El Omegón y todo eso... (Parte 12)

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La (mal llamada) Paradoja de Burali–Forti

En las últimas entradas hemos venido desarrollando la teoría de los ordinales tal como Cantor la concibió (y tal como él mismo la expuso, principalmente en sendos artículos publicados en 1883, 1895 y 1897 respectivamente). Vamos a ver ahora que la teoría de Cantor es inconsistente, es decir, que las definiciones y resultados que hemos venido exponiendo conducen a una contradicción lógica.

Hemos dicho que a todo conjunto bien ordenado le corresponde un ordinal. Ahora bien, el conjunto de todos los ordinales es bien ordenado y por lo tanto le corresponde también un ordinal, llamémoslo $\alpha $.

Sea ahora $\beta $ un ordinal cualquiera. Como S($\beta $) es un subconjunto del conjunto de todos los ordinales entonces $\alpha $ es mayor que el ordinal de S($\beta $). Pero a su vez el ordinal de S($\beta $) es, según hemos demostrado, el mismo $\beta $ y entonces $\beta <\alpha $. Como $\beta $ era un ordinal cualquiera, hemos probado que $\alpha $ es mayor que cualquier otro ordinal y en particular, $\alpha $ es mayor que $\alpha +1$.

Pero al mismo tiempo $\alpha $ es menor que $\alpha +1$ (porque todo ordinal es menor que su sucesor). Esto es imposible pues hemos probado que no puede suceder que $\gamma <\delta $ y $\delta <\gamma $ al mismo tiempo (donde $\gamma $ y $\delta $ son ordinales cualesquiera). Tenemos aquí la contradicción, es decir, la teoría de los ordinales, tal como la hemos venido desarrollando, es inconsistente.

Esta contradicción aparece en el listado de paradojas de la Lógica y la Teoría de Conjuntos que Bertrand Russell expone en los primeros capítulos de Principia Matemática (libro escrito por Bertrand Russell y Alfred Whitehead a principios del siglo XX). En esa recopilación Russell le atribuye el descubrimiento de la paradoja a Césare Burali-Forti y es así que desde entonces es conocida como la Paradoja de Burali-Forti.

La atribución de Russell, sin embargo, no es exacta. Es verdad que en 1897 el matemático italiano Césare Burali-Forti publicó un artículo en el que consideraba el ordinal del conjunto de todos los ordinales y llegaba a la conclusión de que este ordinal tenía que ser al mismo tiempo mayor y menor que su sucesor. Pero Burali-Forti no deducía de ello que la teoría de Cantor era contradictoria. Su conclusión era que Cantor se equivocaba al afirmar (tal como había hecho en 1895) que, dados dos ordinales, siempre sucedía que uno de ellos era mayor que el otro. Según Burali-Forti debían de existir pares de ordinales que no fueran comparables entre sí.

Más aún, Burali-Forti usa en su artículo una definición errónea del concepto de conjunto bien ordenado. Tal vez él mismo se dio cuenta posteriormente de este error, o tal vez alguien más se lo hizo notar, pero el caso es que meses después de su artículo original el propio Burali-Forti publicó un anexo en el que reconocía su error y agregaba que si se tomara la definición correcta de conjunto bien ordenado entonces la contradicción tal vez desapareciera. De modo que no parece correcta la afirmación de que Burali-Forti halló una contradicción en la teoría de Cantor.

Ahora bien, sí hubo quien halló esa contradicción, y que además la halló antes que Burali-Forti: el primero en descubrir la Paradoja de Burali-Forti fue nada menos que el propio Georg Cantor, quien la expuso en varias cartas intercambiadas con Richard Dedekind y David Hilbert en el año 1895.

Hay que decir antes que nada que Cantor no sintió preocupación al descubrir la paradoja, muy por el contrario, puede decirse que sintió alegría. Veamos por qué:

Como ya dijimos alguna vez, a lo largo de casi toda la historia del pensamiento humano (al menos desde Aristóteles y hasta fines del siglo XIX) la idea de que fuera posible concebir o estudiar el infinito fue unánimemente rechazada. Una razón no menor para este rechazo era de orden teológico: el hombre es un ser finito que sólo puede conocer la finitud y el conocimiento de la infinitud está reservado exclusivamente a Dios. Pretender que el hombre es capaz de conocer el infinito era considerado una herejía. Ahora bien, Cantor era un hombre profundamente religioso y esta idea pesaba en su ánimo al desarrollar la teoría de los conjuntos infinitos.

El descubrimiento de la paradoja del ordinal del conjunto de todos los ordinales hizo que Cantor se reconciliara con esa visión teológica. Según él lo entendía, el descubrimiento de la paradoja indicaba que al considerar el ordinal de todos los ordinales se llegaba a una parte de la teoría que estaba reservada a Dios y que la paradoja era una consecuencia del hecho de que nuestra mente finita no podía aprehender esa parte de la teoría.

