El Omegón y todo eso... (Parte 7 1/2)

(A la parte 7 – A la parte 8)

Breve interregno

Hemos visto la definición de los ordinales y el modo en que estos se suman y se multiplican. Ahora bien, uno podría preguntarse ¿para qué sirve sumar y multiplicar ordinales? Más allá de la importancia intrínseca de las operaciones en sí, para Cantor la posibilidad de realizar estas operaciones tenía una importancia crucial, menos matemática que ideológica.

Como ya se dijo, Cantor veía a los ordinales como una extensión del sistema de los números naturales, como una forma de seguir contando más allá del infinito. De hecho es así como los presenta en su artículo de 1883, donde los llama, de hecho, “números ordinales”. Y es para defender esta naturaleza “numeral” que Cantor define la suma y el producto (tanto son números que hasta se los puede sumar y multiplicar).

Pero antes que sumados o multiplicados, la característica esencial de los ordinales es que pueden ser ordenados. Sin hacerlo explícito esta idea quedó de manifiesto cuando hemos escrito 0, 1, 2, 3,..., $\omega $, $\omega +1$, $\omega +2$,..., $\omega +\omega $, $\omega +\omega +1$,... Pero, dados dos ordinales ¿cómo se determina cuál es mayor? ¿Están bien ordenados los ordinales? En las siguientes entradas responderemos estas preguntas y veremos cómo las respuestas nos llevan directamente a la (mal) llamada Paradoja de Burali-Forti.

Por otra parte ¿por qué Cantor quería contar “más allá del infinito”? Especialmente en un contexto histórico que era fuertemente reacio a ese tipo de pensamiento. Veremos también esto en las sucesivas entradas.

Por el momento, en la próxima parte, aunque no podremos decir quién vigila a los vigilantes sí podremos hablar de cómo se ordenan los ordinales.

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