¿Raíz cúbica? (Adenda)

¿Cuánto vale (-1)^0,333....? Considerando que 0,333... = 2/6 y que 0,333.... = 1/3.

(Adenda a la entrada anterior.)

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¿Raíz cúbica?

Como todos sabemos, 1/3 = 2/6. Por lo tanto, (-1)^(1/3) = (-1)^(2/6), donde el símbolo ^ significa, como siempre, "elevado a la...". Tenemos así que:

-1 = "raíz cúbica de -1" = (-1)^(1/3) = (-1)^(2/6) = "raíz sexta de (-1)^2" = "raíz sexta de 1" = 1

Luego, -1 = 1.

Nota: Todas las igualdades deben entenderse en el contexto de los números reales. En ese contexto, la raíz sexta de un número positivo a se define como el único número positivo b tal que b^6 = a. Por lo tanto, la raíz sexta de (-1)^2, que es la raíz sexta de 1, vale 1.

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Razonamiento

Teorema: Dado cualquier número irracional existe una sucesión de números racionales que converge a él.

Demostración: Tomemos, por ejemplo, el número Pi = 3,141592... Consideremos la sucesión: 3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415;... Es claro que se trata de una sucesión de números racionales que converge a Pi. Por otra parte, es obvio también que el mismo procedimiento puede repetirse para cualquier otro número irracional. Por lo tanto el teorema queda probado.

La pregunta es: ¿Es válida esta demostración?

Jueguito

El día de hoy, 3.8.11, tiene la peculiaridad de que el número del año (sólo sus dos últimas cifras) es la suma del número del día más el número del mes. El último día del siglo en el que esto ocurrirá será el 31 de diciembre de 2043.

Los próximos días del año 2011 en los que esto vuelve a suceder son, por supuesto, el 2 de septiembre y el 1º de octubre, pero no habrá días así en noviembre ni en diciembre (ya que el "cero de noviembre" no existe, ni mucho menos el "menos uno de diciembre"). En el año 2013, en cambio, todos los meses tendrán un día en el que la suma del número del mes y del número del día será el número del año.

Dos preguntas para jugar un rato:

1) ¿Cuál será el último año del siglo que contendrá doce días en los que la suma del número del mes y del número del día sea el número del año?

2) ¿Cuál será el primer año futuro que contendrá solamente un día así?

Nota: Al releer lo escrito caigo en la cuenta de que las preguntas pueden interpretarse de dos maneras diferentes. Puede pensarse "un año" como cualquier período que comienza algún 1º de enero y termina el 31 de diciembre inmediato siguiente (que es la interpretación que tenía en mente cuando escribí las preguntas por primera vez) o puede pensarse "un año" como cualquier período de 365 (¿o 366?) días consecutivos. Elijan ustedes la que prefieran.

Una cita

Pienso que si queremos aprender algo realmente profundo acerca de una cosa, hemos de estudiarla no en su forma "normal", regular o usual, sino en su estado crítico, febril y apasionado. Si desea usted conocer el cuerpo normal y saludable, estúdielo cuando es anormal, cuando está enfermo. Si quiere usted conocer las funciones, estudie sus singularidades. Si quiere usted conocer los poliedros ordinarios, estudie sus lindes lunáticas. Es así como se puede llevar el análisis matemático al corazón mismo del problema.

Citado de Imre Lakatos (1994); Pruebas y Refutaciones (La lógica del descubrimiento matemático); Alianza Universidad, tercera reimpresión; Madrid; página 40. A su vez, Lakatos parafrasea un artículo de A. Denjoy, de 1919. Cuando habla del "análisis matemático" no se refiere al Cálculo, sino al "estudio de la Matemática". La frase representa el espíritu de muchas de mis intervenciones en este blog.