El Omegón y todo eso... (Parte 6)

(A la parte 5 – A la parte 7)

Suma de ordinales

En la parte anterior usamos notaciones como $\omega $ o como $\omega +\omega $. El uso del signo “+” no es accidental ya que existe, en efecto, una suma de ordinales.

Recordemos que en la parte anterior hicimos la siguiente construcción: colocamos una copia de N a continuación de otra copia de N. Para distinguir una copia de otra, a los números de la segunda copia les pusimos apóstrofes, el ordenamiento quedaba entonces así: 0,1, 2, 3, 4, 5,..., 0’, 1’, 2’, 3’, 4’, 5’...

Otra forma de distinguir una copia de otra es agregar un 0 a la derecha de cada número de la primera copia y un 1 a la derecha de cada número de la segunda copia, de este modo quedarían asó: (0,0), (1,0), (2,0), (3,0),..., (0,1), (1,1), (2,1), (3,1),...

Cada número se transforma de este modo en un par ordenado (x,y), la segunda coordenada indica a qué copia pertenece el número x (y = 0 corresponde a la primera copia, y = 1 corresponde a la segunda copia). Así por ejemplo, (4,0) es el número 4 de la primera copia.

Todos los números de la primera copia son menores que todos los de la segunda. Si traducimos esta condición al lenguaje de los pares ordenados, entonces para comparar (a,b) con (u,v) se compara primero b con v, el par mayor será el que tenga la segunda coordenada más grande, pero si b = v (o sea, si ambos números pertenecen a la misma copia) entonces se comprara u con a y en ese caso el par mayor será el que tenga la primera coordenada más grande.

El lenguaje de pares nos permite fácilmente extender la idea a la construcción de tres copias de N: (0,0), (1,0), (2,0), (3,0),..., (0,1), (1,1), (2,1), (3,1),... , (0,2), (1,2), (2,2), (3,2),... (los números de la tercera copia se identifican con un 2). O cuatro copias de N: (0,0), (1,0), (2,0), (3,0),..., (0,1), (1,1), (2,1), (3,1),..., (0,2), (1,2), (2,2), (3,2),..., (0,3), (1,3), (2,3), (3,3),... (Los pares siempre se comparan comenzando por la segunda coordenada.)

O también podemos extender la idea a la construcción de infinitas copias de N: (0,0), (1,0), (2,0), (3,0),..., (0,1), (1,1), (2,1), (3,1),... , (0,2), (1,2), (2,2), (3,2),..., (0,3), (1,3), (2,3), (3,3),..., (0,4), (1,4), (2,4), (3,4),...,...,...,..., (0,n), (1,n), (2,n), (3,n),...,...

Generalicemos esta idea:

Definición: Si A y B son dos conjuntos bien ordenados, llamaremos (AB) al conjunto que consiste en escribir los elementos de B "a continuación" de todos los elementos de A. Para evitar confusiones, a los elementos de A les agregamos un 0 a su derecha y a los de B les agregamos un 1. El conjunto que consiste en escribir N a continuación de N es, entonces, (NN).

Ejercicio para el lector interesado: Demostrar que si A y B son bien ordenados entonces (AB) también es bien ordenado.

Ejemplos:

1) (N{0}) es el conjunto (0,0), (1,0), (2,0), (3,0),..., (0,1), que es equivalente a 0, 1, 2, 3, 4,..., 0’.

2) ({0}N) es el conjunto (0,0), (0,1), (0,2), (0,3),... que es equivalente a 0’, 0, 1, 2, 3,... y que, a su vez, es equivalente a N.

Definición: Si $\alpha $ es el ordinal de A y $\beta $ es el ordinal de B entonces $\alpha + \beta $ es el ordinal de (AB). Es palabras simples, sumar dos ordinales consiste en escribir uno a continuación del otro.

Ejemplos:

1) $\omega +1$  es el ordinal de (N{0}), y corresponde entonces al ordenamiento 0, 1, 2, 3, 4,..., 0’.

2) $1+\omega $ es el ordinal de ({0}N), que corresponde al ordenamiento 0’, 0, 1, 2, 3, 4,..., que a su vez es equivalente a N, o sea $1+\omega =\omega $.

Conclusión: la suma de ordinales no es conmutativa, $\omega +1$ es distinto de $1+\omega $.

Ejercicio para el lector interesado: Demostrar que la suma de ordinales es asociativa, o sea que $(\alpha + \beta ) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma )$. En otras palabras, ((AB)C) es equivalente a (A(BC)).

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