(Hubo un error al copiar el segundo ejemplo. El error ya fue corregido, de todos modos no altera el problema en sí.)
Éste es un problemita de lógica extraído del libro Los Túneles de la Mente, de Massimo Piattelli Palmarini (y cuyo título, hasta donde entiendo, debió ser mejor traducido como Las Cavernas de la Mente). El problema dice así:
De las premisas:
Todos los ruritanos son ricos.
Juan es ruritano.
Podemos sacar la conclusión de que: Juan es rico.
De las premisas:
Ningún cazador furtivo es marinero.
Todos los ruritanos son cazadores furtivos.
Podemos sacar la conclusión de que: Ningún ruritano es marinero.
La pregunta es: ¿qué conclusión podemos sacar de las siguientes premisas? (Para que nadie se confunda o se sienta ofendido, aclaro, como hace el autor del libro, que las premisas se refieren a Ruritania, que es un país concreto y real.)
Premisas:
Todos los ministros son ladrones.
Ningún empleado de gasolinera es ministro.
¿Qué conclusión lógica se puede sacar?
(Como de costumbre, las respuestas se pueden dejar en los comentarios. A diferencia de lo que hago habitualmente, si hubiera respuestas, voy a demorar algunos días en publicarlas para que quienes quieran responder no se sientan influidos por lo que respondieron antes.)
7.7.09
5.7.09
La paradoja de Gödel
Como ya se ha dicho en otra parte, la demostración del Teorema de Gödel consiste esencialmente en construir (en el lenguaje apropiado) una afirmación cuyo significado es: "Yo no soy demostrable".
Esa afirmación es, o bien verdadera, o bien falsa. Si es falsa, por lo que ella misma dice, sería demostrable y habría así una falsedad demostrable (lo que es imposible). Entonces debe ser verdadera, y entonces, por lo que ella misma dice, no es demostrable. Hay así una verdad no demostrable.
Pero, veamos, hemos probado que la afirmación es verdadera. Es decir, hemos demostrado la afirmación. Por lo tanto es demostrable y falsa. Existe entonces una falsedad demostrable.
Esa afirmación es, o bien verdadera, o bien falsa. Si es falsa, por lo que ella misma dice, sería demostrable y habría así una falsedad demostrable (lo que es imposible). Entonces debe ser verdadera, y entonces, por lo que ella misma dice, no es demostrable. Hay así una verdad no demostrable.
Pero, veamos, hemos probado que la afirmación es verdadera. Es decir, hemos demostrado la afirmación. Por lo tanto es demostrable y falsa. Existe entonces una falsedad demostrable.
2.7.09
Gödel gráfico
(El dibujo es de Pablo Ingrassia. La "foresta" representa los razonamientos matemáticos.)
27.6.09
Falacias y confusiones (1 – Segunda parte)
(A "Falacias y confusiones 2" / A “Falacias y confusiones 1 – Primera parte")
Recordemos que Fabián quería demostrar esta afirmación: si a, b, c, d son los vértices de un cuadrilátero cualquiera entonces hay un cuadrado cuyos lados, o sus prolongaciones, pasan por esos cuatros puntos (un lado, o prolongación, por cada punto diferente).
Para probarlo hace la siguiente construcción:
1) Trazamos los segmentos ab y bc. Llamamos a1 y c1 a los puntos medios de ab y bc respectivamente.
2) Trazamos el segmento que une a1 con c1 y agregamos los segmentos que faltan para completar un cuadrado. Llamamos a2 y c2 a los otros dos vértices de ese cuadrado.
3) Trazamos la recta que pasan por a y a2, y la recta que pasa por c y. Llamamos x al punto de intersección de ambas.
4) Trazamos la recta que pasa por d y x. Ésta es una de las rectas que determinan el cuadrado buscado, las otras tres se completan fácilmente.
En realidad, hay dos cuadrados que se pueden trazar a partir del segmento a1 c1, ambos simétricos con respecto a ese segmento. Obtenemos así dos cuadrados que pasan por a, b, c y d.
