Charla

En el Instituto Nacional Superior del Profesorado Técnico (INSPT), Triunvirato 3174, Buenos Aires...

El Omegón y todo eso... (Parte 14)

(A la parte 13 – A la parte 15)

Los ordinales, hoy (continuación)

Queremos recuperar en el contexto de la teoría de Morse-Kelley la construcción de los ordinales de Cantor, y además hacerlo de tal modo que se eviten las paradojas. La idea básica es que, mientras Cantor concebía a los ordinales como números que permitían contar "más allá del infinito", la teoría de Morse-Kelley concibe a los ordinales como conjuntos, y la relación "menor que" de Cantor se reemplaza por la relación "pertenece a". Veamos cómo se hace esto:

Como dijimos en la parte anterior, en la teoría de conjuntos de Morse-Kelley el número 0 se identifica con la clase vacía. Los axiomas de la teoría permiten probar que 0 es, de hecho, un conjunto. Por lo tanto podemos decir que 0 es el conjunto vacío. Además, 0 es el primer ordinal.

El ordinal siguiente al 0 es el 1, que se define como

1 = {0}

Puede probarse que 1 es un conjunto, el conjunto cuyo único elemento es el 0. Por lo tanto 0 pertenece a 1. Observemos también que 0 es un subconjunto de 1.

Los ordinales finitos siguientes 2, 3, 4, 5, 6,... son también todos conjuntos y se definen como:

2 = {0, 1}

3 = {0, 1, 2}

4 = {0, 1, 2, 3}

5 = {0, 1, 2, 3, 4}

6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Y así para todos los ordinales finitos. Notemos que 1 pertenece a 2 (y también pertenece a 3, 4, 5,...). También 1 = {0} es un subconjunto de 2, 3, 4, 5,...

El ordinal 2 pertenece y es subconjunto de 3, 4, 5, 6,...

El ordinal 3 pertenece y es subconjunto de 4, 5, 6, 7,...

Y así sucesivamente.

Observemos también que:

El sucesor de 0 es 0 U {0} = {0} = 1.

El sucesor de 1 es 1 U {1} = {0} U {1} = {0, 1} = 2.

El sucesor de 2 es 2 U {2} = {0, 1} U {2} = {0, 1, 2} = 3.

Etc.

El primer ordinal infinito, omega, se define como la clase (puede probarse que, de hecho, es un conjunto) cuyos elementos son todos los ordinales finitos:

omega = {0, 1, 2, 3, 4,...}

Su sucesor es omega + 1 = omega U {omega} = {0, 1, 2, 3, 4,..., omega}, donde los puntos suspensivos abarcan todos los números naturales desde 5 en adelante. Todos los ordinales finitos son elementos y subconjuntos de omega, que a su vez es elemento y subconjunto de omega + 1.

Recordemos que una de las reglas de construcción de ordinales establecida por Cantor nos decía que a continuación de una secuencia creciente de ordinales consecutivos se "hacía aparecer" un nuevo ordinal. En la teoría de conjuntos ese nuevo ordinal es la clase cuyos elementos son todos los ordinales anteriores.

Pero ¿cómo se define el concepto de ordinal? Para comenzar definimos la noción de clase completa.

Definición: una clase x es completa si todo elemento de x es también un subconjunto de x.

Para entender esta definición debemos recordar primero que en esta teoría todos los objetos considerados son clases y que no existe la distinción habitual entre elementos individuales y clases (o conjuntos).

En segundo lugar observemos que si x = {1}, entonces 1 es elemento de x, pero 1 no es subconjunto de x, porque 1 = {0} y 0 no es elemento de x. Por lo tanto {1} no es completo. Todos los ordinales mostrados más arriba, en cambio, sí son completos.

Definición: una ordinal es una clase completa que está bien ordenada por la relación de pertenencia.

Es decir, si x es un ordinal y consideramos la relación de pertenencia, definida entre los elementos de x, entonces x resulta ser bien ordenado por esa relación. Veamos cómo esta definición nos permite ir obteniendo, uno tras otro, los sucesivos ordinales 0, 1, 2, 3,...:

Supongamos que x es un ordinal. Si x es 0 entonces está al comienzo de la secuencia. Veamos que si no es 0 entonces es mayor o igual que 1 (es decir, o es igual a 1 o el 1 es elemento de x, recordemos que aquí "menor" equivale a "pertenece").

