2) Muestre una función discontinua g:(0, + infinito) --> R tal que g(x^y) = g(x)^g(y) para todo x, y.
("^", como siempre, significa "elevado a la").
[Dado que los comentarios a esta entrada se han apartado del tema inicial y se han adentrado en la discusión sobre 0^0, he decidido agregar a la entrada la etiqueta Irrefutable pero resistida, con la que designo a las entradas donde se habla de la afirmación "0^0 = 1". Hago, además, la observación de que, al momento de escribir estas líneas, 15.02.11, la segunda parte del problema sigue sin tener resolución.]
17 comentarios:
Las únicas funciones que verifican la hipótesis son
(a) g(x)=1
(b) g(x)=x
Para probarlo, sea x tal que g(x) no sea 0 ni 1 (Si g es siempre 1, estamos en el caso (a) , no puede ser siempre 0 porque no cumpliría la hipótesis inicial y si alterna entre 0 y 1 no sería continua)
Así, por un lado
g((x^y)^z)=(g(x^y))^g(z)=(g(x)^g(y))^g(z)=g(x)^(g(y)g(z))
Por otro lado
g((x^y)^z)=g(x^(yz))=g(x)^g(yz)
Igualando se tiene que
g(x)^(g(y)g(z)=g(x)^g(yz)
Como estamos suponiendo que g(x) no es 0 ni 1 tenenemos que
g(yz)=g(y)g(z) para todo y,z.
Ahora usando esta igualdad se demuestra que si p es natural g(p)=p ya que
g(x^p)=g(x...x)=g(x)...g(x)=g(x)^p
Por otro lado g(x^p)=g(x)^g(p) y por tanto g(p)=p
Análogamente se prueba que si q es natural g(1/q)=1/q
Finalmente
g(p/q)=g(p·1/q)=g(p)g(1/q)=p/q
Así g se es la identidad en los racionales, y como es continua, es la identidad en todo su dominio.
Por último, una función discontinua que verifique esto es
g(x)=0 en todo punto excepto en x=1 y g(1)=1
Me parece que la segunda parte de la respuesta no es correcta, porque sería:
0 = g(4) = g(2^2) = g(2)^g(2) = 0^0 = 1
Querido Gustavo, como ya comenté en la entrada 0^0=1, es cuestión de aclarar a qué nos referimos con la expresión "^".
Tenemos dos funciones:
Pot: R(+) U {0} x R \{(0,0)} --> R, definida como la potenciación usual de números reales y
Car: N x N ------> N, definida en función de los cardinales.
Es cierto que Car(0,0) = 1, pero Pot(0,0) no está ni puede ser definido. Ambas funciones coinciden en la intersección de sus dominios, es decir, en N x N \ {(0,0)}, pero no en el (0,0).
Por tanto, forzosamente "^" ha de ser la función Pot, puesto que trata con números reales y el requisito del problema sería:
g(Pot(x,y))=Pot(g(x),g(y))
Cuando escribes:
0=g(4)=g(2^2)=g(2)^g(2)=0^0=1
se comete un abuso de notación, pues realmente es:
0=g(4)=g(Pot(2,2))=Pot(g(2),g(2))=Pot(0,0), que no está definido.
Por tanto, la función que da "gep" no es válida porque acaba recurriendo a Pot(0,0) que no está definido y tu argumentación tampoco lo es por la misma razón.
Yendo más allá, para que exista una función BIEN DEFINIDA que cumpla el requisito g(Pt(x,y))=Pot(g(x),g(y)) es necesario exigir que no se anule en más de un punto, para evitar el Pot(0,0).
Gracias.
Hola,
Decir que "Pot(0,0) no está ni puede ser definido" es sólo una petición de principio. Y además, falsa, porque ya he demostrado que la afirmación "0^0 = 1" no lleva a contradicción alguna.
Un saludo,
Si a y b son dos números reales, y a(n) y b(n) cualquiera de las sucesiones de Cauchy de números racionales cuyos límites son, respectivamente a y b, se dice que "a elevado a b" es el límite a(n) elevado a b(n), que siempre existe y el mismo. Sin embargo, todos sabemos que dicho límite no siempre existe y mucho menos es el mismo cuando a(n) y b(n) convergen a cero, con lo que "0 elevado a 0 no está ni puede estar definido. "
Lo que tú demuestras de forma impecable es que 0^0=1, con la definición que das de "^". El problema está cuando escribes entre paréntesis en la propia definición de "^", que "^" significa "elevado a". Esto es falso, porque el dominio de definición de ambas funciones es diferente ("^" se limita a los naturales. Y en segundo lugar, si como dices en tu entrada, " "^" significa elevado a", ¿qué novedad aportas y cómo defines a^b con a y b reales?
