El Omegón y todo eso... (Parte 11)

(A la parte 10 – A la parte 12)

Los cardinales, el Omegón y la Hipótesis del Continuo

La teoría de los cardinales es la parte más conocida del trabajo de Cantor, por ese motivo no profundizaremos aquí en ella (acá, acá y acullá, por ejemplo, pueden verse tres de las miles de buenas referencias que hay en la red), sólo haremos referencia a los hechos más relevantes para el tema que nos viene ocupando.

La idea básica de los cardinales es generalizar la noción de “cantidad de elementos de un conjunto”. La primera observación es que dos conjuntos finitos tienen la misma cantidad de elementos si y sólo si es posible emparejar cada elemento de uno de los conjuntos con exactamente uno de los elementos del otro. Por ejemplo, si en un gran salón cada persona está sentada en una silla de modo que nadie está parado ni hay sillas vacías, entonces podemos asegurar que hay la misma cantidad de personas que de sillas.

Generalizando esta idea, si A y B son dos conjuntos (que ahora pueden infinitos) diremos que A y B tienen el mismo cardinal (o que son coordinables, Cantor decía: tienen la misma potencia) si existe una función biyectiva $f:A\rightarrow B$. Esta función biyectiva es la que empareja cada elemento de A con un elemento de B.

Así por ejemplo, puede probarse que $\mathbb{N}$ = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} es coordinable con $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ (el conjunto de todos los pares ordenados de números naturales) y que también es coordinable con $\mathbb{Q}$, el conjunto de los números racionales. A los conjuntos coordinables con $\mathbb{N}$ se los llama numerables.

Puede probarse también que $\mathbb{R}$, el conjunto de todos los números reales, no es numerable. En este sentido puede decirse hay más números reales que racionales o naturales.

¿Qué relación hay entre la coordinabilidad en el sentido de los cardinales y la equivalencia en el sentido de los ordinales? Recordemos que si A y B son conjuntos bien ordenados, entonces A y B tienen el mismo ordinal si existe una función biyectiva $f:A\rightarrow B$ que preserve el orden. Vemos así que si A y B tienen el mismo ordinal entonces tienen también el mismo cardinal. En consecuencia tiene sentido la siguiente definición: un ordinal $\alpha $ es numerable si cualquier conjunto bien ordenado de ordinal $\alpha $ es numerable.

Por ejemplo: $\omega $, $\omega +1$ y también $\omega +\omega + \omega +\dots $ ("$\omega $" veces) son todos ordinales numerables.

¿Hay ordinales no numerables (“no numerable” significa aquí “infinito, pero no numerable”)? Algún tiempo atrás mencionamos el Principio de Buena Ordenación (que Cantor usó implícitamente y que sería demostrado más tarde por Zermelo). El Principio de Buena Ordenación dice que en todo conjunto es posible definir un buen orden. En particular es posible definir un buen orden en $\mathbb{R}$ (distinto del orden usual, por supuesto). Al conjunto $\mathbb{R}$ así bien ordenado le corresponde un ordinal, que necesariamente es un ordinal no numerable.

Dado que existen ordinales no numerables y que la familia de los ordinales es bien ordenada existe entonces el menor de los ordinales no numerables, a este ordinal se lo suele indicar con la letra griega omega mayúscula (omegón, para los amigos), $\Omega $.

Por lo demostrado en la parte 7, $\Omega $ es el ordinal de S($\Omega $), es decir $\Omega $ (omegón) es el ordinal del conjunto formado por todos los ordinales a lo sumo numerables (“a lo sumo numerables” significa “finitos o numerables”).

En 1895 Cantor introdujo la nomenclatura de los aleph para nombrar a los cardinales infinitos. Al cardinal de N (que es el menor de todos los cardinales infinitos) lo llamó $\aleph_0$, al inmediato siguiente lo llamó $\aleph_1$, luego vienen $\aleph_2$, $\aleph_3$, etc.

Dos observaciones que no vamos a demostrar: la primera es que los cardinales, como los ordinales, forman una familia bien ordenada. La segunda es que los índices que acompañan a los aleph no son números enteros, sino ordinales, y así como existen $\aleph_4$ y $\aleph_5$ también existen $aleph_\omega $, $\aleph_{\omega + 1}$ y $\aleph_\Omega $, aunque en sus artículos Cantor nunca fue más allá de $\aleph_2$.

El cardinal de $\mathbb{N}$ es entonces $\aleph_0$ ¿Cuál es el cardinal de $\mathbb{R}$? Evidentemente es por lo menos $\aleph_1$, pero ¿es exactamente $\aleph_1$ o es mayor? En otras palabras ¿existe algún conjunto cuyo cardinal sea mayor que el de $\mathbb{N}$ pero menor que el de $\mathbb{R}$?

Cantor creía que el cardinal de $\mathbb{R}$ es $\aleph_1$ y que no existe un conjunto cuyo cardinal esté estrictamente ubicado entre el de $\mathbb{N}$ y el de $\mathbb{R}$. A esta conjetura se la suele llamar la Hipótesis del Continuo (HC) y Cantor pasó muchos años de su vida intentando demostrarla, aunque sin éxito.

En sendos trabajos (uno de 1940 y otro de 1962, recuérdese que Cantor murió en 1918) Kurt Gödel y Paul Cohen demostraron que es imposible probar la HC a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos (axiomas que fueron introducidos décadas después de Cantor) pero que también es imposible refutarla. Para los axiomas usuales de la teoría de conjuntos HC es una afirmación indecidible, no puede demostrarse que sea verdadera ni falsa. Como el mismo Gödel observó, esto no significa que HC no sea ni verdadera ni falsa, sino que los axiomas de la teoría de conjuntos son insuficientes para decidir la cuestión. Tanto Gödel como Cohen conjeturaban que HC es falsa.

Que HC sea indecidible para la teoría de conjuntos no impide que haya conjuntos de los que sí pueda probarse que su cardinal es $\aleph_1$. Concretamente, puede probarse que S($\Omega $) tiene cardinal $\aleph_1$. En efecto, como el ordinal de S($\Omega $) es $\Omega $ entonces S($\Omega $) es no numerable y en consecuencia su cardinal es por lo menos $\aleph_1$.

Si S($\Omega $) tuviera un cardinal mayor que $\aleph_1$ entonces existiría un A, subconjunto propio y no numerable de S($\Omega $). Ese subconjunto A sería también bien ordenado y le correspondería un ordinal $\alpha $, que puede probarse que sería menor que $\Omega $. Como $\alpha <\Omega $ entonces $\alpha$ es numerable, pero $\alpha $ es el ordinal del conjunto no numerable A. Esta es una contradicción, que surge de suponer que S($\Omega $) tiene un cardinal mayor que $\aleph_1$. Luego, el cardinal de S($\Omega $) es $\aleph_1$.

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