16.1.11

El Sombrerero Loco

Descripción

Llamo a este esquema El Sombrerero Loco: En una habitación hay cierto número de personajes; cada uno tiene un sombrero, que puede ser de color blanco o de color negro. Todos los personajes ven el sombrero que tienen los demás, pero nadie conoce ni puede ver el propio.

Se supone que los que tienen sombreros blancos deben hacer siempre afirmaciones verdaderas y que los que tienen sombreros negros deben hacer siempre afirmaciones falsas. Ahora bien, como al principio nadie sabe cuál es realmente su color de sombrero, cada personaje adopta al comenzar una postura cualquiera. Es decir, cada uno decide (independientemente de cuál sea su sombrero) hacer siempre afirmaciones falsas o hacer siempre afirmaciones verdaderas.

Cuando un personaje hace una afirmación, otro personaje puede advertirle que no se está comportando correctamente. Es decir, le puede decir que está haciendo una afirmación falsa cuando su sombrero en realidad es blanco, o que está haciendo una afirmación verdadera mientras que su sombrero es negro. La advertencia es así: No deberías decir eso. La advertencia opuesta es: Bien dicho. Claro está que quien hace esta advertencia podría, a su vez, estar mintiendo.

Cuando, a partir de lo que ve y de lo que oye, un personaje logra deducir cuál es su propio color de sombrero, entonces (sin ninguna advertencia) comienza a comportarse tal como este color indique. Si deduce que su color es negro, a partir de ese momento hará afirmaciones falsas; si deduce que es blanco, hará afirmaciones verdaderas (esto puede significar, o no, un cambio en el comportamiento que venía teniendo).

Observemos finalmente que todos oyen lo que dicen los demás y que todos son lógicos perfectos, es decir, conocen inmediatamente todas las consecuencias lógicas de lo que se dice.

El problema

Tenemos cuatro personajes, a los que llamaremos Abel, Benito, Carlos y Darío.

Abel le dice a Benito: Tu sombrero es negro.
Carlos le dice a Abel: No deberías decir eso.
Darío le dice a Carlos: Bien dicho.
Benito le dice a Abel: Tu sombrero es blanco.
Darío le dice a Benito: No deberías decir eso.
Darío le dice a Abel: Tu sombrero es blanco.
Benito le dice a Darío: No deberías decir eso.
Abel le dice a Darío: Nuestros sombreros son del mismo color.

¿De qué color es el sombrero de cada uno? ¿Qué postura adoptó cada uno inicialmente?

12 comentarios:

Ejecución Infinita dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Ejecución Infinita dijo...

La solución es incorrecta, disculpas. La retiro por vergüenza y para no despistar a nadie.

Ejecución Infinita dijo...

Hay tres claves que permiten resolver el problema:

1. Darío no cambia su postura en ningún momento.

2. Si Darío miente, su sombrero y el de Abel son negros; si dice la verdad, su sombrero y el de Abel son blancos.

3. Abel es consciente de lo anterior cuando pronuncia su última frase. Es decir, es consciente de que su sombrero siempre será igual que el de Darío.

Teniendo en cuenta estas tres claves, el problema se resuelve sin dificultad:

Abel lleva sombrero blanco y siempre dijo la verdad.

Benito lleva sombrero negro, empezó diciendo la verdad y acabó mintiendo en su última frase.

Carlos lleva sombrero negro y mintió en su única frase.

Darío lleva sombrero blanco y siempre dijo la verdad.

Borja dijo...

Hola, una apreciación, es evidente que si Carlos mintió en su única frase, Darío también mintió cuando en el tercer enunciado le dice a Carlos: "Bien dicho" a sabiendas de que éste miente, puesto que ve el color del sombrero de Benito. Luego Darío no pudo decir siempre la verdad.

Borja dijo...

Por otra parte, me atrevo a decir que la situación expuesta es autocontradictoria y que por tanto, el problema no tiene solución.
La única forma de que alguien sepa de qué color es su sombrero es a partir de que otro (de quien se debe haber deducido previamente si dice la verdad o miente) le diga de qué color es el sombrero.
De acuerdo a esto, es imposible que Darío sepa de qué color es su sombrero en ninguna de sus tres afirmaciones, puesto que nadie hace referencia al mismo. Luego, de acuerdo a "Ejecución Infinita":

Darío miente siempre o dice la verdad siempre, pero no cambia su discurso

puesto que cuando emite sus enunciados no puede ser consciente del color de su sombrero.

Por otro lado, las posturas de Darío y de Benito son contrarias, ya que en la segunda intervención de Darío, éste le dice a Benito: "No deberías decir eso". Mientras esto sea así, lógicamente no podrán jamás hacer la misma valoración del sombrero de una misma persona.