Un saludo.
Estimado Borja,
1) Estás confundiendo parámetro con variable. Cuando hablamos de la función lineal f(x) = mx + b, no hablamos de una función de tres variables, sino de una función de una variable que tiene dos parámetros. De la misma forma, f(x) = a^x es una función de una variable y un parámetro.
2) Sobre cómo defino a^b, ya lo expliqué parcialmente aquí:
http://eltopologico.blogspot.com/2009/08/una-aproximacion-intuitiva-00-1-tercera.html
3) Tomemos a(n) = (-1) y b(n) = (4n + 1)/2n. Como a(n)^b(n) no existe (en R) para ningún valor de n, entonces, según tu argumento, (-1)^2 no puede calcularse.
4) Ya he demostrado un teorema que prueba que "0^0 = 1" no es contradictorio. he dado varios argumentos (conjuntistas, combinatorios, etc.) que prueban que 0^0 = 1 es una definición necesaria. He refutado todos los intentos de deducir una contradicción de la afirmación "0^0 0 = 1". Si, a pesar de todo esto, contra todo argumento racional quieres seguir afirmando que 0^0 es una operación prohibida estás en tu derecho de hacerlo. Por mi parte no me interesa seguir buscando argumentos para probar lo que ya considero sobradamente probado. De modo que hasta aquí llegué, ya he hecho mi parte, que cada no siga ahora su camino. No volveré a hablar de este tema en este blog.
Estimado Gustavo,
Intentaré responder a tus apreciaciones:
1) Sé perfectamente la diferencia entre parámetro y variable y no sé qué tiene que ver esto con el tema 0^0.
2) No he encontrado tu definición de a^b con a y b reales en el enlace que me señalaste.
3) Olvidé exigir que a>0 en la definción usual de potenciación de base real ESTRICTAMENTE POSITIVA y exponente real.
4) Por supuesto que has demostrado que 0^0=1, y es cierto, lo que no es cierto es que ^ sea la función potenciación de números reales.
Siento que no quieras seguir comentando esto, me parece un debate interesante.
Un saludo y muchas gracias por plantear siempre cuestiones interesantes.
Y en cuanto al punto 1) no sé como defines a^x cuando x es un número real, pero si pretendes que ^ coincida con lo que la comunidad matemática entiende por potenciación, debería ser coherente con la definición de ésta, a saber:
a^x = Lim a^x(n)
donde x(n) es una función CUALQUIERA de números racionales que converge a x.
La exigencia de que a>0, parte de que si a=0, y queremos calcular 0^0, no podríamos coger CUALQUIER función x(n) convergente a 0 (sólo aquellas sin términos negativos) lo cual va en contra de la definición.
Además tomemos la siguiente sucesión x(n) = 0 si n es impar y x(n) = 1/n si n es par. x(n) converge a 0, sin embargo, si admitiéramos que 0^0 = 1, tendríamos que la sucesión 0^x(n), tomaría los valores 1,0,1,0,1,0,1, con lo que según la definición:
1= 0^0 = Lim 0^x(n) pero es evidente que este límite no existe.
Se trata de un abuso de notación, en el que la función ^ que tú defines y que efectivamente cumple 0^0=1, no es la función potenciación de números reales, simplemente coincide con ella en la intersección de sus dominios.
Y no es una cuestión de caminos.
Estimado Borja,
He seguido vuestro debate con gran interés, pero me pregunto si en tu entusiasmo no has llegado a contradecirte. Digo, si la restricción es que a>0 ¿por qué entonces debe valer también para a=0? ¿Y cuál sería, según tú, la definición de -raiz(2) al cuadrado o de -raiz(2) a la raíz(2)?
Un saludo,
GBJ
Estimado GBJ,
No hay contradicción alguna. Lo que he intentado decir (quizá sin mucha claridad) es que la función f(x) = a^x, (entendiendo por ^la potenciación de números reales) sólo está definida para valores de a>0, porque si no, tendríamos que admitir expresiones del tipo 0^(-1) o (-1)^(1/2), etc.
