19.11.10

El Omegón y todo eso... (Parte 15)

(A la parte 14A la parte 16)

Los ordinales, hoy (y la paradoja de Burali-Forti)

Recordemos que la mal llamada Paradoja de Burali-Forti ("mal llamada" porque en verdad fue descubierta por el mismo Cantor) surge al considerar las dos afirmaciones siguientes:

a) Todo ordinal tiene un sucesor.
b) El conjunto de todos los ordinales, que también es un ordinal, es el mayor de todos los ordinales y, por ende, no tiene sucesor.

En las afirmaciones anteriores la palabra "conjunto" se usa en el sentido que se le da en la teoría de Cantor, también llamada teoría intuitiva de conjuntos, y en la que, hablando informalmente, a cada propiedad se le asocia el conjunto de todos los objetos que cumplen esa propiedad (entendiendo la palabra "objeto" en el sentido más amplio posible).

Como decíamos en los dos capítulos anteriores, en las modernas teorías de conjuntos (todas aquellas que surgieron en las primeras décadas del siglo XX para subsanar las contradicciones de la teoría de Cantor) se hace una distinción entre "clase" y "conjunto". A cada propiedad se le asocia la clase de todos los objetos que cumplen esa propiedad y se reserva la palabra conjunto para designar a una clase que es elemento de alguna clase más grande. Las clases que no son elementos de una clase mayor se denominan clases propias. (Todas estas teorías incluyen, además, algún axioma que impide que una clase sea elemento de sí misma.)

Vimos en el capítulo anterior cómo esta simple distinción entre clases propias y conjuntos evitaba la Paradoja de Russell. Veamos ahora cómo evita la Paradoja de Burali Forti. La solución para esta paradoja resulta ser casi decepcionantemente simple y consiste en observar que, a partir de la definición de ordinal que que se da en el contexto de las modernas teorías de conjuntos, puede probarse que:

a) Todo ordinal, si es un conjunto, tiene un sucesor.
b) La clase de todos los ordinales es una clase propia y no tiene un sucesor. (De hecho, si se "calcula" el sucesor de esta clase se obtiene la clase universal, que no es un ordinal.)
c) El único ordinal que es una clase propia es la clase de todos los ordinales.

Y la paradoja, así de simple, desapareció... De este modo, sin traicionar el espíritu de la idea original de Cantor, se obtiene una teoría para los ordinales que está libre de paradojas... O, mejor dicho, que está libre de paradojas hasta donde se sabe. Porque nada impide que, quizás en este mismo momento, un Bertrand Russell del siglo XXI esté descubriendo la paradoja que tendrá a mal traer a los matemáticos del futuro...

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