Galileo y el infinito

Galileo

En su obra Diálogo sobre dos nuevas ciencias (1638) Galileo Galilei afirma que es absurdo decir que una cantidad infinita es mayor que una cantidad finita. Para entender su razonamiento, imaginemos unos escribas que, generación tras generación, se dedican a anotar los sucesivos números naturales. La pregunta es, a medida que estas personas van anotando números, ¿podemos decir que se acercan cada vez más a completar la escritura de todos los números naturales?

Una primera mirada podría decirnos que sí; después de todo, a medida que pase el tiempo los escribas irán avanzando cada vez más en la escritura. Pero un segundo razonamiento nos diría que no, que en realidad no se acercan, porque no importa cuántos números escriban, la colección de todos los que quedan por anotar es siempre infinita en acto. Para decirlo más dramáticamente, la colección de los números no anotados nunca dejará de ser infinita en acto por más que los escribas avancen en la escritura de los números. Por lo tanto, siempre están a "infinita distancia" de completar la tarea, tanto si acaban de anotar el número cien como si han alcanzado el billón.

Pero Galileo va más allá todavía, y afirma que los escribas no solamente no se acercan al infinito en acto, sino que en cierto modo se alejan de él. Su razonamiento es como sigue: entre el número 1 y el número 100 hay 10 cuadrados, es decir, entre los cien primeros números, un 10% son cuadrados. Por otra parte, entre los mil primeros números, el 3,16% son cuadrados; entre los diez mil primeros, el 1% son cuadrados, y entre los cien mil primeros, el 0,316%. Es decir, a medida que los escribas van anotando los números, el porcentaje de cuadrados va disminuyendo y en consecuencia se aleja cada vez más del 100%. Sin embargo, en el infinito en acto hay la misma cantidad de cuadrados que de naturales, por lo que —siempre hablando de lo que sucedería en el infinito en acto— el 100% de los números son cuadrados. De modo que los escribas, a medida que avanzan en su tarea, se alejan de las propiedades del infinito en acto, en lugar de acercarse a ellas.

(Este fragmento formaba parte de un libro que escribí para la editorial RBA de España, pero tuve que suprimirlo porque el libro excedía la cantidad prescripta de caracteres. En el texto puede rastrearse el origen del Problemita numérico de verano publicado en este blog en enero.)