La combinatoria puede definirse como la rama de la matemática que estudia las técnicas para contar la cantidad de elementos de un conjunto finito. Un problema típico de combinatoria, por ejemplo, puede pedirnos que calculemos cuántos son los números pares de tres cifras. Esta rama de la matemática se relaciona muy fuertemente con el cálculo de probabilidades. Por ejemplo, si queremos determinar cuál es la probabilidad de sumar 7 al tirar dos dados, tenemos que calcular el cociente de la cantidad de todos los resultados donde la suma es 7, dividida por la cantidad de todos los resultados posibles; estas dos cantidades se obtienen, a su vez, mediante las técnicas de la combinatoria.
Razonamiento combinatorio
En este artículo nos concentraremos en el análisis de los razonamientos que se ponen en juego al resolver problemas combinatorios. Muchas veces, al analizar problemas de combinatoria, suele clasificárselos en categorías fijas (“permutaciones sin repetición”, “combinaciones con repetición”, “combinaciones sin repetición”, etc.), a cada una de las cuales se le asocia una fórmula específica. La resolución de un problema consistiría, según este enfoque, en identificar a qué categoría pertenece el problema, para luego aplicar la fórmula correspondiente.
Esta manera de resolver los problemas de combinatoria tiene, por lo menos, dos inconvenientes. El primero es que este método es totalmente opuesto a uno de los objetivos centrales de la enseñanza de la matemática, que es el desarrollo del pensamiento lógico y del razonamiento creativo. El segundo es que resulta muy fácil encontrar problemas de combinatoria que escapen a cualquier clasificación que se proponga. Nuestra intención en este artículo es exponer un modo diferente de abordar los problemas de combinatoria, un modo razonado que elude toda clasificación memorística y minimiza la cantidad de fórmulas que uno debe conocer.
La idea principal de este método consiste en que, antes de contar aquellas cosas que el problema nos pide, debemos pensar de qué manera podemos producirlas, es decir, tenemos que planificar qué haríamos para escribir, una por una, todas las cosas a contar, sin repetir ninguna. Una vez que hayamos establecido el método para generar todos los elementos que queremos contar, la resolución numérica del problema surgirá de la traducción de ese método al lenguaje matemático.
Números pares de tres cifras
Para ejemplificar el método que hemos descripto más arriba, comencemos con esta pregunta: ¿Cuántos son los números pares de tres cifras?
Según dijimos, la primera pregunta que debemos plantearnos es: ¿cómo podríamos escribir, uno por uno, todos los números pares de tres cifras? La respuesta, obviamente, es que un número puede escribirse cifra por cifra: primero elegimos la primera cifra, después la segunda y, finalmente, la tercera. ¿Qué nos dice esto acerca de la cantidad de números que hay? Observemos que la primera cifra puede ser cualquier número entre 1 y 9, es decir, hay nueve opciones en total. Ahora bien, si elegimos primero el 1, esta cifra, a su vez, puede combinarse con otras diez para el segundo lugar:
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Si elegimos primero el 2, éste también puede combinarse con diez cifras en el segundo lugar:
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
Generalizando, cada una de las 9 primeras cifras posibles se puede combinar con otras 10 para el segundo lugar. En consecuencia, el total de opciones para las dos primeras cifras es 9∙10 = 90. Este razonamiento suele ilustrarse mediante un diagrama de árbol, el cual se muestra parcialmente a continuación:
El diagrama de árbol muestra cómo, en efecto, se puede combinar cada primera cifra con cada una de las segundas cifras posibles. La cantidad de combinaciones para las dos primeras cifras coincide con la cantidad de ramas del árbol.
En cuanto a la tercera cifra, como el número tiene que ser par, ésta sólo puede ser 0, 2, 4, 6 u 8, es decir, hay 5 opciones posibles. Cada una de las 90 combinaciones para las dos primeras cifras se debe combinar, a su vez, con cada una de las 5 opciones para la tercera. La respuesta final es, entonces, que la cantidad de números pares de tres cifras es:
$9\times 10\times 5 = 450$
Principio General de Enumeración: Si cada objeto que se quiere contar se obtiene a partir de una serie de elecciones sucesivas (de modo que cada serie de elecciones genera siempre un objeto diferente a todos los anteriores), entonces, el total de objetos se obtiene multiplicando la cantidad de opciones para la primera elección, por la cantidad de opciones para la segunda elección, por la cantidad de opciones para la tercera elección, y así sucesivamente.
