde los conceptos básicos de la teoría hasta casiuna demostración del Teorema de Gödel.

¿Por qué es necesario clarificar y poner en ordenlos conceptos de Smullyan? Por una parte, porque en ese trayecto que va desdelos conceptos básicos de la Lógica Combinatoria hasta casi llegar al Teorema deGödel el autor toma muchos desvíos. Hay capítulos enteros que son solamentedigresiones, recopilación de curiosidades, etc., interesantes en sí mismas,pero que desvían la atención del objetivo.

Por otra parte, en lo personal, me resulta muydifícil el lenguaje que usa Smullyan en este libro. No porque sea excesivamenteformal, sino porque mezcla una y otra vez términos formales con otros demasiadofloridos y metafóricos que, hasta el punto de resultar bastante confuso (almenos tal es mi experiencia, que no sé si será compartida por otros lectores–para una opinión simétrica a la mía véase aquí: http://www.lecturalia.com/comunidad/libro-comentado/68525/68371/juegos-para-imitar-a-un-pajaro-imitador).

Para ejemplificar lo dicho más arriba, cito unpasaje típico del libro: “En cierto bosque encantado habitan pájaros parlantes.Dados dos pájaros cualesquiera A y B, si le gritamos al pájaro A el nombre deB, entonces A responderá gritándonos el nombre de otro pájaro. Designamos aeste pájaro como AB. Así, AB es el pájaro nombrado por A después de haber oídoel nombre de B”.

Una de mis intenciones del hilo es, entonces, “traducir”el lenguaje de Smullyan a una versión no tan florida, pero no que por ello dejede ser amable.

Una aclaración necesaria es que no soy unconocedor profundo de la Lógica Combinatoria, buena parte de lo que sé del temalo he ido entresacando a fuerza de intuición de lo que cuenta Smullyan. Por lotanto, tal vez, algunos de los términos que use no sean los “consagrados” en lateoría.

Nota histórica: Según cuenta Smullyan en unapéndice del libro, la Lógica Combinatoria se inició a principios de la décadade 1920 y fueron sus pioneros Shönfinkel, Curry, Fitch, Church, Kleene, Rosser,Turing y otros. Agrego yo que en el marco de esta teoría es que Alonzo Churhdesarrolló su “cálculo lambda” que fue la primera definición rigurosa de laidea de algoritmo (pocos meses después, de manera independiente, Turing presentó,con el mismo objetivo, su “máquina de Turing”).

Continuará…

El Omegón y todo eso... (Parte 19)

Derivados ad infinitum...

(A la parte previa, A la parte siguiente)

Como decíamos ayer... estamos trabajando solamente con subconjuntos de los números reales. Recordemos, en ese contexto, cuál es la definición (una de las posibles) del concepto de punto de acumulación: un número r es punto de acumulación de un conjunto A si existe una sucesión a(1), a(2), a(3),.... formada por elementos de A, todos diferentes entre sí, tal que el límite de a(n) es r. (El número r puede, o no, pertenecer al conjunto.)

Con esta definición en la mano, observemos el conjunto A = {0}. Si lo miramos fijamente unos segundos no tendremos otro remedio que concluir que A no tiene puntos de acumulación (porque, de hecho, es imposible siquiera encontrar una sucesión formada por elementos de A todos diferentes entre sí).

Recordemos a su vez que Cantor llamó "conjunto derivado de A" (es decir, A') al conjunto formado por todos los puntos de acumulación de A. Luego, {0}' = vacío.

¿Seremos capaces de encontrar un conjunto B tal que B' = {0}? Un tal conjunto B debería contener una sucesión que tienda a 0, a fin de que este número se transforme en punto de acumulación de B. Luego, aunque no es la única opción, podemos tomar como B al conjunto {0, 1, 1/2, 1/3, 1/4,...}. Luego B' = {0}.

Notemos que, para lograr que el derivado sea el conjunto formado por el 0 le "agregamos" al conjunto {0} una sucesión que converge a ese número.

¿Podremos encontrar un conjunto C tal que C' = {0, 1, 1/2, 1/3, 1/4,...}? Es decir, que 1, 1/2, 1/3,... sean todos puntos de acumulación de C (pregunta para el lector: ¿por qué no necesito mencionar al 0 en esta lista?). Pues bien, procedemos como antes, para obtener el conjunto C tomamos el 1 y agregamos una sucesión que converja a 1, tomamos después el 1/2 y agregamos una sucesión que converja a 1/2, etc.

El conjunto C tendrá entonces la forma siguiente: C = {0, 1, números de una sucesión que converge a 1, 1/2, números de una sucesión que converge a 1/2, 1/3, números de una sucesión que converge a 1/3,...}

De este modo, C' = {0, 1, 1/2, 1/3, 1/4,...}, C" = {0} y C''' = vacío.

