(A la parte 7 1/2 – A la parte 9)
¿Quién ordena a los ordinales?
Decíamos en la parte anterior que uno de los aspectos más interesante de los ordinales es, precisamente, que pueden ordenarse. Pero ¿cómo se define este orden?
Comencemos con el siguiente concepto, que es central en el estudio de los conjuntos bien ordenados: si A es un conjunto bien ordenado y x es un elemento de A llamaremos S(x), el segmento inicial correspondiente a x, al conjunto de todos los elementos de A que son estrictamente menores que x.
A modo de ejemplo tomemos el conjunto {0, 1, 2, 3,..., 1’, 2’}. Entonces:
S(0) es el conjunto vacío
S(1) = {0}
S(2) = {0, 1}
S(3) = {0, 1, 2}
...
S(2’) = {0, 1, 2, 3,..., 1’}
Definición: Si A y B son dos conjuntos bien ordenados cualesquiera, decimos que $A < B$ si existe algún elemento $x\in B$ tal que S(x) es equivalente a A. O sea, esencialmente, si A es un segmento inicial de B. Más fácil: $A < B$ si hay una copia de A al comienzo de B.
Por ejemplo: {(0,0), (1,0), (2,0), (3,0),..., (1,1)} $<$ {0, 1, 2, 3,..., 1’, 2’, 3’, 4’} .
En lo que sigue, la intención es mostrar que, dados dos conjuntos bien ordenados A y B, entonces $A < B$, o bien $B < A$, o bien A y B son equivalentes. La demostración sigue casi textualmente el razonamiento de Cantor en su artículo de 1897.
Vayamos paso a paso, en lo que sigue A y B son conjuntos bien ordenados:
1) El conjunto A no puede ser equivalente a alguno de sus segmentos iniciales.
Demostración: Supongamos que A fuera equivalente a algún segmento inicial S(x) con $x\in A$. Entonces S(x) es una copia de A y como A es equivalente a uno de sus segmentos iniciales entonces lo mismo sucede con S(x). Es decir S(x) es equivalente a S(x’) con x’ en S(x). En particular $x^| < x$.
Pero como S(x’) es una copia de S(x) y S(x) es equivalente a uno de sus segmentos iniciales entonces S(x’) también es equivalente a uno de sus segmentos iniciales, digamos S(x”). Así siguiendo, construimos una cadena descendente infinita: x > x’ > x” >..., luego el conjunto {x, x’, x”,...} no tiene primer elemento y esto contradice que A sea bien ordenado. La contradicción prueba que A no puede ser equivalente a uno de sus segmentos iniciales.
2) Por definición, si A y B son equivalentes entonces existe una biyección $f: A\rightarrow B$ que preserva el orden. Vamos a probar que si ése es el caso, entonces existe una única biyección.
Demostración: Supongamos que hubiera dos biyecciones diferentes, f y g. Sea a un elemento de A tal que f(a) y g(a) son diferentes. Digamos que f(a) = x y g(a) = x’. Podemos suponer además que $x^| < x$ por lo que S(x’) es un segmento inicial de S(x).
Por otra parte es fácil ver que S(a), en cuanto segmento inicial de A, es equivalente a S(x) (la biyección la da la propia función f) y que S(a) es también equivalente a S(x’). Por transitividad, S(x) es equivalente a S(x’). Luego S(x) es equivalente a uno de sus segmentos iniciales, esto contradice la afirmación 1). Esta contradicción demuestra que no puede haber dos biyecciones.
3) Si todo segmento inicial S de A es equivalente a un segmento inicial S’ de B y si además todo segmento inicial T de B es equivalente a un segmento inicial T’ de A, entonces A y B son equivalentes.
Demostración: Vamos a definir una biyección $f : A\rightarrow B$ que preserve el orden. Si $x_1$ es el primer elemento de A e $y_1$ es el primer elemento de B, definimos $f(x_1) = y_1$. Sea ahora x un elemento de A diferente de $x_1$. Por hipótesis existe un elemento y en B tal que S(x) es equivalente a S(y). Definimos entonces f(x) = y. Los puntos anteriores permiten demostrar que f está bien definida y que es, en efecto, una biyección (los detalles quedan como ejercicio para el lector interesado).
4) Si existe al menos un segmento inicial de A que no es equivalente a ningún segmento inicial de B entonces todo segmento inicial de B es equivalente a algún segmento inicial de A.
Demostración: Sea x el menor de los elementos de A tal que S(x) no es equivalente a ningún segmento inicial de B. Queremos probar que todo segmento inicial de B es equivalente a alguno de A. Supongamos, por el contrario, que hubiera algún segmento inicial de B que no es equivalente a ningún segmento inicial de A. Sea y el menor de los elementos de B tal que S(y) no es equivalente a ningún segmento de A.
Sea S(x’) un segmento inicial de S(x), como $x^| < x$ entonces S(x’) es equivalente a algún segmento inicial S(y’) de B. Si $y < y^|$ entonces S(y) es un segmento inicial de S(y’) y sería equivalente a un segmento inicial de S(x’), lo cual contradice la elección de y. Luego $y^| < y$, en ese caso S(y’) es un segmento inicial de S(y). Es decir, todo segmento inicial de S(x) es equivalente a un segmento inicial de S(y).
Del mismo modo se puede probar que todo segmento inicial de S(y) es equivalente a un segmento inicial de S(x). Por el punto 3) S(x) y S(y) son equivalentes. Esto contradice la elección de x e y. Queda así probada la afirmación 4).
5) Dados A y B sucede una y sólo una de las siguientes relaciones: $A < B$, $B < A$, o bien A es equivalente a B.
Demostración: Si A no es equivalente a B entonces, o bien existe algún segmento inicial de A que no es equivalente a ninguno de B, o bien existe algún segmento inicial de B que no es equivalente a ninguno de A. En el primer caso es $A < B$ y en el segundo es $B < A$.
Estamos ahora en condiciones de definir el orden de los ordinales: si A y B son conjuntos bien ordenados entonces el ordinal de A es menor que el ordinal de B si y sólo si $A < B$.
El punto 5) se traduce en que si $\alpha $ y $\beta $ son dos ordinales entonces sucede una y sólo una de las siguientes relaciones: $\alpha < \beta $, $\beta < \alpha $, o bien $\alpha = \beta $.
Ejercicio para el lector interesado: Demostrar que si $\alpha < \beta $ entonces $\alpha + \gamma < \beta + \gamma $.
(A la parte 7 1/2 – A la parte 9)
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