Si tomamos los segmentos ac y cb obtenemos otros dos cuadrados, los segmentos ca y ab nos dan otros dos. Es decir, usando los puntos a, b, c tenemos ocho cuadrados. Otros ocho salen de a, b, d, y otros ocho de b, c, d. En total hay 24 cuadrados que pasan por a, b, c, d. Fin de la demostración. ¿Qué te parece?
Victoria: Hay varios puntos criticables en tu demostración. Algunos dudosos, otros erróneos. En el punto 3), por ejemplo, deberías demostrar que la recta que pasa por a y a2 en efecto se corta con la que pasa por c y c2.
F: Claro que se cortan, se ve en el dibujo.
V: Pero un dibujo no puede reemplazar a un razonamiento. El dibujo sólo sirve como apoyo, como ayuda para que entendamos el razonamiento en sí (ya que nuestro cerebro ha evolucionado de tal forma que nos resulta más fácil percibir una figura que una idea en abstracto), pero un dibujo en sí mismo puede ser muy engañoso. Por ejemplo, puede haber situaciones especiales en las que el dibujo sea imposible de realizar.
En este caso en particular tu dibujo no nos muestra que hay situaciones en las que las dos rectas en cuestión coinciden. Te muestro un ejemplo (en el dibujo falta el punto d, porque su posición no es relevante a los efectos del ejemplo):
V: Te hago notar que este ejemplo invalida tu demostración, pero no necesariamente el teorema, ya que de todos modos puede ser que exista algún punto x que permita hacer tu construcción.
F: ¿Cómo puede invalidar el razonamiento sin invalidar el teorema?
V: Quiero decir que tal vez lo que afirma el teorema sea cierto, pero que tu razonamiento no lo prueba. Por lo menos, seguro que no lo prueba en el ejemplo que te mostré, ya que en ese caso el razonamiento no puede completarse.
F: De todos modos tu ejemplo no viene al caso.
V: ¿Por qué?
F: Porque estás mostrando un ejemplo de un cuadrilátero “específico”, mientras que yo hablo de un cuadrilátero “cualquiera”.
V: En matemática la palabra “cualquiera” quiere decir “todo”. El teorema debería comenzar así: “Para toda cuaterna de puntos a, b, c, d que sean los vértices de un cuadrilátero...” (Por cierto, que sean los vértices de un cuadrilátero sólo significa que no haya tres alineados.) El uso de la palabra “cualquiera” significa que el razonamiento que se hace se puede aplicar a cualquier situación específica, que se puede repetir en cualquier ejemplo específico que cumpla las condiciones indicadas en las hipótesis. Y no es ése el caso de tu razonamiento.
V: Por otra parte, aun cuando las rectas que pasan por a y a2 y por c y c2 se corten, puede suceder que se corten justo en el punto d (o sea que x = d) por lo que la construcción también sería imposible. (Nuevamente, esto invalida el razonamiento, pero no necesariamente el teorema en sí.)
F: ¿Cómo puede ser que d y x coincidan si d es un dato y x se construye después?
V: La posición de x depende sólo de a, b y c. Supongamos que te doy cuatro puntos a, b, c y d, pero que ubico al punto d en la posición que (en tu construcción) ocupará x. En ese caso no hay modo de completar tu construcción.
F: Insisto ¿cómo puede ser que d y x coincidan si d uno está dado antes y el otro se construye después?
V: “Antes” o “después” no significan nada en este caso. Si ingreso el número 2 en la fórmula x^2 – 2 vuelvo a obtener 2. “Antes” tenía un 2 y “después” tengo el mismo número 2 (y no “otro 2 diferente”). En la situación que te describí d y x coinciden. Es evidente que esto puede suceder porque, insisto, x depende sólo de a, b y c por lo que puedo mover al punto d hasta donde yo quiera sin que x se mueva, por lo que bien puede suceder que d y x coincidan.
Claro que en ese caso podríamos intentar la misma construcción con a, b y d, y así obtener un cuadrado diferente...
F: ...ya te dije que hay 24...