Supongamos que x es no vacío, como es bien ordenado por la relación de pertenencia entonces tiene un mínimo. Sea y esa mínimo. Como x es completo e y es un elemento de x entonces y es un subconjunto de x.

Supongamos que y fuera no vacío, existiría en consecuencia algún z tal que z pertenece a y.

Entonces: z pertenece a x (porque pertenece a y, que es subconjunto de x), pero también pertenece a y, es decir "es menor que y", pero y el mínimo de x (no puede haber elementos menores que él). Esto es un absurdo, luego z no puede existir. Es decir, y = 0.

En resumen, si x es un ordinal no vacío entonces 0 pertenece a x. En otras palabras, x es mayor que 0 y {0} = 1 es un subconjunto de x.

Ahora bien, x podría ser el 1, o no. Si x es 1, entonces sigue al 0 en la secuencia de ordinales.

Si x no es 1 tomamos el mínimo de x - {0} y un razonamiento similar al anterior nos permitirá probar que, en ese caso, si x es mayor o igual que 2. Ahora bien, si x no es 2, un razonamiento similar nos permitirá probar que es mayor o igual que 3. Etc.

En la próxima parte veremos cómo esta definición conjuntista de los ordinales nos permite evitar la paradoja de Burali-Forti.

(A la parte 13 – A la parte 15)

Los Números Surreales (Cap. 3)

Algunas observaciones sobre la suma

y el segundo paso

En el capítulo anterior decíamos que se puede probar, por inducción, que la suma de números surreales es una operación asociativa y conmutativa. Esto es verdad, sin embargo la prueba, cuando uno quiere escribirla con todo detalle, presenta una o dos complicaciones inesperadas. De todos modos, no es mi intención internarme aquí en detalles técnicos, sino comentar solamente algunas de las ideas más importantes relativas a los números surreales, por lo que, en adelante, omitiré las demostraciones cuando éstas sean complicadas.

Por otra parte, previamente a la prueba de la asociatividad y la conmutatividad de la suma, habría que probar el hecho de que la suma es una operación válida. Es decir, que si x e y son números surreales (ambos cumplen las condiciones indicadas en la regla 1), entonces x + y también cumple esas mismas restricciones. Como en el caso de la asociatividad y de la conmutatividad de la suma, aceptaremos este hecho sin adentrarnos en su demostración.

Vayamos ahora al segundo paso. En el primer paso obtuvimos el número surreal que hemos llamado 0 (dado que es el neutro de la suma). En el segundo paso podemos formar dos nuevos números que, por el momento, llamaremos alfa y beta:

alfa = ({0},{})

beta = ({},{0})

Notemos que la construcción ({0},{0}) no define un número porque en ella el elemento del conjunto de la izquierda es mayor o igual que el elemento del conjunto de la derecha (y en consecuencia se viola la restricción de la regla 1).

Recordemos que, según la regla 2, un número es menor o igual que otro si y sólo si ningún elemento del conjunto izquierdo del primer número es mayor o igual que el segundo número y ningún elemento del conjunto derecho del segundo número es menor o igual que el primer número.

Tenemos entonces que beta = ({},{0}) es menor o igual que 0 = ({},{}) y que 0 = ({},{}) es menor o igual que alfa = ({0},{}).

En cambio 0 = ({},{}) no es menor o igual que beta = ({},{0}) ya que el elemento del conjunto derecho del segundo número es mayor o igual que el primer número. Por la misma razón alfa no es menor o igual que 0. Podemos decir entonces que: alfa > 0 > beta.

Recordemos también que si x = (A,B) e y = (C,D) entonces x + y es el número surreal cuyos dos conjuntos se definen de la siguiente manera: en el conjunto izquierdo de la suma aparecen todas las sumas de la forma a + y y también todas las sumas de la forma c + x. En el conjunto derecho de la suma aparecen todas las sumas de la forma b + y y también todas las sumas de la forma d + x. (Indicamos como a un elemento genérico del conjunto A, lo mismo para B, C, D.)

Según esta definición, alfa + beta = ({beta},{alfa}).