Si a su vez quisiéramos hallar un conjunto D tal que D' = C tendríamos que agregarle a C una sucesión que converja a cada término de cada una de las sucesiones que agregamos en el paso anterior.

Y así, como hemos hecho más arriba, agregando sucesiones que convergen a los términos de las sucesiones que convergen a los términos de las sucesiones... Cantor logró encontrar un conjunto P tal que al calcular la secuencia P, P', P'', P''',... los sucesivos conjuntos resultantes estaban cada uno de ellos contenido en el anterior (esto no es sorprendente, siempre P^(n+1) está contenido en P^(n)), pero además tal que ninguno de los conjunto de la secuencia era vacío y tal que, en el límite (cuando el número de derivadas tendía al infinito), se obtenía el conjunto {0}.

Con toda justicia Cantor dijo que P^(infinito) = {0}. Todavía, por unos segundos, podemos imaginar que este infinito es el infinito potencial del límite (el "ocho acostado"). Pero entonces Cantor dio el paso que lo llevó a la imnortalidad: derivó otra vez. Y resulta que: (P^(infinito))' = P^(infinito + 1) = vacío. Y en consecuencia, inevitablemente, infinito + 1 no puede ser igual a infinito (porque P^(infinito + 1) no es igual a P^(infinito)).

Por supuesto, Cantor enseguida comprendió que si infinito + 1 no es igual a infinito entonces infinito + 1 no es igual a infinito + 2, ni a infinito + 3,..., infinito + infinito, etc. Estos infinitos no podían ser "potenciales", no podían ser "los del límite" (porque para el infinito del límite sí es cierto que infinito + 1 = infinito).

Tan revolucionaria era esta idea, que aun el propio Cantor, inicialmente negó la "existencia real" de estos infinitos. Durante casi diez años les negó entidad, hablaba de una "creación dialéctica de símbolos sin significado". Pero a medida que trabajaba con estos símbolos, que descubría su aritmética y su orden terminó finalmente por aceptar que había descubierto una nueva clase de números, a los que llamó números ordinales u ordinales transfinitos.

En la parte siguiente se inicia el estudio de estos números...

(A la parte previa, A la parte siguiente)

Blog del G4G

Muchas de las charlas del Segundo Encuentro para Celebrar el Ingenio de Martin Gardner y Jaime Poniachik (incluída ésta) pueden leerse en el blog aquí enlazado.

La Paradoja del 21 de octubre de 2011

(Ésta es la trancripción de mi participación en el Segundo Encuentro para Celebrar el Ingenio de Martin Gardner y Jaime Poniachik.)

Mi charla de hoy se titula "La Paradoja del 21 de octubre de 2011". Obviamente, voy a hablarles de una paradoja, pero antes, si me permiten, haré una pequeña introducción.

Una de las intenciones de este encuentro es recordar a Jaime Poniachik... En lo personal, con Jaime compartíamos el gusto, el disfrute por el personaje de Sherlock Holmes, el detective de ficción creado por Arthur Conan Doyle.

En una época, Jaime tenía, colgados en su casa, cuadritos con frases extraídas de los relatos de Holmes. Frases, por supuesto, todas ellas con alguna vuelta paradójica, ingeniosa o acertijera. Una de esas frases, que recuerdo bien, decía: "¡Bravo, esto se complica!".

Y ese "¡Bravo, esto se complica!" resume una buena parte del espíritu acertijero. Es una exclamación que dice: "Bravo, esto es un desafío", "Bravo, esto me obliga a esforzarme, a buscar, a intentar nuevos métodos". Pero también, el "¡Bravo, esto se complica!" se relaciona con el pensamiento del degustador de paradojas.

La palabra "paradoja" tiene diferentes acepciones (véase en este enlace), pero en cualquiera de ellas una paradoja se relaciona siempre con la idea de ruptura (de hecho, etimológicamente, la palabra "paradoja" viene del griego para doxa, que significa "fuera de la ortodoxia"). En una paradoja, la lógica, el lenguaje o la intuición son llevados a un punto extremo, un punto en el que ya no se sabe qué es verdad o es mentira.

Una paradoja suele ponernos frente a una situación en la que aquello que creíamos que era verdadero parece ser falso, o lo que creíamos falso parece ser verdadero. Pero, lejos de sentirse incómodo ante esta circunstancia, el degustador de paradojas disfruta de la situación y exclama "¡Bravo, esto se complica!".

Por ese motivo, en esta charla no sólo voy a contarles una paradoja, sino que también les plantearé un problema. La paradoja encerrará en sí misma un problema. Y de ese problema, no voy a darles la solución, sino solamente el planteo. Porque no busco que se vayan con la relajación del problema resuelto, sino con la tensión del problema sin resolver, con la sensación del "¡Bravo, esto se complica!".

