Seis amigos en una fotografía
Seis personas se colocan en fila para que les tomen una foto. ¿Cuántas fotografías diferentes puede haber? Si las seis personas son en realidad tres parejas de hermanos ¿en cuántos casos sucede que los hermanos quedan siempre juntos? (Debemos aclarar que no hablamos aquí de una “selfi tumultuosa”, sino de seis personas que se ubican prolijamente en fila para que un fotógrafo profesional les tome una foto.)
En este caso, cada resultado se obtiene colocando seis personas en fila; cada una de estas filas puede formarse de izquierda a derecha eligiendo primero a una de las personas, luego a otra, y así sucesivamente. Podemos aplicar, entonces, el Principio General de Enumeración: tenemos 6 opciones para la primera elección, 5 para al segunda, 4 para la tercera, etc. La cantidad de fotografías diferentes es, entonces:
$6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1 = 720$
Es frecuente, en combinatoria, que sea necesario calcular, como acabamos de hacer, el producto de todos los números entre n y 1, es decir, $n\times (n-1)\times (n-2)\dots \times 2\times 1$. Para abreviar, a este producto se lo llama “n factorial”, o “factorial de n”, y se lo indica n!. De esta forma:
Por ejemplo:
$1!=1$
$2!=2\times 1=2$
$3!=3\times 2\times 1=6$
Por convención, se define que 0!=1. Por lo tanto, podemos resumir la respuesta anterior de esta forma: la cantidad total de fotografías posibles es $6!=720$.
Para responder la segunda pregunta aplicamos otra vez el Principio General de Enumeración. En este caso, la primera persona de la fila puede ser cualquiera de los seis. Para la segunda elección hay una sola opción posible, ya que tiene que ser el hermano de la primera persona. La tercera persona puede ser cualquiera de las cuatro que quedan, y debe seguirle su hermano. Para la quinta persona quedan dos opciones, y la última sólo puede ser su hermano. La respuesta a la segunda pregunta es, entonces:
$6\times 1\times 4\times 1\times 2\times 1=48$
En una circunferencia marcamos los puntos A, B, C. D. E. F. ¿Cuántos triángulos pueden trazarse que tengan a tres de esos puntos como vértices?
Cada triángulo se obtiene eligiendo sucesivamente tres puntos diferentes (que serán los vértices del triángulo en cuestión). Así planteado, el Principio general de Enumeración nos diría que la cantidad de triángulos posibles es $6\times 5\times 4=120$. Sin embargo, esta respuesta no es correcta, porque este Principio supone que cada serie de elecciones genera un triángulo diferente; pero en este caso, por ejemplo, la elección ABC y la elección BCA generan el mismo triángulo.
Entre los 120 resultados ¿cuántas veces está contado el triángulo ABC? En realidad, está contado 6 veces, cuando elegimos: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB y CBA. Podríamos haber calculado este número 6 mediante el mismo razonamiento del problema de los seis amigos que se toman una fotografía: todas las formas de ordenar en fila tres objetos (sean amigos sean nombres de vértices), es $3\times 2\times 1=6$. En conclusión, entre los 120 resultados, cada triángulo está contado 6 veces, la cantidad real, entonces, es:
$\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=\frac{120}{6}=20$
Gracias al factorial, este cociente puede escribirse de una manera más abreviada:
$\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=\frac{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{3\times 2\times 1\times 3\times 2\times 1}=\frac{6!}{3!\times 3!}$
A esta última expresión se la llama "número combinatorio $\left(\begin{array}{cc}{6}\\{3}\end{array}\right)$. Generalizando, el número combinatorio $\left(\begin{array}{cc}{n}\\{k}\end{array}\right)$ (con $0\leq k\leq n$) se define como:
$\left(\begin{array}{cc}{n}\\{k}\end{array}\right)=\frac{n!}{k!\times (n-k)!}$
El razonamiento que acabamos de mostrar para el caso de los triángulos se puede generalizar de la siguiente manera:
Si tenemos n objetos diferentes y queremos formar con ellos grupos de k elementos cada uno (con $0\leq k\leq n$), entonces la cantidad de grupos posibles es $\left(\begin{array}{cc}{n}\\{k}\end{array}\right)$.
Médicos y enfermeros
En un hospital, de un total de 5 médicos y 7 enfermeros, van a elegir un grupo formado por 2 médicos y 3 enfermeros. ¿De cuántas formas puede hacerse esta elección?
Para formar cada grupo se deben realizar dos elecciones sucesivas: primero se eligen los médicos, y después los enfermeros. A su vez, según lo que hemos dicho en el punto anterior, los grupos posibles de médicos son $\left(\begin{array}{cc}{5}\\{2}\end{array}\right)$, porque debemos elegir dos médicos de un total de 5, mientras que los grupos de enfermeros son $\left(\begin{array}{cc}{7}\\{3}\end{array}\right)$, porque hay que elegir 3 de un total de 7.
Entonces, según el Principio General de Enumeración, la cantidad total de grupos de médicos y enfermeros es el producto de las elecciones posibles para el primer grupo por las elecciones posibles para el segundo: $\left(\begin{array}{cc}{5}\\{2}\end{array}\right)$ $\times $ $\left(\begin{array}{cc}{7}\\{3}\end{array}\right)$ $=350$.
Sigue en la parte 3 (y última).
No hay comentarios.:
Publicar un comentario