Aquí se ve una de las dificultades que aparecen al hacer demostraciones sobre la suma: aunque alfa y beta son números creados en el paso 1, su suma, en cambio, es un número que sólo puede ser definido en el paso 2 (este detalle complica las demostraciones por inducción en las que uno necesita basarse en lo que sucede en los pasos previos).

Para determinar quién es alfa + beta debemos apelar a un teorema que se demuestra en el libro de Knuth, y que es fundamental para todo lo que haremos en adelante.

Teorema: si x = (A,B) entonces x es estrictamente mayor que todos los números de A y estrictamente menor que todos los números de B. Más aún, x es el número más antiguo que cumple esa condición (donde "más antiguo" quiere decir "el que es creado en el paso de menor número posible").

Este teorema no dice que, dado que alfa > 0 > beta, entonces ({beta},{alfa}) = 0. Es decir, ({beta},{alfa}) es otra representación del número 0, de la misma forma que en la aritmética usual 7/14 es otra representación del número 1/2.

Podemos decir entonces que -beta = alfa y que, en general, para todo número positivo x vale que ({-x},{x}) = 0. En el próximo capítulo identificaremos exactamente quién es alfa.

(Continuará...)

El Omegón y todo eso... (Parte 13)

(A la parte 12 – A la parte 14)

Los ordinales, hoy

Como decíamos ayer, la teoría de conjuntos (en particular, la teoría de los ordinales), tal como fue planteada por Georg Cantor , resultó ser inconsistente (1). Esto quedó demostrado por la existencia de la paradoja del mayor ordinal posible (la mal llamada Paradoja de Burali-Forti, discutida en el capítulo anterior) y también por la paradoja de Russell del conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos.

Cantor intentó solucionar estos problemas mediante un argumento filosófico-teológico según el cual existen dos niveles de infinitud: el nivel transfinito y el nivel de la infinitud absoluta. El primero, según Cantor, es el único accesible a la mente humana. Cantor aseguraba que toda su teoría de ordinales y cardinales se enmarcaba en este nivel.

Por el contrario, decía Cantor, la comprensión del nivel absoluto estaba sólo reservada a Dios y era inaccesible al ser humano. En este nivel se encontraban conceptos tales como "el conjunto de todos los conjuntos" y "el mayor de todos los ordinales". Las paradojas que se derivan de estos conceptos, siempre según Cantor, sólo son aparentes y resultan ser el fruto de nuestras propias limitaciones (2).

Esta "explicación", además, calmaba los escrúpulos religiosos de Cantor. Como ya dijimos antes, hasta el siglo XIX muchos teólogos consideraban que el infinito era un concepto esencialmente divino y que pretender comprenderlo constituía una herejía. Cantor, quien era profundamente religioso, estuvo durante mucho tiempo muy incómodo con la idea de ser un hereje. La concepción de que, después de todo, habría un parte del infinito inaccesible a la mente humana lo reconciliaba de alguna manera consigo mismo.

La verdad es que esta explicación filosófico-teológica no convenció a ningún matemático, ni siquiera a los dos más grandes defensores de Cantor, David Hilbert y Richard Dedekind, y es así como los problemas de la teoría de Cantor quedaron sin resolver durante varios años (en la década de 1920 David Hilbert todavía planteaba la comprensión del infinito como uno de los mayores desafíos para el honor de espíritu humano).

En los primeros años del siglo XX Bertrand Russell intentó una solución mediante una reformulación de las reglas del lenguaje lógico-matemático que, de ser aplicadas, se suponía, eliminarían todas las paradojas conocidas hasta ese momento. Lamentablemente, por razones demasiado extensas para explicarlas aquí, la idea de Russell falló.

La solución (al menos la solución hasta ahora aceptada) provino del enfoque axiomático y consistió específicamente en el planteo de una teoría axiomática de conjuntos. En realidad, decir "una" teoría de conjuntos es inexacto. Aunque la teoría más "popular" entre los matemáticos es la llamada teoría de Zermelo-Fraenkel, se han propuesto muchas teorías de conjuntos, no todas equivalentes entre sí.