Sin embargo esto sucede en la primera intervención de Benito y la última de Darío.

Dicho de otro modo:


a) si Benito había decidido mentir (puesto que en su primera intervención es imposible que sepa de qué color es su sombrero), el sombrero de Abel ha de ser negro y Darío entonces habría decidido decir la verdad, porque le dice que "No deberías decir eso". Sin embargo, sin cambiar su posición, en el siguiente enunciado le dice a Abel que "Tu sombrero es blanco", lo cual es falso.

b) Si Benito Había decidido decir la verdad, el sombrero de Abel ha de ser blanco, pues así lo afirma Benito en su primer enunciado. Inmediatamente después sabemos que Darío miente al contestar a Benito que "No deberías decir eso" y sin cambiar su posición, le dice (mintiendo) a Abel que "Tu sombrero es blanco" lo cual es verdad.

Es posible que lo que he dicho sea verdad o mentira, porque en este momento no llevo ningún sombrero, ni blanco, ni negro. Un saludo.

Gustavo Piñeiro dijo...

El problema sí tiene solución.

Borja dijo...

Gracias Gustavo, seguiré pensando.

Borja dijo...

Hola a todos, mis argumentos contra la solución de Ejecución Infinita y mi "demostración" de que el problema no tiene solución son una absoluta tontería porque entendí mal lo que significaba "Bien dicho" y "no deberías decir eso"

En adelante, llamaré Estado a la calidad de veracidad o falsedad de un determinado personaje.

Y diré que un personaje es coherente cuando conoce el color de su propio sombrero.

Afirmo, entonces que un personaje X será coherente sí y sólo sí alguien de quien se conoce su Estado hace alusión al color del sombrero de X.
La demostración de esta afirmación es trivial.

En cuanto a la propuesta de solución de Ejecución Infinita:

1) estoy de acuerdo en que Darío no cambia su Estado en ninguna de sus intervenciones, porque nadie hace referencia al color del sombrero de Darío y por tanto Darío no puede conocer el color de su sombrero, es decir Darío no puede ser Coherente y por tanto carece de sentido que cambie su Estado.

2)Pero si Darío no es Coherente, no es válida tu afirmación del segundo punto, es decir, Si Darío miente, ¿el sombrero de Darío tiene que ser negro? ¿por qué? Y si dice la verdad, ¿Por qué ha de ser blanco? Esa seguridad sólo la podemos tener de alguien Coherente, y Darío no lo puede ser en ninguno de sus comentarios.

Seguiré pensando...me encanta este problema. Hasta pronto.

Borja dijo...

En primer lugar, decir que después de pensar bastante este problema, me he dado cuenta de algunos errores en los que caí en mis anteriores comentarios.

Estoy de acuerdo con la solución que propone Ejecución Infinita,(la he comprobado y no veo contradicción) aunque estoy en ligero desacuerdo en la segunda clave que da para resolver el problema.

Es cierto que si D decidió decidir la verdad, tenemos la solución que propone Ejecución Infinita, en la que el sombrero de A, de forma razonada, ha de ser blanco, pero no estoy de acuerdo en que si D miente el sombre de D y el de A hayan de ser negros. De hecho, si suponemos que el D miente, llegamos a una contradicción, con lo cual podemos afirmar que la solución de Ejecución Infinita es la única solución posible al problema.

Para resolver el problema he redefinido los conceptos que di en otro comentario y he utilizado tres claves, la primera de ellas igual que la de Ejecución Infinita.

Las definiciones son:

A) Llamo Estado de un personaje X a la calidad de veracidad o falsedad de los comentarios en un momento dado.

B) Llamo Coherente a aquel personaje que miente si su sombrero es negro y dice la verdad si su sombrero es blanco, aunque sea por azar.

C) Llamo Consciente, a un personaje que sepa de qué color es su sombrero.

Apreciación 1: El Estado de un personaje sólo podrá variar cuando se haga COnsciente.

Apreciación 2: Todo personaje Consciente es Coherente, pero no a la inversa.

Las tres claves son:

1. D no cambia su Estado, porque cuando habla no tiene manera lógica de conocer el color de su sombrero.

2. B, en su última intervención es Consciente.

3. A, en su última intervención es Consciente.

De acuerdo a estas tres claves, tenemos sólamente dos opciones, que D haya optado por decir la verdad o que D haya optado por mentir.

Si D optó por decir la verdad, razonando ordenadamente, llegamos a la solución de Ejecución Infinita.

