El Omegón y todo eso... (Parte 4)

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Diferentes órdenes

Cuando en la entrada anterior hablábamos de N = {0, 1, 2, 3,...} pudo quedar la impresión de que en este conjunto existe un único ordenamiento posible. Es cierto que hay un orden "natural" o "usual" en el que, de menor a mayor, el ordenamiento es 0, 1, 2, 3,... Pero no es éste el único orden posible en N.

Por ejemplo, podríamos decidir arbitrariamente que el 0 es mayor que todos los números y que los demás se comparan entre sí de la manera usual. Así, de menor a mayor el orden es 1, 2, 3, 4,..., 0 (los puntos suspensivos abarcan todos infinitos números enteros mayores que 4). Con este nuevo orden N resulta ser, también, bien ordenado y es, de hecho, equivalente al conjunto Y mencionado en la parte anterior.

También podríamos decidir que los números impares se comparen entre sí de la manera usual, los pares se comparen entre sí de la manera usual, pero que cada impar es menor que cada par. De este modo el ordenamiento, de menor a mayor, es: 1, 3, 5, 7,... , 0, 2, 4, 6, 8,... (los primeros puntos suspensivos abarcan todos los impares mayores que 7, los segundos puntos suspensivos abarcan todos los pares mayores que 8). Con este orden N resulta ser también bien ordenado, pero este orden no es equivalente a ninguno de los vistos en la parte anterior.

Ejercicio para el lector interesado: Demostrar que N con el orden 1, 3, 5, 7,... , 0, 2, 4, 6, 8,... es bien ordenado.

El conjunto R de los números reales, con su orden usual, no es bien ordenado. ¿Es posible definir en R un orden (distinto del usual, claro está) para el cual R sí resulte bien ordenado? Más en general, dado un conjunto cualquiera ¿es posible definir en él un orden para que resulte bien ordenado? Cantor dio por supuesto que sí, aunque nunca dio una demostración formal del hecho; el primero en darla fue Ernst Zermelo, en 1904. En esta demostración Zermelo introdujo explícitamente por primera vez el axioma de elección, que en su momento generó gran controversia. (Las controversias en torno al axioma de elección serán tema de otras entradas.)

Ejercicio para el lector interesado: Si A es un conjunto finito, demostrar que existe en A un único buen orden. Es decir, si definimos en A dos órdenes para los cuales A resulta bien ordenado entonces esos órdenes son equivalentes. (La "filosofía" de este ejercicio es que existen muchas formas diferentes -por "diferentes" entendemos "no equivalentes"- de ordenar N de modo tal que resulte bien ordenado; en cambio para un conjunto finito existe esencialmente una única forma de ordenarlo de modo que resulte bien ordenado.)

Nota histórica:

El breve artículo en el que Zermelo demuestra el principio de buena ordenación fue originalmente parte de una carta escrita a David Hilbert fechada el 24 de septiembre de 1904. Cantor, en 1883, había conjeturado que todo conjunto podía ser bien ordenado y, aunque muchas veces anunció haber demostrado la conjetura, en todos los casos debió después retractarse de su anuncio. En el Tercer Congreso Internacional de Matemáticas, en 1904, J. König exhibió la que él consideraba una demostración de que R (el conjunto de los números reales) no podía ser bien ordenado, pero poco después reconoció que su demostración tenía errores. Pocos meses después del Tercer Congreso, Zermelo completó su demostración de la existencia de un buen orden para cualquier conjunto. En su demostración Zermelo hace explícito por primera vez el axioma de elección, que ya había sido implícitamente usado por otros matemáticos con anterioridad. (Datos extraídos de "From Frege to Gödel", Jean van Heijenoort, Harvard University Press, 1967.)

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