El Omegón y todo eso... (Parte 7)

(A la parte 6 – A la parte 7 1/2)

Producto de ordinales

A todo conjunto bien ordenado le corresponde un ordinal; a dos conjuntos equivalentes les corresponde el mismo ordinal.

Para definir la suma de ordinales, es decir para definir $\alpha +\beta $, hemos tomado un conjunto A que corresponda al ordinal $\alpha $, un conjunto B que corresponde al ordinal $\beta $ y con ellos hemos construido un nuevo conjunto bien ordenado, que hemos llamado (AB), y que consiste esencialmente en colocar una copia de B a continuación de A. Convinimos en definir entonces que $\alpha +\beta $ es el ordinal que corresponde a (AB).

Con más precisión, (AB) es un conjunto de pares, todos ellos de la forma (a,0) con $a\in A$, o (b,1) con $b\in B$. Para comparar dos pares, primero se comparan sus segundas coordenadas y, en caso de que éstas sean iguales, se comparan entonces las primeras.

Para definir el producto $\alpha \times \beta $ se procede de manera similar. Tomamos un conjunto A correspondiente al ordinal $\alpha $, un conjunto B correspondiente al ordinal $\beta $, y con ellos construimos un nuevo conjunto cuyo ordinal será, por definición, $\alpha \times \beta $.

Si A y B son dos conjuntos, su producto cartesiano $A\times B$ es el conjunto formado por todos los pares (a,b) tales que a es un elemento de A y b es un elemento de B. Por ejemplo, $N\times \{ 0,1\} $ es el conjunto de los pares (n,0) y (n,1) con $n\in $. Tomamos en $A\times B$ el mismo orden que antes definimos para pares: primero se comparan las segundas coordenadas y, si éstas son iguales, se comparan entonces las primeras coordenadas.

Ejercicio para el lector interesado: Demostrar que si A y B son bien ordenados entonces $A\times B$ también lo es.

Definición: Si A corresponde al ordinal $\alpha $ y B corresponde al ordinal $\beta $ entonces $\alpha \times \beta $ es el ordinal de $A\times B$.

Ejemplos:
1) Afortunadamente $\alpha \times 1$ = $1\times \alpha $ = $\alpha $. También $\alpha \times 0$ = $0\times \alpha $ = 0.

2) Resulta claro de las definiciones que (AA) = $A\times \{ 0,1\}$, por lo tanto $\alpha + \alpha = \alpha \times 2$. En particular $\omega + \omega = \omega \times 2$.

3) El ordenamiento de $N\times \{ 0,1\}$ es así: (0,0), (1,0), (2,0),...., (0,1), (1,1,), (2,1),... (primero van todos los pares que tienen segunda coordenada igual a 0 y luego todos los que tienen segunda coordenada igual a 1). Este ordenamiento corresponde a $\omega +\omega $, tal como se dijo en el ejemplo anterior.

El ordenamiento de $\{ 0,1\} \times N$ es así: (0,0), (1,0), (0,1), (1,1), (0,2), (1,2),... (primero van todos los pares que tienen segunda coordenada igual a 0, luego todos los que tienen segunda coordenada igual a 1, etc.) que es equivalente al ordenamiento de N.

Luego $\omega \times 2 = \omega + \omega $, pero $2\times \omega = \omega $. Es decir, el producto de ordinales no es conmutativo.

4) El ordenamiento de $N\times N$ es así: (0,0), (1,0), (2,0), (3,0),..., (0,1), (1,1), (2,1), (3,1),... , (0,2), (1,2), (2,2), (3,2),..., (0,3), (1,3), (2,3), (3,3),..., (0,4), (1,4), (2,4), (3,4),...,...,...,..., (0,n), (1,n), (2,n), (3,n),...,... que corresponde a $\omega +\omega +\omega +\dots $ (“$\omega $” veces). Esto corresponde con la idea intuitiva de de $\omega +\omega +\omega +\dots $ (“$\omega $” veces) = $\omega \times \omega $.

Observaciones:

1) El producto de ordinales es asociativo: $(\alpha \times \beta )\times \gamma = \alpha \times (\beta \times \gamma )$.

2) No es cierto que $(\alpha + \beta )\times \gamma $ sea igual a $(\alpha \times \gamma ) + (\beta \times \gamma )$, ya que como vimos $(1 + 1)\times \omega $ no es igual a $(1\times \omega ) + (1\times \omega  )$.

3) ¿Será cierto que $\gamma \times (\alpha + \beta ) = (\gamma \times \alpha ) + (\gamma \times \beta )$?

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