Cantor tenía la idea de que su teoría de conjuntos tenía tres niveles o jerarquías: por una parte estarían los conjuntos finitos; en segundo lugar estarían los conjuntos transfinitos, algo así como conjuntos infinitos de menor cuantía, accesibles al entendimiento humano. Por último estarían los absolutos (o El Absoluto), formado por conjuntos infinitos “más grandes” (como el conjunto de todos los ordinales o el conjunto de todos los conjuntos) cuyo conocimiento estaría reservado a Dios y que serían inaccesibles a la mente humana, por este motivo, cuando queremos razonar acerca de ellos se nos aparecen como inconsistentes. De esta forma Cantor reconcilia su teoría con la objeción teológica, pues aún habría conceptos reservados a Dios.

En 1895, en su correspondencia con Dedekind y Hilbert, Cantor habla de “conjuntos consistentes” y “conjuntos inconsistentes”. Una serie de individuos forma un conjunto inconsistente si estos individuos no pueden reunirse en una totalidad, pues si se considera el conjunto formado por todos ellos se llega a una contradicción (tal el caso, por supuesto, del conjunto de todos los ordinales). Cantor llega incluso a demostrar el siguiente “teorema”: si A es coordinable con B y A es inconsistente entonces B también es inconsistente.

¿Es válido ese enunciado? ¿Es correcto razonar sobre conjuntos cuya definición dice que al razonar sobre ellos se llega a una contradicción? ¿Es válida una definición así? Aunque el libro del que he leído las cartas de Cantor (véase la nota bibliográfica más abajo) no reproduce las respuestas de Hilbert ni de Dedekind, queda claro de lo que Cantor escribe que ninguno de los otros dos encontraban plausible la idea de los “conjuntos inconsistentes”. Hay que decir que en realidad esta idea de Cantor nunca fue aceptada y que la Teoría de Conjuntos tuvo que se modificada para eliminar la paradoja de Burali-Forti (y otras halladas después, como la Paradoja de Russell). La solución finalmente aceptada (al menos hasta ahora) es el resultado del trabajo de muchos matemáticos (E. Zermelo, A. Fraenkel entre otros) y será el tema de la entrada siguiente.

Notas históricas:

1) Muy probablemente ya en 1883 Cantor tenía al menos alguna intuición acerca de la paradoja del ordinal de todos los ordinales. En su artículo de ese año Cantor da una primera definición constructiva del concepto de ordinal. Los ordinales, según Cantor, se crearían según dos reglas de formación (una: cada ordinal tiene un sucesor, y dos: toda sucesión de ordinales tiene uno que es más grande que todos ellos). Pero a esas dos reglas le agrega una tercera, una regla de limitación, cuyo enunciado no es muy claro (y que nunca es usada en el artículo). Según esta tercera regla en algunos casos no sería posible crear un nuevo ordinal a partir de otros dados previamente. Probablemente Cantor ya sabía (o intuía) que surgirían problemas al considerar ordinales de conjuntos “muy grandes”.

2) En 1897 Gottlob Frege estaba en plena tarea de fundar la Aritmética en la Teoría de Conjuntos. Cuenta la historia que en el Primer Congreso Internacional de Matemáticas celebrado en Suiza en ese año Hilbert le contó a Frege acerca de la (después conocida como) Paradoja de Burali-Forti. Frege, que le criticaba a Cantor la imprecisión del lenguaje que usaba, consideró que un lenguaje más preciso haría que la paradoja desapareciera por sí misma. Cinco años más tarde Russell le escribía a Frege una carta en la que le comunicaba la hoy conocida como Paradoja de Russell. Después de leer esta carta Frege consideró que todo su trabajo de años se había derrumbado por completo desde su misma base. De haberle prestado más atención a Hilbert, tal vez Frege se habría ahorrado cinco años de trabajo.

Notas bibliográficas:

1) El artículo original de Burali-Forti junto con la aclaración posterior así como la carta de Russell a Frege y la respuesta de éste aparecen reproducidos en el libro de Jean van HEIJENOORT (Compilador), “From Frege to Gödel. (A source book in mathematical logic, 1879 – 1931)”, Harvard University Press, 1977.

2) El artículo original del Cantor de 1883 y parte de la correspondencia de Cantor con Dedekind y Hilbert puede verse en el libro “Fundamentos para una Teoría General de Conjuntos. Escritos y correspondencia selecta”, compilado José Ferreirós, Crítica, 2006.

3) Los artículos de Cantor de 1895 y 1897 están reproducidos en “Contributions to the founding of the theory of transfinite numbers”, Dover Publications Inc., Nueva York, 1955.

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