El Omegón y todo eso... (Parte 9)

(A la parte 8 – A la parte 10)

Buena ordenación de los ordinales

Recordemos que si A y B son conjuntos bien ordenados entonces decimos que $A < B$ si A es equivalente a un segmento inicial de B. En la parte anterior hemos probado (siguiendo a Cantor) que si A y B son dos conjuntos bien ordenados entonces siempre vale que $A < B$, o bien $B < A$ o bien A es equivalente a B (una y sólo una de las tres alternativas).

Por otra parte, por definición, el ordinal $\alpha$ es menor que el ordinal $\beta$ si $A < B$ donde A es cualquier conjunto cuyo ordinal sea $\alpha$ y B es cualquier conjunto cuyo ordinal sea $\beta$.

Si $\alpha$ y $\beta$ son dos ordinales, entonces siempre sucede que $\alpha < \beta$, o $\beta < \alpha$ o $\alpha = \beta$ (una y sólo una de las tres alternativas).

La pregunta es ahora: ¿es posible hallar una familia infinita de conjuntos bien ordenados $A_1$, $A_2$, $A_3$,... tal que $A_1 > A_2 > A_3 >\dots$? Es decir ¿existe una cadena descendente infinita de conjuntos bien ordenados?

Veamos, si $A_1 > A_2$ entonces $A_2$ es equivalente a un segmento inicial de $A_1$. Podemos asumir, para simplificar la escritura, que $A_2$ es un segmento inicial de $A_1$. Digamos que $A_2$ es el conjunto de todos los elementos menores que algún $a_2\in A_1$. Del mismo modo si $A_2 > A_3$ entonces $A_3$ es el conjunto de todos los elementos de $A_1$ que son menores que algún $a_3\in A_2\subset A_1$. Del mismo modo, como $A_4$ es un segmento inicial de $A_3$ entonces hay un $a_4$ tal que $a_2 > a_3 > a_4$, todos ellos elementos de $A_1$

Así siguiendo, concluimos que existen en $A_1$ infinitos elementos tales que $a_2 > a_3 > a_4 > a_5 > a_6 >\dots$, pero entonces $\{ a_1, a_2, a_3,\dots \}$ es un subconjunto de $A_1$ que no tiene primer elemento; esto contradice que $A_1$ sea bien ordenado. Por lo tanto no puede existir una cadena infinita descendente de conjuntos bien ordenados.

De lo que acabamos de probar se deduce inmediatamente que no puede existir una cadena descendente infinita de ordinales y una consecuencia de ello, de gran importancia como ya veremos, es que los ordinales están bien ordenados. Es decir, toda familia no vacía de ordinales tiene un primer elemento.

Demostremos esta última afirmación. Si la afirmación fuera falsa, habría una familia de ordinales sin primer elemento. Sea $\alpha_1$ un elemento cualquiera de esa familia; como $\alpha_1$ no es su primer elemento, existe entonces un $\alpha_2$ tal que $\alpha_1 > \alpha_2$. Como $\alpha_2$ tampoco es el primer elemento de la familia, existe un $\alpha_3$ tal que $\alpha_1 > \alpha_2 > \alpha_3$. Así siguiendo habría entonces una cadena infinita descendente de ordinales, lo cual es imposible. Por lo tanto no puede haber una familia de ordinales que no tenga primer elemento. Los ordinales están bien ordenados.

Veremos en las partes siguientes las consecuencias de la buena ordenación de los ordinales, consecuencias que, como dijimos más arriba, son de gran importancia. Para que el lector vaya entrando en tema planteemos la siguiente pregunta: a todo conjunto bien ordenado le corresponde un ordinal, entonces ¿qué tan grande es el ordinal que le corresponde a la familia de todos los ordinales?

(A la parte 8 – A la parte 10)