Resumen de lo publicado: En el capítulo anterior hemos definido a^n como el producto de a por sí mismo n veces. Esta definición vale para todo a real y siempre n sea un entero estrictamente positivo. En particular, la propiedad que dice que a^n/a^m = a^(n - m) sólo puede ser enunciada y aplicada si n es estrictamente mayor que m, o sea, si n - m es un entero estrictamente mayor que cero, ya que ése es, por ahora, el único conjunto en el que pueden estar nuestros exponentes.
P: ¿Qué pasa con a^0?
R: No sé.
P: Propongo la siguiente demostración: a^0 = a^(1 - 1) = a^1/a^1 = 1, si a no es cero, por supuesto.
R: Me temo que su demostración es errónea. Como está dicho más arriba, la propiedad para a^(n - m) sólo vale si n es mayor que m. No se aplica si n = m, simplemente porque a^0 todavía no está definido.
a^0, a priori, podría definirse de cualquier manera. Podría se 234 o 9. Hasta cierto punto las definiciones matemáticas son arbitrarias, porque la Matemática es, en gran medida, una creación puramente humana. Sin embargo, como dije, las definiciones son arbitrarias "hasta cierto punto". Hay ciertas reglas que deben (o que suelen) cumplirse, tales como el respeto a la consistencia lógica o a la elegancia ("no hay lugar en el mundo para Matemáticas feas", decía Hardy).
En el caso de a^0 la elegancia obliga a que la operación sea definida de modo tal que, en la medida de lo posible, sigan valiendo las propiedades que valían para los exponentes enteros positivos. Por lo tanto la "demostración" de más arriba no es tal, pero sí es una indicación de que el modo razonable de definir a^0 es como 1.
P: Si a no es cero, ya que el razonamiento lo pide explícitamente.
R: De acuerdo. Pero antes de responder a eso le hago una pregunta ¿está de acuerdo en que si a es disitnto de cero entonces 2.a = a.2?
P: Obviamente.
R: Luego, usted diría que es verdad que: "si a no es cero entonces 2.a = a.2".
P: Ya le he dicho que sí.
R: ¿Por lo tanto para a = 0 es falso?
P: Usted sabe que no es así. El hecho de que la afirmación valga para a distinto de cero no nos dice nada acerca de lo que vale, o no vale, para a = 0.
Por lo tanto, que a^0 = 1 para a distinto de cero no nos dice nada acerca de lo que vale, o no vale, para a = 0. De hecho, como ya se ha demmostrado en este blog, no hay inconsistencia en definir 0^0 como 1.
Por lo tanto:
Caso 2: a^0 se define como 1 para todo a real.
P: Pero ésta operación no es ahora la misma que definimos en la entrada anterior, ya que antes sólo admitía exponentes positivos y ahora admite el cero. ¿No es un abuso de notación usar el mismo símbolos para ambas operaciones?
R: La extensión no es abuso. Hemos extendido el dominio de la operación y, por lo tanto, es perfectamente razonable (y de uso en toda la comunidad matemática) el emplear el mismo símbolo para ambas, sin que ello implique ambigüedad o error potencial. De otra forma, deberíamos usar un símbolo para sumar 2 + 2 cuando la suma se hace como números naturales, otro símbolo para sumarlos como enteros, otro para sumarlos como racionales, otro para sumarlos como números en Q(r(2)), otro en Q(r(2),r(3)), otro en... (infinitos casos aquí),... otro como algebraicos, otro como reales, otro como complejos, otro como cuaterniones,... Es más razonable (y razonable es una palabra suave) considerar que todas estas sumas son en realidad la misma operación que se va extendiendo a los sucesivos conjuntos numéricos y usar, en consecuencia, el mismo símbolo en todos los casos.
De la misma forma, la potenciación, la misma potenciación, ha sido extendida aquí de los naturales a los naturales con el cero.
P: ¿Y qué pasa con la función Pot(x,y) = x^y de la que he leído por ahí?
R: Por supuesto, usted tiene derecho a definir todas las funciones que quiera. Pero su función Pot es sólo una entelequia que no juega ningún papel en lo que estamos haciendo aquí. En realidad, la potenciación es una función de una sola variable. Fijado el parámetro a, definimos a^x "ascendiendo" por los sucesivos conjuntos numéricos. Para cada a tenemos una función exponencial diferente (tal como se enuncia en todos los libros de matemáticas que hablan del tema).
No voy a aburrirlos con las definiciones de a^r para r entero negativo o r racional, que se "deducen" de manera similar a como se deduce a^0 (con restricciones para el parámetro a en cada caso). El valor de a^r para r real positivo o negativo (con la restricción de que a debe ser positivo) se define, por ejemplo, aproximando r por una sucesión de racionales (o bien definiendo primero e^r mediante una serie y luego procediendo a partir de allí).