V: ...pero si a, b, c, d son los vértices de un cuadrado entonces ninguno de los 24 puntos que se obtienen con tu construcción sirve para construir un cuadrado como el que el teorema pide. Sin embargo, en ese caso hay infinitos cuadrados posibles (todos los cuales se obtienen de una manera diferente a la que indicaste en tu razonamiento).
F: ¡Pero un cuadrado es un cuadrilátero específico!
V: Ya te respondí a eso: si tu razonamiento fuese correcto debería poder aplicarse a cualquier situación en especial, y en particular si a, b, c, d son los vértices de un cuadrado. Además, el ejemplo de a, b, c, d en los vértices de un cuadrado no sólo refuta tu demostración, sino también tu afirmación de que hay sólo 24 cuadrados que cumplen las condiciones del teorema, ya que, al menos en ese caso, hay infinitos.
F: Entonces ¿el teorema es cierto o no? ¿Mi demostración es correcta o no?
V: Tu demostración no es correcta: no se aplica a todos los casos posibles. Tu dibujo describe una situación que es “falsa” para muchas posiciones de a, b, c y d. En cuanto al teorema, no lo sé. Tal vez sea cierto. Parece que sí lo es en muchos casos, pero no queda claro si vale con toda la generalidad que el enunciado pide.
No discutiremos aquí la validez del teorema, ni tampoco algunos otros puntos dudosos (o al menos poco claros) de la demostración de Fabián, como por ejemplo si, en efecto, el cuadrilátero que aparece pintado de azul en el primer dibujo es realmente un cuadrado. Aquí terminamos el análisis de esta "demostración". Los lectores pueden, si así lo desean, comentar otros puntos de ella. La saga seguirá por nuestra parte, en una próxima entrada, con un tema diferente. Nos vemos.
(A "Falacias y confusiones 2" / A “Falacias y confusiones 1 – Primera parte")
Recordemos que Fabián quería demostrar esta afirmación: si a, b, c, d son los vértices de un cuadrilátero cualquiera entonces hay un cuadrado cuyos lados, o sus prolongaciones, pasan por esos cuatros puntos (un lado, o prolongación, por cada punto diferente).
Para probarlo hace la siguiente construcción:
1) Trazamos los segmentos ab y bc. Llamamos a1 y c1 a los puntos medios de ab y bc respectivamente.
2) Trazamos el segmento que une a1 con c1 y agregamos los segmentos que faltan para completar un cuadrado. Llamamos a2 y c2 a los otros dos vértices de ese cuadrado.
3) Trazamos la recta que pasan por a y a2, y la recta que pasa por c y. Llamamos x al punto de intersección de ambas.
4) Trazamos la recta que pasa por d y x. Ésta es una de las rectas que determinan el cuadrado buscado, las otras tres se completan fácilmente.
En realidad, hay dos cuadrados que se pueden trazar a partir del segmento a1 c1, ambos simétricos con respecto a ese segmento. Obtenemos así dos cuadrados que pasan por a, b, c y d.
Si tomamos los segmentos ac y cb obtenemos otros dos cuadrados, los segmentos ca y ab nos dan otros dos. Es decir, usando los puntos a, b, c tenemos ocho cuadrados. Otros ocho salen de a, b, d, y otros ocho de b, c, d. En total hay 24 cuadrados que pasan por a, b, c, d. Fin de la demostración. ¿Qué te parece?
Victoria: Hay varios puntos criticables en tu demostración. Algunos dudosos, otros erróneos. En el punto 3), por ejemplo, deberías demostrar que la recta que pasa por a y a2 en efecto se corta con la que pasa por c y c2.
F: Claro que se cortan, se ve en el dibujo.
V: Pero un dibujo no puede reemplazar a un razonamiento. El dibujo sólo sirve como apoyo, como ayuda para que entendamos el razonamiento en sí (ya que nuestro cerebro ha evolucionado de tal forma que nos resulta más fácil percibir una figura que una idea en abstracto), pero un dibujo en sí mismo puede ser muy engañoso. Por ejemplo, puede haber situaciones especiales en las que el dibujo sea imposible de realizar.