Mi intención es desarrollar a continuación algunos de los puntos principales de la llamada teoría de conjuntos de Morse-Kelley, haciendo especial hincapié en la definición de los ordinales y en cómo se eliminan las paradojas que aparecen en la teoría de Cantor. (Al hablar de los ordinales, me basaré en la exposición que se hace en el apéndice del libro de John L. Kelley, Topología General, Eudeba, Buenos Aires, 1975.) Aunque hablaré de la teoría de Morse-Kelley, casi todo lo que diré (tal vez todo) es común a casi todas (tal vez a todas) las teorías de conjuntos existentes actualmente.

Para comenzar, digamos que todas las teorías de conjuntos actuales eliminan las paradojas (por ejemplo la de Russell o la de Burali-Forti) mediante un truco de lenguaje que (curiosamente, o no) tiene reminiscencias de la explicación filosófico-teológica de Cantor. El truco consiste esencialmente en hacer una distinción entre clases y conjuntos.

A toda propiedad (entendamos la palabra "propiedad" en su sentido intuitivo) le corresponde una clase: la clase de todos los objetos que cumplen esa propiedad. Ahora bien, antes de continuar es importante decir que en casi todas las teorías de conjuntos actuales todos los objetos de la teoría son clases. Es decir, la distinción "tradicional" entre clases y elementos no existe. Insisto, todas son clases, sólo que algunas clases son elementos de otras clases más grandes.

Por ejemplo, en la teoría de Morse-Kelley el número 0 se define como la clase vacía (que es la clase definida por la propiedad "x es distinto de x"). Observemos que 0 no se define como el cardinal de la clase vacía (como habría hecho Cantor), sino que es esa clase. 0 es un nombre para la clase vacía.

¿Qué es un conjunto? Un conjunto es un caso particular de clase. Una clase es un conjunto si pertenece a una clase más grande. Tenemos entonces que las clases se dividen en dos tipos, por una lado están los conjuntos, que son clases que son miembros (o elementos) de clases más grandes y por otro lado están las clases propias, que no son miembros de clases más grandes. (Cantor, probablemente, hubiera identificado a las primeras con "lo transfinito" y a las segundas con "lo absoluto".) Por ejemplo, la clase universal (la clase que contiene a todo, definida por la propiedad "x = x") es una clase propia.

Dijimos antes que a cada propiedad P le corresponde una clase C. La definición dice que:

"x pertenece a C si y sólo si (x cumple P y x es un conjunto)"

¿Cómo sirve esta distinción para evitar, por ejemplo, la paradoja de Russell? En la teoría intuitiva de conjuntos (nombre que actualmente se la da a la teoría de conjuntos de Cantor) a cada propiedad simplemente le corresponde un conjunto. Si a la propiedad P le correspondiera el conjunto C diríamos que:

"x pertenece a C si y sólo si x cumple P"

Tomemos, como hizo Russell, la propiedad "x no pertenece a x" y llamemos R al conjunto que le corresponde. Luego:

"x pertenece a R si y sólo si x no pertenece a x"

La teoría intuitiva nos dice que la afirmación anterior es verdadera cualquiera sea el valor que le asignemos a x. Tomemos, por ejemplo, x = R. Tenemos así que la teoría nos dice que es verdad que:

"R pertenece a R si y sólo si R no pertenece a R"

Pero la lógica elemental nos dice que esta afirmación es ipso facto falsa. La teoría intuitiva de conjuntos nos conduce entonces a una falsedad y es, por lo tanto, contradictoria.

Ahora bien ¿qué diría ante esta situación una teoría moderna de conjuntos? ¿Cómo elude la paradoja? Tomemos la misma propiedad de antes, "x no pertenece a x" y sea R la clase que le corresponde. La definición que da una teoría de conjuntos actual nos dice que, cualquiera sea x, vale que:

"x pertenece a R si y sólo si ((x no pertenece a x) y (x es un conjunto))"

Como antes, tomemos x = R. Es verdad entonces que:

"R pertenece a R si y sólo si ((R no pertenece a R) y (R es un conjunto))"

Y no hay paradoja porque esta afirmación no es contradictoria en sí misma. Más aún, del hecho de que esta afirmación es verdad se deduce que R no pertenece a sí misma y que R no es un conjunto. Es decir, R es una clase propia.

Vemos así como las modernas teorías de conjuntos evitan (mediante un truco de lenguaje) la paradoja de Russell. Veremos en la próxima cómo definen los ordinales y cómo evitan (de manera similar) la paradoja de Burali-Forti.