Para el caso a=0 tendríamos la función g(x) = 0^x, definida de momento en (0, + infinito). Pero un momento, no hemos dicho cómo calcular 0^x, la función potenciación de momento sólo está definida para bases positivas. ¿Decimos que 0^x es 0 por definición, o queremos ser coherentes con la potenciación f(x)?
Supondré que queremos ser coherenetes con f(x). En particular tendrá que cumplir que 0^1 = 0, y que (0^n)x(0^m)= 0 ^(n+m).
Utilizando ambas condiciones y el principio de inducción, es evidente, que para exponentes naturales, 0^n = 0.
¿Cómo la definimos para exponentes racionales positivos? Si queremos que sea coherente con f(x) la definiremos de igual forma, es decir 0^(m/n), será la raíz n-ésima de 0^m, es decir, de cero. Es decir, 0^(m/n) será un número que multimplicado m veces por sí mismo nos dé 0, y como R es un dominoo, el único valor posible, es el cero. Luego 0^(m/n) = 0.
Nos quedaría por último, definir g(x) para los números reales. ¿queremos ser coherentes con f(x)? La definiremos por tanto del siguiente modo:
Si x es un número real positivo, siempre podemos encontrar (por construcción de R) una sucesión de números reales positivos que converja a x.
Definimos 0^x = Lim 0^x(n). Es evidente que da igual la sucesión x(n) que tomemos, pues al ser racional, todos los términos serán cero, y el límite también. Tenemos por tanto, que 0^x=0.
En definitiva, 0^x = 0, para todo valor estrictamente positivo. ¿por qué estrictamente positivo? Porque si queremos ser coherentes en la definición, y quisiéramos incluir el caso 0^0, podríamos tomar cualquier sucesión que convergiera a cero, pero sabemos que esto es imposible porque las que tengan algún término negativo deberían ser excluídas.
Pero incluso si nos restringiéramos a las sucesiones que converjan a cero y que sean positivas, tendríamos un problema si queremos incluir a 0 en el dominio de 0^x y ser coherentes con f(x). Supongamos que 0 está en el dominio de 0^x, y que su valor es 0^0=1. Sabemos que f(x) = a^x es continua en todo su dominio para cualquier valor de a>0. Si queremos ser coherentes con f(x), la función g(x) debería ser también continua en todo su dominio, en concreto en cero, pero es evidente que tomando la sucesión x(n)=0 si n es impar y x(n)=1/n si n es par, Lim 0^x(n) no existe, por lo tanto 0^x no es continua en todo su dominio.
En cuanto a las definiciones que propones no son según yo, son según la definición de potencia de base real positiva y exponente real, definición que no es mía.
(continuo en la siguiente entrada porque no me deja el editor...)
(Viene del anterior comentario)
La forma rigurosa de calcular ambos ejemplos sería a través de los límites anteriormente citados. Lo que pasa es que hay ciertos números reales que vienen definidos de otras formas más directas, y que se saben que son reales porque no son racionales. Es el caso de Raíz(2). Ese número es irracional y por tanto ha de existir una sucesión de racionales que converja a él, lo que pasa es que por raíz(2) entendemos el número que al elevarlo al cuadrado da dos. Luego, raíz(2) ^2 =2. De todos modos, si quieres que sea riguroso, lo seré.
raíz(2) realmente es una forma más "comoda" de escribir el número real 2^(1/2).Este número, por definición, será 2^x(n) con x(n) sucesión de racionales que converge a 1/2.
Raíz(2)^2 se escribe por tanto como (2^(1/2))^2que por definición, será
Lim (2^x(n))^y(n) con y(n) sucesión de racionales que converge a 2. Ahora, por las propiedades de la doble potencia de números racionales, por ser f(x) continua, y por las propiedades del producto de límites, tenemos que:
Lim (2^x(n))^y(n)=Lim 2^(x(n)·y(n))=2^Lim(x(n)·y(n))=2^((1/2)·2)=2^1=2.
En cuanto a la Raiz(2)^Raiz(2), ¿conoces alguna forma de calcular su valor sin recurrir a calculadora u ordenador que nosea a través de límites? Si es así, por favor, házmelos saber.
Espero que se me haya entendido. Es un placer poder tener este tipo de conversaciones. Muchas gracias.