Y si D optó por mentir, llegamos a una contradicción. Veámoslo:

Como D miente, la frase 6 nos dice que el sombrero de A es negro. En la frase 5, D le dice a B que no fue Coherente en la frase 4, pero suponemos que D miente siempre, luego B si fue Coherente en dicha frase. Luego si B fue Cohrenete en 4 y la frase es mentira, porque sabemos que el sombrero de A es negro, es porque el sombrero de B es también negro.

Por otro lado B es Consciente en la frase 7, por tanto miente en dicha frase al decirle a D que no fue Coherente en la frase 6. Por tanto D tuvo que ser Coherente en la frase 6, que es falsa, por lo tanto el sombrero de D ha de ser negro.

Pero la contrqadicción viene en la frase 8, en la que A es consciente, por lo tanto ha de mentir, ya que su sombrero es negro; pero si la frase 8 es mentira, es porque su sombrero y el D son distintos, con lo que el sombrero de D ha de ser blanco, que va en contradicción con lo obtenido en el párrafo anterior.

Por lo tanto, de las dos únicas opciones, D es siempre veraz o D miente siempre, sólo es válida la primera, que nos lleva por un razonamiento análogo al que he hecho, a la solución propuesta por Ejecución Infinita, quedando al mismo tiempo probado que es única.

Precioso problema. Hasta pronto.

Borja dijo...

Hola de nuevo,

en primer lugar decir que por lo que he podido comprobar la solución que propone Ejecución Infinita es correcta, al menos yo no he encontrado contradicción alguna. En lo que no estoy de acuerdo, en una parte de tu comentario de la clave 2. Me refiero a que "si D miente, A y D han de llevar sombrero negro". Lo que he comprobado es que si D miente, llegamos a una contradicción, con lo que se desprende que la solución propuesta por Ejecución Infinita es la única solución posible.

Para resolver el problema yo he redefinido algunos conceptos que ya definí en algún comentario.

Llamo Consciente a aquel personaje que conoce el color de su sombrero.

Llamo Coherente a aquel personaje que dice la verdad llevando sombrero blanco o que miente llevando sombrero negro, aunque sea por azar.

Llamo Estado de un personaje X, a su calidad de veracidad o falsedad, que podrá variar al hacerse Consciente.

Apreciación 1: Todo personaje Consciente es Coherente, pero al revés no.

Apreciación 2: Un personaje sólo podrá variar su Estado si otro personaje hace referencia a su Coherencia o al color de su sombrero.

De acuerdo a todo esto, utilizo tres claves, la primera de ellas idéntica a la de Ejecución Infinita:

1. D no cambia su Estado en ninguna de sus afirmaciones.

2. B es Consciente en la frase 7.

3. A es Consciente en la frase 8.

Por tanto D miente siempre o D siempre dice la verdad.

Supongamos primero que D miente, y veremos la contradicción ya que, entonces por la frase 6, A tiene sombrero negro.
Del mismo modo, en la frase 5 le dice a B que no fue Coherente en la frase 4, luego sí lo fue, pues D miente. Si B fue Coherente en 4 y mintió, el sombrero de B ha de ser negro.
Por otro lado al ser B Consciente en la frase 7, miente al decirle a D que no fue Coherente en la frase 6. Luego si D fue Coherente en 6 y mintió, su sombrero ha de ser negro.
La contradicción viene ahora, ya que A es Consciente en la frase 8, y por tanto miente, con lo que se sombrero y el de D han de ser distintos, es decir, el sombrero de D debería ser blanco, pero acabamos de ver que era negro.

Razonando de un modo análogo a este, pero suponiendo que D dice la verdad, obtenemos la solución de Ejecución Infinita, que ahora ya podemos asegurar que es única.

Un problema interesante. Esperamos otro!!!

Borja dijo...

Perdonad que haya escrito casi lo mismo dos veces, pero es que no salía la publicación del primero y me decidí a escribirlo de nuevo.

Ejecución Infinita dijo...

Hace unos días me limité a esbozar mi solución por pereza y para permitir que otros participantes del blog se enfrentaran al problema. Sigo decidido a no redactar la solución entera, porque es muy latoso, pero me gustaría invitar a Borja a fijarse en dos detalles decisivos:

1. Los personajes del juego son lógicos expertos. Eso quiere decir que todo aquello que nosotros podamos deducir con certeza a partir de sus testimonios, ellos lo deducirán también.

2. Pues bien, tanto si Darío miente como si dice la verdad, hay dos cosas invariables: que su sombrero y el de Abel son del mismo color, como ya dije, y que el sombrero de Benito es negro.


Un saludo a todos.