Los números normales y la aritmética

Los números normales en base 10 son aquellos números reales cuyos dígitos se comportan esencialmente como si hubieran sido generados aleatoriamente (una definición más rigurosa puede verse en este enlace). Una característica que será importante para nosotros en esta entrada es que cualquier secuencia finita de dígitos aparece al menos una vez (infinitas veces en realidad) en la escritura decimal de cualquier número normal. Por otra parte, como es casi evidente, esta definición puede generalizarse y es así como se dice que un número real es normal si cumple la definición anterior para cualquier base b.

Aunque puede probarse que existen infinitos números normales (de hecho, en cierto modo existen "más" números normales que los que no lo son) hay muy poco números de los que se haya podido probarcon certeza que son normales. Se conjetura, aunque aún no se ha podido probar, que números como pi, e o la raíz cuadrada de 2 son normales.

En lo que sigue vamos a suponer que si a es un entero positivo que no es potencia de 10 entonces log(a), el logaritmo en base 10 de a, es normal en base 10. Hasta donde conozco, este hecho no ha sido tampoco demostrado, sin embargo creo que se trata de una suposición que cualquier matemático aceptaría como altamente razonable. Hecha esta suposición, la intención es demostrar que si a no es una potencia de 10 entonces, dada cualquier secuencia finita de dígitos, existe siempre una potencia de a que comienza con esa secuencia. Por citar un ejemplo al azar, existe una potencia de 2 que comienza con 999.

Comencemos por observar que si x e y son números reales entonces existe un número racional q con expresión decimal finita tal que cualquier número real que comience con las cifras de q estará comprendido entre x e y. No es difícil hacer la demostración formal, pero sólo lo mostraré con un ejemplo: si x = 2,34679098867.... (no importa qué cifras sigan) e y = 2,346800.... (ídem) entonces podemos tomar q = 2,346791; es claro que cualquier número que comience con 2,346791... estará comprendido entre x e y.

Vamos a probar ahora que si a no es una potencia de 10 y M es un entero positivo entonces existe una potencia de a que comienza exactamente con los dígitos de M. Pero no vamos a probarlo en general, sino que vamos a probar que existe una potencia de 2 que comienza con 999, será claro que el método que usaremos puede reproducirse para cualquier a y cualquier M.

Tomamos x = log(M) = log(999) = 2,9995654... e y = log(M + 1) = log(1000) = 3; buscamos a continuación un número q como el que describimos más arriba. En este caso podemos tomar q = 2,999566. Es claro que todo número que comience con 2,999566... estará comprendido entre log(M) y log(M + 1).

Dentro de la escritura de log(a) = log(2) buscamos los dígitos que aparecen en q (es decir, 2999566). En nuestro ejemplo podemos hallarlos rápidamente ya que log(2) = 0,30102999566... Multiplicamos entonces log(a) por una potencia de 10 conveniente como para lograr que la coma decimal quede ubicada en la misma posición que en el número q, en este caso la potencia es 100.000:

En consecuencia:

Por lo tanto, 2 elevado a la 100.000 tiene 30.104 cifras que comienzan con 999. Es claro que lo mismo puede hacerse con cualquier número a que no sea potencia de 10 y cualquier número M.

De hecho, si suponemos que toda vez que a no es potencia de b entonces el logaritmo en base b de a es normal, podemos también probar que si M es cualquier entero escrito en base b y a no es potencia de b entonces existe una potencia de a cuya escritura en base b comienza con M.