Pero todavía antes de llegar a la paradoja, necesito hacer una pequeña aclaración técnica. Muchas veces, en Lógica, se estudian los llamados enunciados condicionales, es decir, oraciones que tienen la estructura "Si ... entonces ...". Por ejemplo, "Si Napoleón era inglés entonces la capital de Brasil es Montevideo". A la primera parte de la oración, "Napoleón era inglés", se la llama el antecedente de la afirmación. A la segunda parte, "La capital de Brasil es Montevideo", se llama el consecuente.

Ahora bien, un principio de la Lógica dice que si en una afirmación condicional el antecedente es falso entonces la afirmación completa es verdadera (independientemente de lo que suceda con el consecuente). Por ejemplo, dado que es falso que "Napoleón era inglés" entonces la afirmación completa "Si Napoleón era inglés entonces la capital de Brasil era Montevideo" es verdadera.

Vayamos, ahora sí, a la paradoja. La paradoja se titula "del 21 de octubre de 2011" por un doble motivo. Por una parte, porque la estoy contanado el día de hoy, 21 de octubre de 2011 [día del Encuentro], sino también porque incluye esa fecha en su enunciado.

La paradoja se basa en la oración: "Si el 21 de octubre de 2011 es sábado entonces el 22 de octubre de 2011 es lunes".

La pregunta es: ¿la oración es verdadera o falsa?

Veamos, el 21 de octubre de 2011 es viernes, no sábado. El antecedente de la afirmación es falso, por lo tanto, el principio de la Lógica que antes mencionaba nos dice que la afirmación es verdadera.

Pero, por otra parte, la lógica del calendario nos dice que si "el 21 de octubre de 2011 es sábado" entonces, el 22 de octubre de 2011 (el día siguiente) es domingo, no lunes. Por lo tanto, la lógica del calendario nos dice que la afirmación es falsa.

He ahí la pardoja: tenemos una afirmación que es, al mismo tiempo, verdadera y falsa. Y he ahí también el problema, que consiste en determinar cuál de las dos alternativas es la correcta: ¿la afirmación es verdadera... o es falsa?

Como dije antes, no voy a dar la solución del problema. Los invito solamente a que miren atentamente la afirmación "Si el 21 de octubre de 2011 es sábado entonces el 22 de octubre de 2011 es lunes" y que exclamen conmigo "¡Bravo, esto se complica!".

Muchas gracias.

[La imagen está tomada de http://juegosdeingenio.org/]

Paradoja

1. Existe un único conjunto vacío.

2. Si dos conjuntos tienen el mismo complemento, entonces son iguales.

3. Llamemos R al conjunto de los números reales. El complemento de R es el conjunto vacío.

4. Llamemos C al conjutno de los números complejos. El complemento de C es el conjunto vacío.

5. De las afirmaciones 3, 4 y 1 se deduce que R y C tienen el mismo complemento.

6. De las afirmaciones 5 y 2 se deduce que R = C.

Conclusión: Existe un número real que elevado al uadrado es -1.

Segundo Encuentro para celebrar el ingenio de Martin Gardner y Jaime Poniachik

Viernes 21 de octubre, de 19 a 22:30 (empieza puntual), en la Librería Hernández , Av. Corrientes 1436 (al fondo, bajando la escalera), Ciudad de Buenos Aires.

Se recomienda llevar papel y lápiz.

Éste es el Programa de las charlas (duración aproximada: 10 minutos cada una):

Adenda del 28.01.12: En el caso de que existan, y yo los conozca, he agregado enlaces a sitios donde se pueden leer los contenidos de las charlas.

1) Palabras de apertura (Rodolfo Kurchan).

2) Jaime Poniachik Acertijero I (Pablo Coll): Una selección arbitraria, según el gusto del curador, de la producción de acertijos de Jaime en el grupo Los Acertijeros durante la década del '90.

3) ¿Cómo se llama esta charla? (Ariel Arbiser): Éste es el resumen de la charla, que tiene treinta palabras. Para ser un poco más precisos, trataremos sobre frases y fórmulas autorreferentes (como esta misma frase), y paradojas vinculadas.

4) Física y Publicidad (Claudio Sanchez): Enigmas y curiosidades planteados sobre anuncios publicitarios.

5) Estratosfera (Ivan Skvarca): Un solitario de fichas para resolver volando.

Primer intervalo.

