La autorreferencia en la demostración de Gödel (Parte 1)

(A la parte 2)

¿Qué decimos cuando decimos "Esta oración no es demostrable"?

En estos últimos años, por diversos motivos y en diferentes ámbitos, me ha tocado discutir extensamente la demostración de los teoremas de Gödel. En esas ocasiones he notado que hay ciertas dudas que aparecen recurrentemente en el público y que, tal vez, sean compartidas por algunos de los lectores de este blog.

La intención de esta serie de entradas es tratar de despejar esas dudas. No intentaré desarrollar en detalle las demostraciones de los teoremas de Gödel, sino que haré un bosquejo general poniendo énfasis especial en dos puntos:

1. El llamado Primer Teorema de Incompletitud de Gödel dice que, dado un sistema axiomático para la Aritmética que cumpla ciertas condiciones (que recordaremos más adelante), siempre es posible encontrar una afirmación aritmética que no puede ser demostrada ni refutada a partir de esos axiomas.

Suele decirse (yo mismo lo he dicho en más de una ocasión) que la demostración de este teorema consiste en construir una afirmación aritmética que dice: "Esta oración no es demostrable".

Pero ¿es realmente así? ¿Habla realmente la afirmación de su propia no-demostrabilidad? La respuesta es que la afirmación no habla de sí misma. Más exactamente, veremos que la afirmación puede llegar a considerarse autorreferente solamente si se aceptan ciertas convenciones arbitrarias que son externas al sistema de axiomas.

El segundo punto que trataremos es éste:

2. Tomemos, a modo de ejemplo, los axiomas de Peano (que son axiomas de la Aritmética). Aceptemos que esos axiomas forman un sistema consistente (como, de hecho, suele aceptarse). Del llamado Segundo Teorema de Incompletitud de Gödel se deduce que la afirmación "Los axiomas de Peano son consistentes" no puede demostrarse ni refutarse a partir de esos axiomas.

Ahora bien, si una afirmación P no puede demostrarse ni refutarse a partir de un sistema de axiomas (llamémoslo A) entonces tanto la afirmación P como su negación pueden ser agregadas al sistema A y en ambos casos se obtendrá un sistema consistente. (El ejemplo histórico clásico es tomar A como los primeros cuatro postulados de Euclides y como P, el postulado de las paralelas.)

En particular, esto quiere decir que la afirmación "Los axiomas de Peano no son consistentes" puede agregarse a los axiomas de Peano de modo que el sistema resultante ¡sea consistente!. Ahora... ¿no es raro? ¿Cómo puede ser consistente con los axiomas de Peano la afirmación que niega (falsamente) que esos axiomas sean consistentes? Como veremos, la paradoja es sólo aparente y resulta de una mala interprertación de lo que realmente dice el enunciado aritmético "Los axiomas de Peano no son consistentes".

La tarea está planteada. Sólo falta arremangarse y llevarla a cabo.

Continuará...

(A la parte 2)