La verdad es que yo mismo estoy aburrido de este tema. Señoras y señores, es perfectamente válido y necesario definir 0^0 como 1. A quien no le guste, o quien, contra todo argumento racional, siga creyendo que no es así, está en todo su derecho a equivocarse. Y si alguien quiere protestar, la protesta será publicada en el blog. Pero ya no tendrá respuestas de mi parte. Ninguna respuesta. Todo lo que tenía que decir (y mucho más) sobre este tema ya lo he dicho. 3, 2, 1... Adiós.
a^0, a priori, podría definirse de cualquier manera. Podría se 234 o 9. Hasta cierto punto las definiciones matemáticas son arbitrarias, porque la Matemática es, en gran medida, una creación puramente humana. Sin embargo, como dije, las definiciones son arbitrarias "hasta cierto punto". Hay ciertas reglas que deben (o que suelen) cumplirse, tales como el respeto a la consistencia lógica o a la elegancia ("no hay lugar en el mundo para Matemáticas feas", decía Hardy).
En el caso de a^0 la elegancia obliga a que la operación sea definida de modo tal que, en la medida de lo posible, sigan valiendo las propiedades que valían para los exponentes enteros positivos. Por lo tanto la "demostración" de más arriba no es tal, pero sí es una indicación de que el modo razonable de definir a^0 es como 1.
P: Si a no es cero, ya que el razonamiento lo pide explícitamente.
R: De acuerdo. Pero antes de responder a eso le hago una pregunta ¿está de acuerdo en que si a es disitnto de cero entonces 2.a = a.2?
P: Obviamente.
R: Luego, usted diría que es verdad que: "si a no es cero entonces 2.a = a.2".
P: Ya le he dicho que sí.
R: ¿Por lo tanto para a = 0 es falso?
P: Usted sabe que no es así. El hecho de que la afirmación valga para a distinto de cero no nos dice nada acerca de lo que vale, o no vale, para a = 0.
Por lo tanto, que a^0 = 1 para a distinto de cero no nos dice nada acerca de lo que vale, o no vale, para a = 0. De hecho, como ya se ha demmostrado en este blog, no hay inconsistencia en definir 0^0 como 1.
Por lo tanto:
Caso 2: a^0 se define como 1 para todo a real.
P: Pero ésta operación no es ahora la misma que definimos en la entrada anterior, ya que antes sólo admitía exponentes positivos y ahora admite el cero. ¿No es un abuso de notación usar el mismo símbolos para ambas operaciones?
R: La extensión no es abuso. Hemos extendido el dominio de la operación y, por lo tanto, es perfectamente razonable (y de uso en toda la comunidad matemática) el emplear el mismo símbolo para ambas, sin que ello implique ambigüedad o error potencial. De otra forma, deberíamos usar un símbolo para sumar 2 + 2 cuando la suma se hace como números naturales, otro símbolo para sumarlos como enteros, otro para sumarlos como racionales, otro para sumarlos como números en Q(r(2)), otro en Q(r(2),r(3)), otro en... (infinitos casos aquí),... otro como algebraicos, otro como reales, otro como complejos, otro como cuaterniones,... Es más razonable (y razonable es una palabra suave) considerar que todas estas sumas son en realidad la misma operación que se va extendiendo a los sucesivos conjuntos numéricos y usar, en consecuencia, el mismo símbolo en todos los casos.
De la misma forma, la potenciación, la misma potenciación, ha sido extendida aquí de los naturales a los naturales con el cero.
P: ¿Y qué pasa con la función Pot(x,y) = x^y de la que he leído por ahí?
R: Por supuesto, usted tiene derecho a definir todas las funciones que quiera. Pero su función Pot es sólo una entelequia que no juega ningún papel en lo que estamos haciendo aquí. En realidad, la potenciación es una función de una sola variable. Fijado el parámetro a, definimos a^x "ascendiendo" por los sucesivos conjuntos numéricos. Para cada a tenemos una función exponencial diferente (tal como se enuncia en todos los libros de matemáticas que hablan del tema).
No voy a aburrirlos con las definiciones de a^r para r entero negativo o r racional, que se "deducen" de manera similar a como se deduce a^0 (con restricciones para el parámetro a en cada caso). El valor de a^r para r real positivo o negativo (con la restricción de que a debe ser positivo) se define, por ejemplo, aproximando r por una sucesión de racionales (o bien definiendo primero e^r mediante una serie y luego procediendo a partir de allí).
La verdad es que yo mismo estoy aburrido de este tema. Señoras y señores, es perfectamente válido y necesario definir 0^0 como 1. A quien no le guste, o quien, contra todo argumento racional, siga creyendo que no es así, está en todo su derecho a equivocarse. Y si alguien quiere protestar, la protesta será publicada en el blog. Pero ya no tendrá respuestas de mi parte. Ninguna respuesta. Todo lo que tenía que decir (y mucho más) sobre este tema ya lo he dicho. 3, 2, 1... Adiós.
