A la parte 2.
La intención de esta serie de entradas es simplemente explorar cómo, a partir de los Axiomas de Peano, pueden probarse las propiedades básicas de los números naturales.
Los axiomas de Peano
Estos axiomas se refieren a ciertos objetos a los que llamaremos números naturales y tienen como elementos primitivos al número 0, que es un número natural, a la función sucesor, que indicamos con la letra S, y a las operaciones de suma y producto. Los axiomas son:
Axioma 0: El sucesor de un número natural es siempre un número natural, la suma y el producto de dos números naturales es siempre un número natural.
Axioma 1: Para todo n, $S(n)\neq 0$.
Axioma 2: Si S(n) = S(m) entonces n = m.
Axioma 3: n + 0 = n.
Axioma 4: n + S(m) = S(n + m).
Axioma 5: n.0 = 0.
Axioma 6: n.S(m) = n.m + n.
Axioma 7 (Esquema de inducción): Para cada fórmula P(n), si puede probarse que vale P(0) y también que vale "P(n) $\Rightarrow $ P(S(n))" entonces P(n) vale para todo n.
Teoremas:
Estos son algunos teoremas que se deducen de los axiomas de Peano.
Teorema 1: 0 + n = n.
Demostración:
Aplicamos el esquema de inducción.
Para n = 0 la afirmación vale por el axioma 3.
Tenemos que probar que "0 + n = n $\Rightarrow $ 0 + S(n) = S(n)". Veamos que es así:
Si 0 + n = n entonces 0 + S(n) = S(0 + n) = S(n).
Teorema 2: n + S(m) = m + S(n).
Demostración:
Hacemos inducción en m.
Para m = 0 la afirmación vale porque:
n + S(0) = S(n + 0) = S(n) = 0 + S(n), esto último por el teorema 1.
Veamos que n + S(m) = m + S(n) implica n + S(S(m)) = S(m) + S(n).
S(m) + S(n) =
= S(m + S(n)) (ax. 4)
= S(n + S(m)) (hipótesis)
= n + S(S(m)) (ax. 4).
Teorema 3: n + m = m + n
(Es decir, la suma es conmutativa).
Demostración:
Fijamos n y hacemos inducción en m.
Para m = 0 vale ya que n + 0 = n = 0 + n, por axioma 3 y teorema 1.
Tenemos que probar que n + m = m + n implica n + S(m) = S(m) + n, veamos que es así:
n + S(m) =
= S(n + m) (ax. 4)
= S(m + n) (hipótesis)
= m + S(n) (ax. 4)
= S(m) + n (teo. 2).
5 comentarios:
En el axioma 6 creo que va "n.n+n"
En realidad va n.S(m), ya lo corregí, gracias.
(Una pregunta, tal vez sin importancia, que me motiva este comentario es cuáles teoremas sobre el producto siguen siendo válidos si el axioma 6 es reemplazado por el axioma más débil n.S(n) = n.n + n)
Creo, aunque seguro exagero, que son prácticamente todos los teoremas sobre el producto los que no serían válidos...
Por ejemplo, la conmutatividad:
Así como para demostrar el teorema 3 fue necesario recurrir al teorema 1, en el caso del producto ocurre lo mismo. Para probar que n.m=m.n primero debemos probar que 0.n=0.
El problema es que si el axioma 6 se modifica y queda n.S(n)=n.n+n no se puede siquiera demostrar eso y por lo tanto, la conmutatividad.
Que yo sepa solo son cinco axiomas, no? corrijanme si me equivoco, gracias.
A los axiomas que definen la suma y el producto, Peano los llamaba "definiciones", no "axiomas". Por eso en su versión original los "axiomas" son menos. Pero en la lógica actual, a esas definiciones se la prefiere considerar también como axiomas.
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