(A la parte 4 – A la parte 6)
Los ordinales
Para mejor comprensión, dividamos el contenido de esta entrada en varios ítemes:
1) “La” idea: En su primera definición, en 1883, Cantor entiende a los ordinales como una extensión del sistema de los números naturales. Los ordinales son números que "permiten seguir contando más allá del infinito". Según esta idea, el primer ordinal es el 0 y a partir de allí Cantor establece dos reglas (1) para la formación de los ordinales siguientes:
Regla 1: Dado un ordinal $\alpha $, existe siempre el ordinal siguiente, $\alpha +1$.
Regla 2: Dada cualquier secuencia creciente de ordinales, siempre hay un nuevo ordinal que es el primero que cumple que es mayor que todos ellos (2).
El primer ordinal es, como dijimos, el 0; por aplicaciones sucesivas de la primera regla obtenemos: 1, 2, 3, 4, 5,... Después de todos los números naturales la segunda regla nos dice que hay un nuevo ordinal, que Cantor llama $\omega $ (omega minúscula, u “omeguita”), luego viene $\omega +1$, $\omega +2$, $\omega +3$,... Después de todos los $\omega +n$ la segunda regla nos dice que viene otro, que es $\omega +\omega $. Luego viene $\omega +\omega +1$, $\omega +\omega +2$ y así sucesivamente. Luego de todos los $\omega +\omega +n$ viene el $\omega +\omega +\omega $, y así sucesivamente. Mucho más allá está $\omega +\omega +\omega +\omega +\dots $ infinitas veces $\omega $ y, claro está, también $\omega +\omega +\omega +\omega +\dots +1$ (donde $\omega $ aparece infinitas veces).
En resumen, los ordinales nos permiten contar así:
(Lo que sigue debe se leído en voz alta y cuando aparezcan puntos suspensivos el lector debe seguir contando muy rápidamente hasta quedarse sin aliento.)
0, 1, 2, 3, 4, 5,... (aquí infinitos números) $\omega $, $\omega +1$, $\omega +2$, $\omega +3$, $\omega +4$, $\omega +5$,... (aquí infinitos números) $\omega +\omega $, $\omega +\omega +1$, $\omega +\omega +2$, $\omega +\omega +3$, $\omega +\omega +4$, $\omega +\omega +5$,... (aquí infinitos números),... (aquí infinitas infinidades de números) $\omega +\omega +\omega +\omega +\dots \omega +\omega +\omega +\omega +\dots $, $\omega +\omega +\omega +\omega +\dots \omega +\omega +\omega +\omega +\dots + 1$, $\omega +\omega +\omega +\omega +\dots \omega +\omega +\omega +\omega +\dots + 2$ etc.
Conviene siempre tener presente esta idea: los ordinales son números que "permiten contar más allá del infinito". Ésta fue la primera idea de Cantor y la verdadera idea. En los ítemes siguientes de esta entrada desarrollaremos la definición, más formal, que dio Cantor en 1897. Más adelante daremos también la definición que dio von Neumann en 1923, pero todas ellas no son más que formalizaciones de esta idea inicial.
2) Repaso: Recordemos que un conjunto es bien ordenado si todo subconjunto no vacío de él tiene mínimo. Si (A, $\leq $) es bien ordenado diremos que $\leq $ es un buen orden para A.
3) Equivalencia: Dos conjuntos bien ordenados (A, $\leq $) y (B, $\leq $) son equivalentes si existe una función biyectiva $f : A\rightarrow B$ tal que si $x\leq y$ entonces $f(x)\leq f(y)$. En palabras simples, (A, $\leq $) y (B, $\leq $) son equivalentes si el orden en B es una “copia textual” del orden en A (véanse ejemplos en el ítem siguiente).
4) Ejemplos: vimos en la entrada anterior que en N es posible definir muchos buenos órdenes diferentes. Para describir cada orden escribiremos el ordenamiento de los números:
a) El orden usual: 0, 1, 2, 3, 4, 5,...
b) El orden en el que arbitrariamente decidimos que el 0 es mayor que todos los demás números: 1, 2, 3, 4, 5,..., 0
c) El orden en el que los impares preceden a todos los pares: 1, 3, 5, 7,..., 0, 2, 4, 6,...
d) El orden en el que intercambiamos cada impar y su siguiente: 2, 1, 4, 3, 6, 5, 8, 7,...
Tenemos que a y b no son equivalentes entre sí, pues es claro que no tienen la misma “forma”. Tampoco son equivalente a y c ni tampoco b y c. En cambio sí son equivalentes a y d, en los dos hay un primer elemento, luego otro, luego otro y así sucesivamente (En b al “y así sucesivamente” le sigue un último elemento, mientras que en c le sigue toda una nueva serie de elementos.)
5) Otros ejemplos: podemos generar otra fuente de ejemplos timando dos copias de N = {0, 1, 2, 3,...}. Para distinguir las copias, a la segunda la llamaremos N’ = {0’, 1’, 2’, 3’,...}.