6) De viajes en el tiempo e hipercomputadoras (Ariel Futoransky): En un curioso articulo publicado en una prestigiosa revista de psicología social, se da cuenta de algunos experimentos que supuestamente mostrarían evidencia de precognición. Dejando el escepticismo de lado por un rato, exploraremos las ingeniosas posibilidades que nos brinda ese mundo sugerido, construyendo algunas maquinas de extrañas características, resolviendo problemas aparentemente imposibles y hasta curando enfermedades desconocidas.

7) Rebuses (Esteban Grinbank): Indaga, busca y REBUSca, ¿de qué se trata?

8) Las 10 de ultima (Claudio Meller): Un grupo de acertijos variados similares a los que aparecían en la famosa sección de la Revista Juegos.

9) La paradoja del 21 de Octubre (Gustavo Piñeiro): Una paradoja de la lógica y el lenguaje basada en esta pregunta: ¿Qué pasaría si el 21 de octubre de 2011 fuera sábado?

Segundo intervalo.

10) La multiplicación de los chocolates (Pablo Milrud): Un problema sencillo, con una respuesta inesperada… o no tanto.

11) Charla para captar la Batata Macabra (Maia Buligovich/Gabriel Marchesini)

12) Palabras con 0,1 y 5, Cajafuerte y el acertijo del subte (Rodolfo Kurchan): Acertijos de mis reuniones con Jaime Poniachik.

13) Cierre: Intercambio de opiniones sobre las charlas y acertijos. Reunión de 2012.

Se agradece la difusión del encuentro.

¿Raíz cúbica? (conclusión)

(Viene de 1, 2, 3, 4.)

Sea f(x) una función definida en algún subconjunto de los números reales (cuyas imágenes son también números reales). Si a es un número real que está en el dominio de f(x) y a = b entonces b también está en el dominio de f(x) y además f(a) = f(b).

La afirmación anterior es virtualmente un axioma de uso universal en la Matemática. Empleo aquí la palabra "universal" en el sentido de que el axioma es implícitamente aplicado casi todo el tiempo en todas las ramas de la Matemática. Por citar solamente un ejemplo entre miles, cuando al resolver una ecuación decimos que 2x = 3 implica que x = 3/2 estamos haciendo uso de ese axioma. En ese caso f(x) = (1/2)x, a = 2x, b = 3. [El axioma también vale aunque los conjuntos numéricos involucrados sean otros, diferentes de los reales. Hablé específicamente de los números reales para destacar el hecho de que el tema de esta entrada no involucra a los complejos.]

Consideremos ahora las siguientes afirmaciones, en las que f(x) = (-1)^x. Nótese que la función f(x) está definida, al menos, en el conjunto de los números enteros. La pregunta aquí es si ese dominio puede extenderse de manera consistente a al menos algunos números racionales no enteros.

Afirmación 1: 1/3 = 2/6.

(Pregunta: ¿1/3 y 2/6 son "iguales" o "equivalentes"? Respuesta: Son equivalentes porque son iguales. Es decir, se llaman fracciones equivalentes a aquellas que representan el mismo número real. 1/3 y 2/6 son solamente dos formas de escribir el número real que también puede ser representado como 3/9 o como 0,333...)

Afirmación 2: Supongamos que 1/3 está en el dominio de f(x).

Conclusión 3: De las afirmaciones 1 y 2, y del axioma enunciado más arriba, se deduce que 2/6 está en el dominio de f(x) y que f(1/3) = f(2/6).

Conclusión 4: De 3 se deduciría que -1 = 1, ya que f(1/3) se define como -1 y f(2/6) se define como 1. (Véase aquí la deducción completa y véase aquí por qué no es válido hablar de un "doble signo" para la raíz sexta.)

La conclusión 4 es una contradicción. En consecuencia, una de las premisas que nos llevó a ella debe ser falsa. La única falsedad posible aparece en la afirmación 2. Por lo tanto es absurdo suponer que 1/3 está en el dominio de f(x). Luego, 1/3 no está en el dominio de f(x), es decir...

...es decir que (-1)^(1/3) no existe
(ni tampoco, por supuesto, (-1)^(2/6) o (-1)^0,333....).

Podríamos preguntar ¿acaso (-1)^(1/3) no es la raíz cúbica de -1? (De ahí el título "¿Raíz cúbica?" que llevaban estas entradas). La respuesta es que no, no lo es. La igualdad x^(1/3) = "raíz cúbica de x" solamente vale si x es mayor que 0. La igualdad es falsa si x es negativo, porque en ese caso x^(1/3), simplemente, no existe.

¿Raíz cúbica? (otra vez)

Digámoslo así... Consideremos estas tres afirmaciones:

Es obvio que las tres no pueden ser simultáneamente verdaderas. La pregunta es... ¿cuál es la afirmación falsa?

(Como en toda esta última serie de entradas, las igualdades se entienden en R.)

Finaliza aquí.