Suma siete
Hemos planteado más arriba la pregunta de cuál es la probabilidad, al tirar dos dados al azar, de que la suma de los dados sea 7. Como dijimos antes, esta probabilidad se calcula como el cociente entre la cantidad de tiradas donde la suma es siete y la cantidad total de tiradas.
Calculemos primero el denominador; para ello, observemos que para escribir cada tirada de los dados podemos anotar primero el resultado del dado A, y luego el del dado B. Estos resultados, a su vez, suelen ser escritos como pares ordenados, por ejemplo, (1,4) indicaría la tirada en la que sale un 1 en el dado A, y un 4 en B. Es importante notar que este resultado es diferente al (4,1), que corresponde a un 4 en A, y un 1 en B. Al escribir cada resultado, entonces, elegimos primero qué anotar en la primera coordenada del par ordenado, y luego, qué anotar en la segunda. Según el Principio General de Enumeración, la cantidad total de tiradas posibles es $6\times 6=36$.
La cantidad de tiradas en las cuales la suma es 7 debe ser calculada “a mano”, es decir, la manera de contarlas es escribirlas todas, una por una (no siempre hay una forma “razonada” de resolver un problema). Las tiradas buscadas son: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) y (6,1), es decir, 6 en total. Por lo tanto, la probabilidad de que la suma sea 7 es:
$\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$
Jorge presidente
Una asamblea de 14 personas (reunión de consorcio del edificio de Jorge) elegirá un triunvirato formado por un presidente, un vicepresidente y un secretario de actas. ¿Cuántos son los triunviratos posibles? ¿Cuántos hay en los que Jorge es presidente? ¿Cuántos triunviratos hay en los que Jorge interviene?
Cada triunvirato se obtiene mediante tres elecciones sucesivas: un presidente, un vicepresidente y un secretario de actas. Es importante observar que, según se deduce del contexto, el triunvirato que tiene, por ejemplo, a Jorge como presidente, a Alicia como vicepresidente, y a Bruno como secretario, es diferente del triunvirato que tiene a Alicia como presidente, a Bruno como vicepresidente y a Jorge como secretario.
Esto quiere decir que cada serie de elecciones genera un resultado diferente, y entonces podemos aplicar el Principio General de Enumeración. Por el contrario, si sólo tuviéramos que elegir tres personas, sin que ocupen ningún cargo en especial, entonces elegir a Jorge, Alicia y Bruno, en ese orden, sería lo mismo que elegir a Alicia, Bruno y Jorge. Es decir, dos series diferentes de elecciones nos darían el mismo resultado, por lo que el Principio General de Enumeración no sería aplicable (volveremos a este caso más adelante).
¿Cuántos son los triunviratos posibles? Para la elección del presidente tenemos 14 opciones; para el vice tenemos 13, porque tiene que ser una persona diferente de la anterior; para el secretario de actas hay 12 opciones, porque, a su vez, tiene que ser una persona diferente de las dos anteriores. El total de triunviratos es, entonces:
$14\times 13\times 12 = 2.184$
¿Cuántos hay en los que Jorge es presidente? En este caso, hay una sola opción para la primera elección, porque sólo puede ser Jorge; el vicepresidente puede ser cualquiera de las otras 13 personas; y quedan 12 opciones para el secretario de actas. La respuesta a la pregunta es:
$1\times 13\times 12 = 156$
¿Cuántos triunviratos hay en los que interviene Jorge? Jorge puede ser presidente, vicepresidente, o secretario de actas. El modo natural de generar todos estos triunviratos es escribir primero todos aquellos en los que Jorge es presidente, luego, los triunviratos en los que es vicepresidente, y finalmente, en los que es secretario. Para resolver numéricamente el problema tenemos que contar, entonces, cuántos triunviratos hay de cada tipo, y sumar los tres números.
Como ya vimos, la cantidad de resultados en los que Jorge es presidente es $1\times 13\times 12 = 156$; los resultados donde es vicepresidente son $13\times 1\times 12 = 156$; y los resultados donde es secretario son $13\times 12\times 1 = 156$. La respuesta final es 156 + 156 + 156 = 468.
Existe otro modo de razonar este último problema, para ello, calculamos primero la cantidad de triunviratos en los que Jorge no interviene. En ese caso, tenemos 13 opciones para la primera elección (cualquiera que no sea Jorge), 12 opciones para la segunda, y 11 para la tercera. La cantidad de triunviratos sin Jorge son:
$13\times 12\times 11 = 1.716$
La cantidad de triunviratos en los que Jorge participa se obtiene, entonces, restando del total aquellos triunviratos en los que Jorge no está, es decir, 2.184 – 1.716 = 468.
Sigue en la parte 2.
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