El Omegón y todo eso... (Parte 17 ¿y final?)

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El comienzo y el fin

Decíamos en el capítulo anterior que, a principios de la década de 1870, Georg Cantor llegó a Halle. Cantor comenzó a trabajar bajo la dirección de Eduard Heine quien le propuso el siguiente problema: ¿es única la descomposición en serie de Fourier de una función periódica, aun cuando ésta tenga, en cada período, una cantidad infinita de puntos singulares? (Heine había probado que la respuesta es positiva cuando la cantidad de puntos singulares es finita.)

Pocos meses después, hacia 1872, Cantor obtuvo una primera respuesta: la descomposición es única siempre y cuando los puntos singulares de la función estén distribuidos en la recta real de una determinada manera. Pero Cantor no encontró, en principio, un modo claro y preciso de exponer qué condiciones debía cumplir esa distribución.

Como un teorema no sólo debe ser demostrado, sino que esa demostración deben estar escrita de modo que sea comprensible [las demostraciones las escriben y las leen seres humanos], Cantor se dedicó al problema, esencialmente lingüístico, de hallar un modo de exponer claramente cuáles eran las hipótesis que debía cumplir el conjunto de puntos singulares para que la descomposición en serie de Fourier fuese única. Y fue en el transcurso de la resolución de ese problema que Cantor creó un concepto que más tarde haría carrera en la Matemática: el concepto de punto de acumulación.

No es necesario dar aquí una definición precisa de este concepto (en este enlace hay una muy breve explicación - en esta entrada se amplía). Baste decir que, dado un conjunto P de números reales, se puede definir (la terminología y notación son de Cantor) un conjunto $P^{\prime }$, que es llamado el conjunto derivado de P, y que contiene a todos los puntos de acumulación de P. Este conjunto $P^{\prime }$ puede ser igual a P, o puede contener a P, o puede ser el conjunto vacío, etc. Por ejemplo, si P = [0,1], entonces $P^{\prime }$ resulta ser el mismo conjunto [0,1].

Pero también podemos calcular el derivado de $P^{\prime }$, que, por supuesto, se escribe $P^{\prime \prime }$. Y el derivado del derivado del derivado, $P^{\prime \prime \prime }$, etc. En el caso de P = [0,1] todos estos derivados sucesivos siguen siendo el [0,1], pero en otros casos se obtienen conjuntos diferentes. Por ejemplo, si $P = \{ 0,1,\frac{1}{2} ,\frac{1}{3}, \frac{1}{4} ,\dots \} $ entonces $P^{\prime } = \{ 0 \} $ y $P^{\prime \prime }$ es el conjunto vacío.

Cantor observó que en algunos casos estas derivaciones sucesivas terminaban en el conjunto vacío (como en el segundo ejemplo), mientras que en otros casos esto nunca sucedía (como en el caso del [0,1]). Cantor llamó conjuntos de primer tipo a los primeros y de segundo tipo a los segundos. Y enunció su teorema así: si los puntos singulares de una función periódica forman un conjunto de primer tipo entones su escritura en serie de Fourier es única. Dado que los conjuntos finitos resultan ser de primer tipo, el resultado de Cantor incluía como caso particular al de Heine.

Pero Cantor no se quedó conforme con este resultado y siguió pensando. Observó que este en este proceso de derivadas sucesivas podía definirse una especie de "derivada infinita": el límite de $P^(n)$ (derivado n-ésimo de P) con n tendiendo al infinito. Sin embargo, hasta aquí, todavía, no estaba haciendo un uso "peligroso" del infinito, aún estaba en el terreno familiar del infinito potencial, el infinito "del límite". Sin embargo, estaba al borde de su gran descubrimiento, el cual se produjo cuando, en un momento dado, encontró un ejemplo de un conjunto $P$ tal que $P^{(\infty )}= \{ 0\} $... y por lo tanto, $(P^{(\infty )} )^\prime = P^{(\infty +1)} = \{ 0\} ^\prime $ = vacío.

¿Qué era este $\infty +1$? Ya no era el infinito potencial, el del límite, porque para el límite tanto $\infty $ como $\infty +1$ son lo mismo. Pero en este caso no era así, ya que $P^{(\infty )}$ y $P^{(\infty +1)}$ eran conjuntos diferentes. Se trataba entonces de un nuevo concepto de infinito.

Debió ser muy traumático para Cantor el encontrarse cara a cara con el por tantos siglos prohibido y temido infinito potencial. Tanto es así que tardó diez años aceptar que lo que tenía entre manos era nada más, ni nada menos, que un modo de contar más allá del infinito. Y cuando finalmente lo aceptó, en 1883, publicó un artículo titulado Fudamentos para una Teoría General de Conjuntos, donde Cantor incluye su tan citada frase: "fui llevado por la lógica de mis investigaciones a romper con tradiciones que me habían enseñado a respetar" [algunas traducciones dicen "venerar"]. En ese trabajo, además, cambió el símbolo habitual del infinito (el "ocho acostado") por la letra griega omega, para resaltar así que "su" infinito no era el del límite. En ese trabajo, además, bautizó como "ordinales" a estos nuevos "números infinito" y dio comienzo la historia que aquí hemos narrado.

Y aquí termina la historia, o quizás comienza, porque las paradojas de la teoría de Cantor llevaron a la Crisis de los Fundamentos, al Programa de Hilbert, al Teorema de Gödel, a las Máquinas de Turing, a los trabajos de Frege, al Intuicionismo de Brouwer,... Queda en la voluntad del lector el internarse en ese laberinto, un laberinto del que aquí hemos mostrado solamente la entrada y que, por suerte, no tiene salida.

¿Fin? - parece que no...

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