En este caso en particular tu dibujo no nos muestra que hay situaciones en las que las dos rectas en cuestión coinciden. Te muestro un ejemplo (en el dibujo falta el punto d, porque su posición no es relevante a los efectos del ejemplo):
V: Te hago notar que este ejemplo invalida tu demostración, pero no necesariamente el teorema, ya que de todos modos puede ser que exista algún punto x que permita hacer tu construcción.
F: ¿Cómo puede invalidar el razonamiento sin invalidar el teorema?
V: Quiero decir que tal vez lo que afirma el teorema sea cierto, pero que tu razonamiento no lo prueba. Por lo menos, seguro que no lo prueba en el ejemplo que te mostré, ya que en ese caso el razonamiento no puede completarse.
F: De todos modos tu ejemplo no viene al caso.
V: ¿Por qué?
F: Porque estás mostrando un ejemplo de un cuadrilátero “específico”, mientras que yo hablo de un cuadrilátero “cualquiera”.
V: En matemática la palabra “cualquiera” quiere decir “todo”. El teorema debería comenzar así: “Para toda cuaterna de puntos a, b, c, d que sean los vértices de un cuadrilátero...” (Por cierto, que sean los vértices de un cuadrilátero sólo significa que no haya tres alineados.) El uso de la palabra “cualquiera” significa que el razonamiento que se hace se puede aplicar a cualquier situación específica, que se puede repetir en cualquier ejemplo específico que cumpla las condiciones indicadas en las hipótesis. Y no es ése el caso de tu razonamiento.
V: Por otra parte, aun cuando las rectas que pasan por a y a2 y por c y c2 se corten, puede suceder que se corten justo en el punto d (o sea que x = d) por lo que la construcción también sería imposible. (Nuevamente, esto invalida el razonamiento, pero no necesariamente el teorema en sí.)
F: ¿Cómo puede ser que d y x coincidan si d es un dato y x se construye después?
V: La posición de x depende sólo de a, b y c. Supongamos que te doy cuatro puntos a, b, c y d, pero que ubico al punto d en la posición que (en tu construcción) ocupará x. En ese caso no hay modo de completar tu construcción.
F: Insisto ¿cómo puede ser que d y x coincidan si d uno está dado antes y el otro se construye después?
V: “Antes” o “después” no significan nada en este caso. Si ingreso el número 2 en la fórmula x^2 – 2 vuelvo a obtener 2. “Antes” tenía un 2 y “después” tengo el mismo número 2 (y no “otro 2 diferente”). En la situación que te describí d y x coinciden. Es evidente que esto puede suceder porque, insisto, x depende sólo de a, b y c por lo que puedo mover al punto d hasta donde yo quiera sin que x se mueva, por lo que bien puede suceder que d y x coincidan.
Claro que en ese caso podríamos intentar la misma construcción con a, b y d, y así obtener un cuadrado diferente...
F: ...ya te dije que hay 24...
V: ...pero si a, b, c, d son los vértices de un cuadrado entonces ninguno de los 24 puntos que se obtienen con tu construcción sirve para construir un cuadrado como el que el teorema pide. Sin embargo, en ese caso hay infinitos cuadrados posibles (todos los cuales se obtienen de una manera diferente a la que indicaste en tu razonamiento).
F: ¡Pero un cuadrado es un cuadrilátero específico!
V: Ya te respondí a eso: si tu razonamiento fuese correcto debería poder aplicarse a cualquier situación en especial, y en particular si a, b, c, d son los vértices de un cuadrado. Además, el ejemplo de a, b, c, d en los vértices de un cuadrado no sólo refuta tu demostración, sino también tu afirmación de que hay sólo 24 cuadrados que cumplen las condiciones del teorema, ya que, al menos en ese caso, hay infinitos.
F: Entonces ¿el teorema es cierto o no? ¿Mi demostración es correcta o no?
V: Tu demostración no es correcta: no se aplica a todos los casos posibles. Tu dibujo describe una situación que es “falsa” para muchas posiciones de a, b, c y d. En cuanto al teorema, no lo sé. Tal vez sea cierto. Parece que sí lo es en muchos casos, pero no queda claro si vale con toda la generalidad que el enunciado pide.