Muchas gracias por tus explicaciones. Pero creo que todavía no entiendo cómo encaja coherentemente en tu esquema la definición de (-raiz(2))**2, porque -raiz(2) es real y negativo (tal vez me los has explicado y se me pasó por alto).
Saludos,
GBJ
Hola GBJ, efectivamente ya lo comenté. La función f(x)=a^x, entendida como la potenciación de números reales, exige qeu la base a, sea positiva. No hay que irse a expresiones como -raíz(2), observa la expresión (-1)^x. Esta función estaría definida sólo para algunos valores de x, pero desde luego, no para todos, con lo cual no puede extenderse la potenciación de números reales a bases negativas, si queremos que siga cumpliendo las propiedades de f(x), como por ejemplo, la continuidad. Esa misma razón es la que hace que no se admita que a=0 en f(x)=0. Pero esto es precisamente lo que expliqué en mis anteriores comentarios.
Es un placer GBJ!!!
Sin embargo, evidentemente (-raiz(2))^2 puede calcularse, y -raiz(2) es un número irracional. De modo que el símbolo ^ tiene que estar definido para reales negativos. De lo contrario estaríamos dejando de lado una de las soluciones de la ecuación x^2 - 2 = 0. Y tampoco me parecería coherente decir que ^ representa un sentido cuando hablamos de raiz(2) y otro diferente para -raiz(2), precisamente porque en ambos casos deberíamos sustituir al número de marras en la ecuación x^2 - 2 = 0, que usa el mismo símbolo para ambas soluciones.
Yo lo veo así: Pot(a,b) podría definirse en tres casos, un caso para a positivo, usando sucesiones de Cauchy. Un caso para a negativo, en el que renunciamos a algunos valores de b y renunciamos a echar mano de las sucesiones de Cauchy (necesario este caso para dar sentido a ecuaciones como x^2 - 2 = 0).
Y, puesto que hemos admitido un caso en el que no se puede echar mano a sucesiones de Cauchy, incluimos también un tercer caso, el Pot(0,b) en el que tampoco echamos mano de las sucesiones de Cauchy y que se define como P(0,b) = 0 si b es positivo, y P(0,0) = 1.
Es cierto que la función Pot sólo es continua si a es positivo, pero qué diantres, es necesario darle sentido a (-raiz(2))^2, un sentido similar al de raiz(2)^2 (por lo dicho más arriba para las ecuaciones). Del mismo moodo que debemos darle un sentido a 0^0 = 1, para lidiar, por ejemplo, con x^2 + x^0 = 1.
Si mal no recuerdo (estoy un poco oxidado), cuando se pasa a definir la radicación compleja se renuncia a la unicidad de la raíz, y en el logaritmo se renuncia a la continuidad de la función. De modo que no me parece calamitoso renunciar parcialmente a la continuidad de Pot en aras de incluir casos que son necesarios (por las ecuaciones mencionadas) como las potencias de base negativa y cero. Ya has dicho que en esos casos para ti el símbolo ^ significaría cosas diferentes, pero, como ya he dicho, esa interpretación me parecería incoherente con el hecho de que tanto raiz(2), como -raiz(2) o el 0 mismo necesiten ser reemplazados en la ecuación x^2 + 2x^0 = 0.
Un saludo,
GBJ
Hola de nuevo GBJ, interesante el debate, jejeje
Hay que ser riguroso en las definiciones:
Según lo que tú dices, tendríamos 3 funciones:
f: R(+)-----> R
f(x)= a^x, con a>0
definida por sucesiones
g: R(+)U{0}------->R
g(x)= 0^x
que vale 0 en todos sus puntos y 1 en el 0.
h: D------>R
h(x)= a^x, con a<0
definida como por sucesiones también pero en su dominio D.
Hasta aquí de acuerdo, ahora bien, la función g, es exactamente la siguiente función:
k:R(+)U{0}------->R
de modo que k(x)=0 si x no es cero y k(x) = 1 si x=0.
Efectivamente, k y g tienen el mismo dominio y coinciden en él. ¿por qué utilizar entonces el símbolo ^, si realmente no significa nada? ¿Lo has utilizado en algo para tu definición de Pot(0,x)? Si no lo has utilizado, ¿qué representa? Su única función es un intento de hacer creer que 0^0 tiene algo que ver con la potenciación de reales.
