Factoriales

Recordemos que se llama factorial de n (se escribe n!) al producto de todos los números enteros entre 1 y n. Así por ejemplo, 2! = 1 x 2 = 2, mientras que 3! = 1 x 2 x 3 = 6, 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24, etc. Ahora bien, y esto es lo que nos interesa, los factoriales pueden usarse para generar una especie de base de numeración. En efecto todo número racional x entre 0 y 1 puede escribirse de manera única como x = a/2! + b/3! + c/4! + ... + z/n! con a < 2, b< 3, c < 4, ..., z < n.

Así por ejemplo: 1/7 = 3/4! + 2/5! + 6/7! 1/192 = 3/6! + 5/7! + 2/8!

Si x = a/2! + b/3! + c/4! + ... + z/n!, cconvengamos en escribir x = [a, b, c, ..., z]. De este modo 1/7 = [0, 0, 3, 2, 0, 6] y 1/192 = [0, 0, 0, 0, 3, 5, 2].

Otro ejemplo es 1/191 = [0, 0, 0, 0, 3, 5, 3, 0, 8, 10, 5, 10, 1, 14, 10, 16, 9, 18, 16, 0, 9, 15, 12, 20, 10, 24, 0, 25, 15, 7, 9, 23, 22, 27, 17, 19, 21, 18, 39, 23, 34, 31, 42, 27, 36, 39, 41, 22, 41, 31, 40, 15, 29, 6, 34, 50, 42, 30, 16, 20, 27, 16, 52, 39, 31, 29, 55, 37, 14, 46, 60, 22, 68, 72, 19, 7, 51, 35, 78, 60, 18, 2, 51, 1, 28, 71, 5, 6, 5, 16, 62, 12, 62, 0, 95, 48, 24, 11, 40, 31, 74, 23, 75, 72, 1, 71, 15, 90, 81, 22, 74, 53, 28, 6, 2, 50, 27, 21, 96, 91, 27, 57, 38, 119, 13, 108, 48, 118, 112, 128, 124, 52, 123, 64, 43, 59, 73, 96, 110, 95, 137, 77, 16, 85, 3, 120, 123, 30, 63, 92, 75, 92, 18, 84, 62, 11, 80, 38, 46, 146, 108, 92, 27, 78, 101, 114, 90, 100, 147, 128, 4, 86, 165, 140, 32, 44, 85, 132, 25, 80, 100, 9, 106, 172, 75, 179, 31, 94, 0, 190].

Todo número racional entre 0 y 1 tendrá una escritura finita. Los números irracionales admiten también una escritura similar, sólo que en ese caso es infinita.

Si e es el viejo conocido irracional e = 2,71828... entonces e – 2 = [1, 1, 1, 1,...].

Si Pi es el también bien conocido irracional, Pi = 3,14159... ¿Cuál es la escritura de Pi – 3?