No discutiremos aquí la validez del teorema, ni tampoco algunos otros puntos dudosos (o al menos poco claros) de la demostración de Fabián, como por ejemplo si, en efecto, el cuadrilátero que aparece pintado de azul en el primer dibujo es realmente un cuadrado. Aquí terminamos el análisis de esta "demostración". Los lectores pueden, si así lo desean, comentar otros puntos de ella. La saga seguirá por nuestra parte, en una próxima entrada, con un tema diferente. Nos vemos.
(A "Falacias y confusiones 2" / A “Falacias y confusiones 1 – Primera parte")
26.6.09
"El Topo Lógico" en "Tu Blog en mi Blog"
Tu Blog en mi Blog es un espacio generosamente creado por Cristina Velázquez en el que se invita a creadores de blogs a contar sus experiencias (aquí puede verse una presentación más amplia y mejor escrita).El Topo Lógico (quizás inclusive yo también) se ha incorporado a esta experiencia: aquí puede verse lo que El Topo Lógico (autorreferente hasta el fin) ha dicho de sí mismo.
25.6.09
¿Verdadero o falso?
Si el antecedente de esa implicación es verdadero entonces el consecuente es falso.
23.6.09
Los túneles de la mente
Hace poco, gracias a una muy oportuna recomendación, comencé a leer "Los Túneles de la Mente", libro de Massimo Piatelli Palmarini que promete ser muy interesante.
Lo menciono aquí porque en las primeras páginas me encontré con un uso de la palabra paradoja que no se ajusta exactamente a ninguna de las categorías del catálogo (de todos modos, no axhaustivo) que intenté hacer en esta otra entrada.
Cito al libro cuando define la que allí se denomina la Paradoja de Wittgenstein:
Ésta es la paradoja: no es posible lógicamente justificar un juicio intuitivo, emitido [...] en situaciones de incertidumbre, sobre la base de un principio general del que estamos menos seguros. [...] Se trata de juicios que emitimos espontáneamente, por los que estamos dispuestos a apostar, pero que no podremos jusificar racionalmente.
Saliendo ya de la cuestión de la paradoja, cito otro párafo que parece resumir la intención del libro:
Pasemos ahora al concepto de bias, que yo he traducido aquí, bastante libremente, con la imagen de los "túneles de la mente", y que, literalmente, en inglés corriente, significa una mezcla de prejuicio, parcialidad de criterio, inclinación algo perversa, propensión a ser injustos sin querer, extremismo en la opinión. En definitiva, con un solo término abarca las múltiples anteojeras que nos ponemos, muchas veces sin darnos cuenta, cuando "miramos" determinadas situaciones con el ojo de la mente.
Definitivamente, parece un libro muy interesante que a muchos nos vendría bien leer. Yo ya estoy en eso.
Lo menciono aquí porque en las primeras páginas me encontré con un uso de la palabra paradoja que no se ajusta exactamente a ninguna de las categorías del catálogo (de todos modos, no axhaustivo) que intenté hacer en esta otra entrada.
Cito al libro cuando define la que allí se denomina la Paradoja de Wittgenstein:
Ésta es la paradoja: no es posible lógicamente justificar un juicio intuitivo, emitido [...] en situaciones de incertidumbre, sobre la base de un principio general del que estamos menos seguros. [...] Se trata de juicios que emitimos espontáneamente, por los que estamos dispuestos a apostar, pero que no podremos jusificar racionalmente.
Saliendo ya de la cuestión de la paradoja, cito otro párafo que parece resumir la intención del libro:
Pasemos ahora al concepto de bias, que yo he traducido aquí, bastante libremente, con la imagen de los "túneles de la mente", y que, literalmente, en inglés corriente, significa una mezcla de prejuicio, parcialidad de criterio, inclinación algo perversa, propensión a ser injustos sin querer, extremismo en la opinión. En definitiva, con un solo término abarca las múltiples anteojeras que nos ponemos, muchas veces sin darnos cuenta, cuando "miramos" determinadas situaciones con el ojo de la mente.
Definitivamente, parece un libro muy interesante que a muchos nos vendría bien leer. Yo ya estoy en eso.
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