Notas:

(1) En su libro Comprendiendo el Infinito (Fondo de Cultura Económica, México DF, 2005), Shaughan Levine sostiene la tesis de que la teoría de Cantor era consistente y que las contradicciones que se achacan aparecen solamente si se aplica la teoría a situaciones que Cantor no contemplaba (es decir, la teoría es consistente si nos limitamos a lo que Cantor llamaba "lo transfinito"). Sin embargo, creo que Levine se equivoca. La teoría de Cantor es inconsistente. Por supuesto, si ante cada incosistencia nos limitamos a decir "ese caso no lo tomo en cuenta" entonces cualquier teoría (aun la más absurda) puede ser defendida como consistente.

(2) En 1904 Cantor le escribió una carta a Bertrand Russell usando este argumento como intento de refutación de su paradoja del conjunto de los conjuntos que no pertenecen a sí mismos. No sabemos si Russell le respondió. (La carta de Cantor está reproducida en el libro citado en la nota anterior.)

(A la parte 12 – A la parte 14)

Revista Axioma

En este enlace están ya disponibles los números 0 al 6 de Axioma, revista para profesores y estudiantes de matemática. Próximamente estarán también disponibles los números del 7 al 19, que completan la colección de números publicados.

Los Números Surreales (Cap. 2)

El primer paso y la suma

Para comenzar recordemos las dos reglas de construcción de los números surreales:

Regla 1: cada número surreal corresponde a dos conjuntos de números preexistentes tales que ningún elemento del conjunto izquierdo es mayor o igual que algún elemento del conjunto derecho.

Regla 2: un número es menor o igual que otro si y sólo si ningún elemento del conjunto izquierdo del primer número es mayor o igual que el segundo número y ningún elemento del conjunto derecho del segundo número es menor o igual que el primer número.

Como dijimos en el capítulo anterior, los números surreales se van construyendo en pasos sucesivos. Cada número surreal, como dice la regla 1, se define como un par de conjuntos cuyos elementos son, a su vez, números surreales creados en pasos previos.

Vayamos ahora al primero de estos pasos. Al enfrentarnos al primer paso todavía no tenemos números construidos por lo que el único conjunto que podemos tomar es el conjunto vacío, que indicaremos como {}. En el primer paso, entonces, sólo podemos definir el número surreal ({},{}), que, provisionalmente, llamaremos ?:

? = ({},{})

La regla 1 dice que ningún miembro del conjunto izquierdo puede ser mayor o igual que algún miembro del conjunto derecho. En efecto, ({},{}) cumple esta condición ya que no hay modo de hallar un elemento del conjunto izquierdo que sea mayor o igual que alguno del derecho. Un razonamiento similar nos permite probar (a partir de la regla 2) que ? es mayor o igual que sí mismo.

Para identificar a ? con un poco más de precisión necesitamos definir la operación de suma entre números surreales.

Suma: Si x = (A,B) e y = (C,D) entonces x + y es el número surreal z cuyos dos conjuntos se definen de la siguiente manera (indicamos como a un elemento genérico del conjunto A, lo mismo para B, C, D):

En el conjunto izquierdo de z aparecen todas las sumas de la forma a + y (es decir, todos los resultados que se obtiene al sumarle y a los elementos de A) y también todas las sumas de la forma c + x. (Se le suma x a los elementos izquierdos de y, y se le suma y a los elementos izquierdos de x.)

En el conjunto derecho de z aparecen todas las sumas de la forma b + y y también todas las sumas de la forma d + x.

Por inducción en el número de paso en que cada número ha sido creado, puede probarse que esta suma es (como toda suma debe ser) una operación asociativa y conmutativa.

Observemos también que si, por ejemplo, A es vacío entonces los elementos de la forma a + y simplemente no existen. Con esta consideración en mente es fácil ver que ? + ? = ?. Más aún, si x es un número surreal cualquiera puede probarse (nuevamente, por inducción en el número de paso en que x ha sido creado) que x + ? = x. Es decir, ? es el neutro de la suma y esto justifica que identifiquemos a ? con el símbolo 0:

0 = ({},{})

({},{}) es el número surreal 0 ¿Qué relación existe entre este número surreal 0 y el número real 0? Exploraremos esta pregunta más adelante.

(Continuará...)