Georg Cantor nació en San Petersburgo (ex Leningrado, ex San Petersburgo) en 1845. Cuando todavía era un niño su familia se trasladó a Alemania y Cantor estudió, creció y vivió toda su vida en ese país. Más exactamente, Georg estudió Matemáticas en la Universidad de Berlín (una de las mejores del mundo para estudiar Matemáticas en aquella época) y hacia 1870 publicó sus primeras investigaciones, dirigidas por Leopold Kronecker, en el campo de la Teoría de Números.
Dicen que, aunque correctos, esos primeros trabajos no presagiaban la existencia un pensamiento particularmente creativo u original. Tanto es así que, poco tiempo después, Cantor se trasladó a la Universidad de Halle, de menor categoría que Berlín, al menos en aquella época, donde comenzó a trabajar bajo la dirección de Eduard Heine.
¿Quién era Eduard Heine? Para responder a esta pregunta, hagamos un pequeño paréntesis:
Cuando, a fines del siglo XVII, Newton y Leibniz crearon el Cálculo Diferencial, ninguno de los dos pudo dar (a pesar de que lo intentaron) una explicación lógica, convincente, clara y concreta que justificara la validez de los métodos que presentaban (tal vez porque se adelantaron a su propia época y las Matemáticas de su tiempo no estaban suficientemente maduras como para sustentar esa explicación). Durante décadas la única justificación para el uso de los métodos del Cálculo fue puramente pragmática: en la práctica, a la hora de calcular áreas o rectas tangentes, estos métodos funcionaban maravillosamente y resolvían problemas que ningún otro podía resolver.
Ahora bien, con el transcurrir del siglo XVIII los métodos del Cálculo empezaron a volverse cada vez más complejos, a la vez que (y precisamente por ese motivo) se volvían más dudosos en su validez. Por ejemplo, a mediados de ese siglo, Leonhard Euler, el mago de las sumas infinitas, dedujo la expresión de la serie que permite calcular el coseno de cualquier número mediante un razonamiento en el transcurso del cual se afirmaba que el producto de un número infinitamente grande por un número infinitamente pequeño da como resultado un número cualquiera "de tamaño finito".
A principios del siglo XIX la situación se había vuelto insostenible. Nadie sabía por qué, cuándo o cómo los métodos que se usaban en el Cálculo eran realmente válidos. D'Alembert, por ejemplo, consolaba a sus alumnos diciéndoles que si perseveraban lo suficiente tarde o temprano "la fe les llegaría".
Es así que, a lo largo del siglo XIX surge lo que posteriormente se dio en llamar el Movimiento Crítico de la Matemática, una corriente de investigaciones dirigidas a resolver el problema de los fundamentos del Cálculo. Matemáticos que formaron parte de este movimiento fueron Cauchy, Bolzano, Riemann, Weierstrass, Dedekind, Abel, ...un largo etcétera..., Heine y Cantor.
En los años previos a la llegada de Cantor a Halle, Heine había estado lidiando con el siguiente problema: ¿es única su descomposición en Serie de Fourier de una función periódica? Una función periódica representa una onda que se repite periódicamente. A principios del siglo XIX Joseph Fourier (matemático francés, ministro de Napoleón) descubrió un método que consiste en descomponer esa onda en una suma infinita (una serie) de ondas fundamentales (representadas por senos y cosenos). La pregunta de Heine era si esa descomposición es única o si, por el contrario, existirá alguna onda que admite dos o más descomposiciones diferentes.
Heine llamó "puntos singulares" de la función periódica a aquellos puntos donde la onda tiene saltos (puntos de discontinuidad de la función) o a aquellos donde la serie de Fourier da una suma infinita (es divergente) y probó que si, en cada período, hay una cantidad finita de puntos singulares entonces, en efecto, su descomposición en serie de Fourier es única.
Cuando, a principios de la década de 1870, Cantor llegó a Halle ansioso, imaginamos, por tener un problema para trabajar en él, Heine le propuso lo siguiente: que investigara si la descomposición en serie de Fourier seguía siendo única aun cuando la cantidad de puntos singulares en cada período fuera infinita. Cantor comenzó a trabajar en ese problema y pocos meses después tenía una primera respuesta...
(Continuará.)
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