En cuanto a la necesidad de que 0^0=1, para resolver ciertas ecuaciones, eso es como decir que necesito que 0^0=0 para resolver la siguiente:
x^2 + x^0 = 0
No todas las ecuaciones tienen solución, y lo que no podemos hacer es darle un valor arbitrario a cierta expresión , para que así la ecuación tenga solución.
Si eso fuera así, la ecuación x^2 + 1 = 0, que no tiene solución en R, lo resolveríamos definiendo una función Pot(0,x)= 0^x, que vale 0 en todo x, menos en 2 que vale 0^2=-1. ¿Cuál es el problema? ¿que no es continua? ¿Que no utiliza los limites en su definción? ¿que no es coherente con el producto de potencias de la misma base? No pasa nada, es una nueva función que NADA tiene que ver con la función potenciación de números reales.
Sea ^ la potenciación de números reales de base positiva y exponenete real internacionalmente aceptada en términos de límites de sucesiones de potencias con base real positiva y exponente racional. Todas estas funciones de la forma a^x con a>o, están definidas en todo R. Como he dicho anteriormente, cualquier intento de incluir al cero como base, supondría:
1º La definición no se haría en términos de límites, como todas las demás.
2º El dominio dejaría de ser todo R, como en todas las demás.
3º Dejaría de ser continua, como todas las demás.
¿Por qué utilizar el mismo símbolo ^ entonces si no se parece ni en su dominio, ni en su definición, ni en sus propiedades? Eso sólo nos lleva a falacias.
Limitémonos por tanto a utilizar a partir de ahora el símbolo ^ para la función exponencial, es decir, a>x con a>0. Tendremos que ^(a,x)=a^x
En ese caso, en la entrada 0^0 = 1 de Gustavo, cuando define la función ^, ya sea por cardinales o por números de posibles palabras llamémosle en principio f, puesto que yo no tengo certeza de que se trate de la misma función que ^. En todas sus demostraciones, lo que hace es demostrar que f(0,0)=1.
Lo que se hace en todas las "demostraciones" de Gustavo, es afirmar que f(0,0)= ^(0,0) pero este último término no está ni puede estar definido según la definición de exponencial, como ya he explicado muchas veces.
Luego, una vez más digo, que es cierto lo que dice Gustavo respecto a las aplicaciones y a las palabras, es decir f(0,0)= 1. El problema está en cuando se produce un abuso de notación y en lugar de f se escribe ^, por el simple hecho de que f coincide con ^ para valores (n,m) con n y m naturales. Tras este abuso de notación, se llega a la falsedad de que
1 = f(0,0) = (paso falso) = ^(0,0)= 0^0
Así que, recuerdo como empezó esta controversia en el comentario que le hice a Gustavo en esta entrada acerca de su forma de rebatir a gep:
0=g(4)=g(2^2)=g(2)^g(2)=0^0=1
Lo cual no sirve de argumento por ser falso el último paso. Y como también comenté, en aquella ocasión, para que las funciones g, que hay que encontrar en el problema puedan existir cumpliendo la propiedad 1), es necesario que no se anulen en más de un punto, cosa que no cumple la propuesta por gep, ni el contraejemplo de Gustavo.
Hasta pronto.
Y en cuanto a la solución del problema inicial planteado por Gustavo, estoy de acuerdo en la resolución del apartado 19 por parte de gep, y casi de golpe ha resuelto el segundo a partir de la función constante a 1:
Basta tomar
g(x)=1 si x no es cero y
g(0)=0
Otra cosa interesante sería ver si hay más o esta es la única.
Saludos
Yo en esto de 0^0 soy un converso gracias al profesor Piñeiro. A mí me convenció y creo que sus argumentos están muy extensamente y acertadamente explicados.
Volviendo al problema, como acepto plenamente que 0^0=1 no me queda más remedio que aceptar que la función discontinua que propuse no sirve, porque no cumple la condición.
La función propuesta por Borja, tampoco sirve porque el problema pedía que la función g fuera discontiuna en
(0,+infinito) y en este intervalo es obviamente continua.
El caso es que no encuentro ninguna función que lo cumpla. He intentado "construirla", con un proceso que implica el lema de Zorn. Igual estoy "matando moscas a cañonazos"·, pero no veo otra forma e incluso con esto, se me escapan algunas cosas.
Agradecería que se nos diera una indicación de la solción de este "problemita"
Un saludo a todos
gep
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