4 comentarios:
Estimado Gustavo,
Sintiéndome directamente aludido en esta entrada, me veo en la necesidad de responder.
Lo único que he venido manteniendo durante todo este tiempo y a lo largo de nuestra conversación (que para mí ha sido maravillosa y siento muchísimo intuir que para ti no lo es) es que lo que hacías en tu entrada inicial no demostraba que 0^0=1. Y así es.
Como bien dices, lo has DEFINIDO así. Habría que ver qué grado de fidelidad con las propiedades heredadas deseamos que cumpla, y eso nos dará el grado de satisfacción en relación a esa DEFINICIÓN.
Si, por ejemplo, queremos que respete la propiedad:
a^(x+y) = (a^x)·(a^y)
Es evidente que 0^0 sólo podrá valer 0 o 1.
Si le exigimos que cumpla esta y otras más, ambos valores se descartan y no hay definición posible como ampliamente he probado en otras entradas.
Si no le exigimos nada, pues podrá tener, como tú bien dices, cualquier valor, por ejemplo 236.
Es, por tanto cuestión de definición y del grado de fidelidad con las propiedades heredadas.
Por lo tanto, lo que decía y sigo diciendo, es que en ningún caso tus entradas demostraron que 0^0 = 1.
La entrada inicial de las funciones, lo que pone de manifiesto es que:
a) el número de funciones que hay de un conjunto de b elemento a un conjunto de a elementos, coincide con el valor de a^b.
b)existe una única función del conjunto vacío en el conjunto vacío.
Pero de ahí no se puede deducir que el valor de 0^0 sea 1, por dos razones:
1) Porque en ese momento 0^0 no está definido, ya que si lo está y es 1, la demostración sobra, y si 0^0 está definido con cualquier otro valor, la demostración (y esta es la razón de por qué no es una demostración) sería falsa.
2) Porque eso sería tanto como decir, que si dos funciones coinciden en n puntos, coinciden en n+1 puntos.
Un razonamiento análogo sirve para cualquiera de sus otras dos versiones, la de las combinaciones y la de las palabras. Es lo mismo.
Añadir además que, no veo cómo pueden ser simultáneamente cierta las dos cosas que mantiene:
1) 0^0 puede tomar cualquier valor.
2) He demostrado que 0^0 = 1
Por último, y como le dije en una ocasión, creo que no hay cosa que dañe más a la Matemática que un silencio pactado a priori.
Por mi parte, estoy abierto a seguir debatiendo este y cualquiera de los temas siempre tan interesentas que propone.
Un cordial saludo y mi máxima admiración.
Quiero añadir algo, y es que yo también estoy aburrido de un tema. Y es de repetir que sé perfectamente la diferencia entre parámetro y variable. Asimismo, sé cómo se define la función potenciación y sé también lo que quise decir cuando definí Pot(x,y).
Es la función, que a cada x e y, (x real mayor que cero e y cualquier real)le hace corresponder el valor de la potencia de y sobre x previamente definida.
Ello lo hice para demostrar (sin ninguna objeción hasta la fecha) que cualquier intento de extender el valor de la función potenciación al valor 0 elevado a 0, conlleva la pérdida de la continuidad de la función así extendida.
Como he dicho antes, a medida que eliminemos propiedades que queremos que cumpla la función potenciación extendida a 0 elevado a 0 podremos DEFINIR (pero nunca demostrar)el valor de 0 elevado a 0 con más y más opciones.
Por mi parte, tampoco voy a volver a recordar que sé lo que es un parámetro, una variable, la función potenciación y la función Pot (x,y) que yo mismo definí.
Gracias.
¿"Dañar" a la Matemática? No voy a permitirme el creer que mis palabras o mis silencios sean capaces siquiera de rozar a la Matemática en lo más mínimo. Pensar lo contrario sería, de mi parte, un acto de soberbia intolerable.
Por lo demás, si he decidido guardar silencio sobre este tema puntual (y este comentario no rompe ese silencio ya que no se refiere a al tema en cuestión) es simplemente porque ya dije todo lo que tenía que decir al respecto y que cualquier palabra adicional sería simplemente redundante. Por ejemplo, las objeciones planteadas en los dos comentarios previos ya fueron respondidas antes de ser formuladas, bastaría con leer lo que he venido escribiendo todos estos años y que, por razones obvias, no tengo deseos de repetir una y otra vez.
Piñeiro y Borja: No he leído completamente sus apreciaciones sobre este particular, por falta de tiempo e interés en leer sobre un tema que ya tengo visto, analizado y comprendido, por lo menos hasta donde mi cimprensión alcanza. Pero de una lectura, reconozco que superficial, de vuestros comentarios, pareciera que ambos están de acuerdo, y sin embargo discuten como si no lo estuvieran.
Un cordial saludo.
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