La dialéctica Sintaxis /Semántica
Los teoremas de Gödel, publicados en 1931, forman parte de una larga polémica sobre los Fundamentos de la Matemática que había comenzado en 1872 con el descubrimiento, por parte de Cantor, de los transfinitos, y que se había potenciado a partir de 1902 con el descubrimiento de la Paradoja de Russell.
El campo de batalla de la polémica era nada menos que el infinito. La escuela constructivista, encabezada por L.E.J. Brouwer, sostenía que la introducción del infinito actual en Matemáticas era absurda e injustificada y que la teoría de los transfinitos de Cantor era solamente un juego de palabras sin sentido. Los únicos objetos matemáticos válidos, sostenía esta escuela, son aquellos que se pueden construir mecánicamente en una cantidad finita de pasos. Por ejemplo, para ellos no podía hablarse de la totalidad de los números naturales, sino de una cantidad siempre finita y creciente de números que son calculados uno por uno. Los enunciados que hablan de totalidades infinitas, para los constructivistas carecían de significado.
Hacia 1920 interviene en la polémica David Hilbert quien, en una serie de papers publicados a lo largo de unos diez años, propone el que hoy es conocido como el Programa de Hilbert y que, en esencia, llevaba la exigencia de finitud y de constructividad de los objetos matemáticos a los razonamientos matemáticos.
Con más precisión, Hilbert proponía la creación de una nueva ciencia a la que él llamaba Metamatemática. Esta ciencia tendría como objetivo el verificar la validez de los razonamientos matemáticos. Para evitar polémicas (y para asegurarse de que no surgieran paradojas) esta ciencia sería puramente finitista: la Metamatemática trataría a los enunciados y a los razonamientos matemáticos como si fueran simples secuencias de símbolos sin significado a los que manipularía mecánicamente en una cantidad finita de pasos.
Se ha dicho en algunos textos de divulgación que el Programa de Hilbert proponía reducir la Matemática a un juego de símbolos carente de significado, se ha dicho también que para Hilbert el concepto de "verdad matemática" no existía. Nada más falso. Hilbert, comprendamos, era ante todo un investigador matemático (el mejor de su tiempo) por lo que es imposible, inimaginable, que pudiera pensar así. Esas características las atribuía Hilbert, no a la Matemática, sino a la Metamatemática.
La Matemática trabaja a un nivel semántico, lleno de significados. El matemático, en el día a día, siempre trabaja, crea, conjetura, demuestra y sufre, como si lo que tuviera entre manos fueran objetos reales.
La Metamatemática, según la idea de Hilbert, que trabaja a nivel sintáctico, provee los métodos para verificar si los razonamientos, que el matemático ha obtenido como fruto final de su trabajo creador, son correctos. Para hacer esta verificación los razonamientos serían cargados en una computadora que verificaría si el razonamiento es válido, o no. Hilbert, desde luego, no hablaba de computadoras, pero lo que he dicho en la oración anterior refleja la idea esencial de Hilbert: la validez del razonamiento es verificada mediante manipulaciones mecánicas de símbolos realizadas en una cantidad finita de pasos (la verificación del razonamiento, no su obtención).
En concreto, el Programa de Hilbert proponía dar un conjunto de axiomas para la Aritmética (1) que cumpliera estas cuatro condiciones:
1. El sistema debía ser consistente (es decir, no debía existir un enunciado P tal que P y su negación fueran simultáneamente demostrables).
2. La validez de cualquier demostración debía ser verificable por manipulaciones mecánicas (sintácticas) en una cantidad finita de pasos.
3. Dado cualquier enunciado P, o bien él o bien su negación debía ser demostrable.
4. La consistencia de los axiomas debía ser verificable mecánicamente en una cantidad fnita de pasos.
Nótese que estas condiciones no son matemáticas sino metamatemáticas. Si estas cuatro condiciones pudieran cumplirse entonces la noción de "demostrabilidad" (sintáctica) y de "verdad" (semántica) podrían considerarse equivalentes. Pero los teoremas de Gödel demostraron precisamente que esas cuatro condiciones no se pueden cumplirse a la vez. Si se cumplen 1 y 2 entonces 3 es falsa y 4, si el sistema es razonablemente potente, es irrealizable.
En el próximo capítulo precisaremos qué quiere decir "razonablemente potente" y comenzaremos a analizar la demostración de Gödel.
Continuará...
(1) Nota: La Aritmética es la teoría que habla de la suma y el producto de los números naturales. Hilbert consideraba que era ésta la teoría fundamental de la Matemática (y no la Teoría de Conjuntos).
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