El ordenamiento en N será el usual, el ordenamiento en N’ también será el usual. Convendremos además que en que cada número de N’ será mayor que cualquier número de N. Así por ejemplo 230’ es mayor que 2’, que es mayor que 999, que es mayor que 0.
a) Si tomamos sólo el 0 de N y todos los números de N’, su ordenamiento es: 0, 0’, 1’, 2’, 3’...
b) Tomemos a N le agregamos el 0’, su ordenamiento es: 0, 1, 2, 3, 4,..., 0’.
c) Tomemos tomamos todo N y N’, su ordenamiento es: 0, 1, 2, 3, 4,..., 0’, 1’, 2’, 3’,...
Los ejemplos a, b, y c del punto 4 son equivalentes respectivamente a los ejemplos a, b y c del punto 5.
6) Más ejemplos:
a) Podemos tomar también tres copias de N y tener así el ordenamiento 0, 1, 2, 3, 4,..., 0’, 1’, 2’, 3’, 4’,..., 0”, 1”, 2”, 3”, 4”,...
b) O podemos tomar infinitas copias de N, así: 0, 1, 2, 3, 4,..., 0’, 1’, 2’, 3’, 4’,..., 0”, 1”, 2”, 3”, 4”,..., 0”’, 1”’, 2”’, 3”’, 4”’,..., 0””, 1””, 2””, 3””, 4””,..., y así sucesivamente copia tras copia.
7) Todos los ordenamientos mostrados más arriba son buenos órdenes sobre los conjuntos respectivos.
8) En un conjunto finito hay esencialmente un único buen orden: se elige un elemento cualquiera como mínimo, otro como el siguiente del mínimo, otro como el siguiente de éste y así sucesivamente hasta agotar el conjunto.
9) La clase de equivalencia de un conjunto bien ordenado es la familia formada por todos los conjuntos equivalentes a él. Así por ejemplo, en la clase de equivalencia de N (considerado con su orden usual) está el conjunto d del punto 4 (cada conjunto debe tomarse con su orden), también está el conjunto a del punto 5 y también el conjunto X definido en el ejemplo 8 de la parte 3.
10) Definición: Se llama ordinal a la clase de equivalencia de un conjunto bien ordenado.
11) Nombre: Llamamos $\omega $ al ordinal que corresponde a N con su orden usual. En otras palabras, $\omega $ es el nombre de la clase de equivalencia de N (con su orden usual).
12) Más nombres:
0 es el ordinal del conjunto vacío.
1 es el ordinal de un conjunto de un elemento.
2 es el ordinal de un conjunto de dos elementos.
3 es el ordinal de un conjunto de tres elementos.
etc.
(En los conjuntos finitos no es necesario aclarar qué orden se usa pues, como ya dijimos en la parte anterior, todos los buenos órdenes en un conjunto finito son equivalentes.)
13) Más ordinales: el ordinal de 0, 1, 2, 3,..., 0’ es $\omega +1$ (pues a un conjunto de tipo $\omega $ le estamos agregando un elemento más "a su derecha").
El ordinal de 0, 1, 2, 3,..., 0’, 1’ es $\omega +2$.
El ordinal de 0, 1, 2, 3,..., 0’, 1’, 2’ es $\omega +3$.
El ordinal de 0, 1, 2, 3,..., 0’, 1’, 2’,... es $\omega +\omega $ (pues a un conjunto de tipo $\omega $ le agregamos otro de tipo $\omega $ a su derecha).
El ordinal de 0, 1, 2, 3, 4,..., 0’, 1’, 2’, 3’, 4’,..., 0”, 1”, 2”, 3”, 4”,..., 0”’, 1”’, 2”’, 3”’, 4”’,..., 0””, 1””, 2””, 3””, 4””,..., y así sucesivamente copia tras copia de N es $\omega +\omega +\omega+\dots $ infinitas veces.
Notas:
(1) Cantor establece una tercera regla para la formación de los ordinales, que es en realidad una regla de restricción que dice que a veces no es posible aplicar la regla 2. Esta tercera regla se relaciona con las paradojas que aparecieron luego y, dado que hablaremos de esas paradojas en entradas subsiguientes, no nos detendremos ahora a formular la regla con más precisión.
(2) En 1897 Cantor da una definición de conjunto bien ordenado que es diferente que la hemos dado nosotros (la nuestra es la definición usual hoy en día). La definición que da Cantor se relaciona con las dos primeras reglas de formación de ordinales. Para Cantor un conjunto F es bien ordenado si tiene un primer elemento y si dada cualquier sucesión creciente que no contenga al último elemento de F (si es que existe) entonces existe un primer elemento de F que es mayor que toda la sucesión. Inmediatamente después de dar esta definición Cantor demuestra que es equivalente a decir que todo subconjunto no vacío de F tiene primer elemento.
(A la parte 4 – A la parte 6)
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